Chapitre 3-B : AUTOMATIQUE : LES S.L.C.I. Les Systèmes Linéaires Continus Invariants Recherche du modèle mathématique: MODELISATION ou IDENTIFICATION Outil de résolution de l’équation différentielle: Transformée de LAPLACE Fonction de TRANSFERT Schémas BLOCS

Les systèmes Linéaires Continus Invariants But de l’automatique : Pour aborder l'étude d'un système de commande, il faut maîtriser le comportement dynamique du système c'est à dire établir les relations existant entre les évolutions temporelles des entrées et des sorties. Grandeurs d’entrée ou commande (consigne) Grandeurs de sortie observations (réponse) Perturbations SYSTEME DYNAMIQUE e(t) s(t) On appelle système dynamique, un système dont l’étude prend en compte les phénomènes d’inertie (inertie mécanique, thermique...). Les grandeurs de sortie dépendent des valeurs présentes et passées des grandeurs d’entrées. Ces relations se déduisent de l'application des lois de la physique qui aboutissent généralement à l'écriture d'équations différentielles. L'ensemble de ces équations constitue un modèle mathématique du système

Les signaux d’entrée sont des fonctions du temps Les signaux d’entrée sont des fonctions du temps. Nous faisons l’hypothèse qu’ils ne sont pas aléatoires; on connaît leurs causes. C’est-à-dire e(t < 0) = 0. Généralement on forme les grandeurs d’entrées ainsi : est appelée fonction existence, elle est telle que : pour Cette combinaison permet d’annuler pour les temps négatifs.

Les systèmes Linéaires Continus Invariants Afin de faciliter la modélisation des systèmes de commande, nous ferons par la suite l'hypothèse de systèmes continus, linéaires et invariants. Continu : les grandeurs physiques évoluent de façon continue dans le temps Invariant : Un système est invariant, s’il garde le même comportement au cours du temps (pas de détérioration de ses caractéristiques) Exemple: Pas d’usure.

Les systèmes Linéaires Continus Invariants Linéaire : Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d’une équation différentielle à coefficients constants. Sortie (grandeur à mesurer) Variable de commande m<n et n est appelé « ordre du système » Les systèmes linéaires se caractérisent principalement par 2 propriétés: la proportionnalité l’additivité.

La proportionnalité : l’effet est proportionnel à la cause La caractéristique d’un système linéaire est une droite : Le rapport est appelé GAIN du système Système linéaire Entrée x Sortie y Sortie .y Système linéaire Entrée .x Entrée .x Sortie .y Entrée x Sortie y

L’additivité: Entrée x1 Entrée x2 Sortie y2 Sortie y1 Entrée x1+x2 Système linéaire Entrée x1 Entrée x2 Entrée x1+x2 Sortie y1 Sortie y2 Sortie y1+y2

Les systèmes Linéaires Continus Invariants X(t) Y(t) Limites du modèle : Représentation d’un système linéaire Non linéarités rencontrées sur des systèmes physiques courbure Seuils (ex : frottements) Saturation (ex : butée mécanique) Hystérésis (ex : jeu dans un système vis/écrou) Toutefois, ces systèmes peuvent être représentés, moyennant une certaine imprécision sur le modèle, par des systèmes linéaires : par exemple, linéarisation autour d’un point de fonctionnement. Point de fonctionnement

Recherche du modèle mathématique Grandeurs d’entrée ou commande (consigne) Grandeurs de sortie observations (réponse) Perturbations RELATION ??? e(t) s(t) Modélisation : Chaque sous-ensemble a une équation différentielle connue, il suffit de les composer pour trouver l’équation différentielle entrée-sortie. La modélisation nécessite une bonne connaissance du système et des lois physiques qui le régissent. L’identification : On soumet le système à des entrées connues. Les réponses du système sont alors comparées à un catalogue de réponses-types. On parle d’indentification. Ici le système est considéré comme une boite noire.

Les signaux TESTS Impulsion de DIRAC e(t) Impulsion de DIRAC Ce signal noté (t) est une impulsion brève qui vaut 0 en tout point sauf au voisinage de t=0s. Cet essai permet de tester les performances du système face à des perturbations brèves et d’observer sa stabilité, c’est-à-dire de voir si la réponse du système ne s’écarte pas définitivement de sa position. t e(t) S(t) précision

e(t) s(t) précision

Les signaux TESTS Echelon e(t) A Cette fonction est définie de la manière suivante : e(t) = A.u(t)  A étant une constante positive. Encore connu sous le nom de fonction d’Heaviside l’échelon peut être unitaire dans ce cas il se note : e(t) = 1.u(t) Rappel : u(t) est appelée fonction existence, elle est telle que : u(t) =1 pour t  0 u(t) = 0 pour t < 0 Dans le cas d’une entrée en échelon l’erreur permanente s(t) s’appelle écart statique ou précision: c’est l’écart entre la valeur du signal d’entrée et la réponse S(t) en régime définitif (t  ) plus cet écart sera faible, plus le système sera précis. On peut également juger de la rapidité du système en mesurant le temps (t5%) au bout duquel la réponse ne s’écarte plus que de ±5% de la valeur finale S()

Les signaux TESTS Rampe e(t) A L’évolution d’un signal e(t) en rampe est donné ci-contre. Ce signal évolue linéairement avec le temps pour t>0. e(t )=A.t.u(t)   Cet essai permet d’évaluer les capacités du système à suivre une consigne variable. L’erreur permanente mesurée s’appelle erreur de suivi ou erreur de traînage. Elle est notée :  t (t ) .

Les signaux TESTS Entrée sinusoïdale Les entrées sinusoïdales sont très utilisées pour étudier le comportement dynamique des systèmes. La sortie est appelée :REPONSE HARMONIQUE.   Un signal sinusoïdal e(t) = e0 . sin (t) est caractérisé par son amplitude e0 et par sa pulsation  La réponse est sinusoïdale, de même période avec une amplitude s0 et un déphasage  (correspondant à une erreur de suivi).  Cet essai permet d’étudier la stabilité d’un système.

Résolution de l’équation différentielle: TRANSFORMEE DE LAPLACE Un système dynamique, continu, linéaire et invariant se représente par une équation différentielle linéaire à coefficients constants n est appelé ordre du système (dans le cadre du programme n2) Résolution classique: Solution= Solution générale équation sans second membre Solution particulière équation avec second membre + Régime transitoire (ne dépend que du système et des C.I.) Régime permanent (même nature que l’entrée du système) Problème : La résolution permet de connaître l’évolution temporelle de la sortie s(t) en fonction de l’évolution de l’entrée e(t) et des C. I. Or en automatique, on veut déterminer l’évolution de l’entrée de commande e(t) permettant d’obtenir la sortie s(t) désirée: il faut « inverser le modèle »

Résolution de l’équation différentielle: TRANSFORMEE DE LAPLACE Il existe une méthode qui permet de résoudre simplement de telles équations différentielles en les transformant en simples équations algébriques, cette méthode s’appelle TRANSFORMEE DE LAPLACE. Equation différentielle avec second membre (paramètre t) TRANSFORMEE DE LAPLACE (paramètre p) Fraction polynomiale en p Solution finale (paramètre t) TRANSFORMEE INVERSE DE LAPLACE (paramètre t) Fraction décomposée en éléments simples en p

Propriétés de la TRANSFORMEE DE LAPLACE Définition On appelle transformée de Laplace de la fonction f(t), supposée nulle pour t<0 la fonction F(p) définie par : Propriétés utiles pour le cours automatique Transformée d’une dérivée : Dérivée seconde : Dérivée première : Transformée d’une intégrale : Remarques: Si les conditions initiales sont nulles (conditions dites de Heaviside) : Dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine de Laplace. Intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine de Laplace.

Propriétés de la TRANSFORMEE DE LAPLACE Théorème du retard : Théorème de la valeur initiale : Théorème de la valeur finale :0 pF(p) Nota : Le théorème de la valeur initiale ne s’applique que si le degré du numérateur de est inférieur ou égal au degré du dénominateur. Le théorème de la valeur finale s’applique uniquement si les pôles de sont à partie réelle strictement négative. On appelle pôles d’une fonction les racines de l’équation . Autrement dit : les pôles sont les valeurs qui annulent le dénominateur de . Les zéros sont les valeurs qui annulent le numérateur.

Transformée de LAPLACE de l’équation On suppose C. I. sont nulles Fonction de TRANSFERT Un système linéaire est représenté par une équation différentielle du type : Transformée de LAPLACE de l’équation On suppose C. I. sont nulles FONCTION DE TRANSFERT

Fonction de TRANSFERT Les zi sont les zéros de la fonction transfert les pi sont les pôles de la fonction transfert. Le degré n du dénominateur D (p) est appelé ordre de la fonction transfert H (p). K est appelé le gain statique

Les schémas BLOCS S(p)= H(p) . E(p) Un système élémentaire monovariable possédant une entrée e(t), une sortie s(t) et une fonction de transfert H(p) peut être représenté par un bloc : S(p)= H(p) . E(p) Un système complexe peut donc être représenté par un agencement de blocs reliés entre eux Point de prélèvement Comparateur BLOC

Schéma Bloc équivalent Les schémas BLOCS Recherche de la Fonction de TRANSFERT E(p) S(p) Schéma Bloc équivalent ? FTBO FTBO(p)=

FTBF(p) /FTBF(p) Cas du retour unitaire : Un système asservi se ramène facilement à un système à retour unitaire :

Les schémas BLOCS FTBO(p)/FTBF(p) E(p) S(p) E(p) R(p)

Algèbre des schémas-blocs

Algèbre des schémas-blocs FIN DU CHAPITRE 3-B