Fonctions Généralités

Introduction : Fonction : terme inventé en 1537 du latin « functio »= « accomplissement » ou en latin juridique « service public » La fonction des avocats dans la société est de défendre toutes les causes. Le mot « fonction de » indique un rôle. De nos jours, le sens s’est étendu à une relation de dépendance. Je déciderai du menu en fonction de ce que je trouverai sur le marché. La consommation d’essence est fonction de la vitesse. Ainsi l’emploi du mot fonction, tel qu’il est le plus fréquemment utilisé dans le langage courant, vient des mathématiques. Il s’agit de définir une issue à une situation dont on ne connait pas précisément l’état initial parce qu’il est variable. Je réagirai en fonction du comportement des élèves.

Définition Une fonction est une opération dans l’ensemble des nombres. Comme les opérations simples +, −, ×, ÷ , Elle associe à un nombre de son ensemble de définition, un nombre unique. L’image de x par la fonction f est noté f(x) x est le nombre de départ, on dit que c’est un antécédent de f(x) f(x) est appelé l’image de x

Exemple : On veut connaitre la superficie d’un carré en fonction de son côté. On définit alors la fonction qui, à un nombre x, on fait correspondre son carré. f : x → x2 f(x) = x² L’histoire Qu’est ce qu’on me demande? La surface: S Qu’est ce qui est variable? La mesure du côté du carré : x S= f(x) = x²

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Représentation graphique La représentation graphique d’une fonction illustre son comportement. Définition : Dans un repère orthonormé, on attribue à l’axe des abscisses la variable x et à l’axe des ordonnées son image f(x) . L’ensemble des points dessiné par la variation de x sur son axe est la représentation graphique de la fonction f. En latin, « curbus » désignait ce qui est courbé. On retrouve le mot en ancien français sous la forme de « corbe ». Le corbeau est ainsi appelé à cause de la forme de son bec.

Quoi? Comment? Que pouvez-vous dire de cette fonction ? Symétrie points absents ? Se questionner sur une fonction, c’est ETUDIER la fonction C’est se donner des outils pour comprendre l’histoire qu’elle « raconte ». On voudrait connaitre la surface d’un carré en fonction de son côté On définit alors la fonction qui, à un nombre x, on fait correspondre son carré. f : x →x² 𝐟 𝐱 = 𝐱² On peut calculer des valeurs, faire un tableau, tracer un graphe -3 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 3 9 4 0,25

Activité Avec une ficelle de longueur 10 cm, on fabrique un rectangle. On désigne par x la longueur d’un côté de ce rectangle. a) Calculer l'aire du rectangle lorsque x = 3 cm. Si la longueur est égale à 3 cm alors la largeur est égale à 2 cm. x 5 – x Donc A = 3 x 2 = cm2. b) Exprimer en fonction de x l’aire du rectangle. Les dimensions du rectangle sont donc : x et 5 – x. En effet : P = 2x + 2(5 – x) = 10 cm. Ainsi l’aire du rectangle s’exprime par la formule A = x(5 – x) c) Développer A. A = x(5 – x) = 5x – x d) On peut calculer l’aire du rectangle pour différentes valeurs de x : Ce tableau est appelé un tableau de valeurs. x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Aire 5,25 6 6,25 2,25

x - 5x – x² se lit « à x, on associe 5x – x² » …. De façon générale, on note : A : x 5x – x² x - 5x – x² se lit « à  x, on associe 5x – x² »  A est appelée une fonction. C’est une « machine » mathématique qui, à un nombre donné, fait correspondre un autre nombre.  La courbe représentative de la fonction A dépasse les limites du problème. En effet, l’expression de la fonction A accepte par exemple des valeurs négatives de x, ce que les données du problème rejettent puisque x représente une longueur ! On peut ainsi dresser un tableau de signes de la fonction A sur un intervalle plus grand : x -1 0 5 6 A(x) - 0 + 0 -

Exemple animé : http://mathenpoche.sesamath.net/2nde/pages/numerique/chap8/serie1/exo6/N8s1ex6_an.swf

Exemple : On voudrait connaitre l’inverse d’un nombre On définit alors la fonction qui, à un nombre x, fait correspondre son inverse f : x → 𝟏 𝐱 𝐟 𝐱 = 𝟏 𝐱 Remarque : F(x) n’est pas définie en x= 0 Pour tout nombre x, variable appartenant à l’ensemble des nombres réels, La fonction n’existe que si on précise l’ensemble où elle est définie. Donc 𝐟 𝐱 = 𝟏 𝐱 est définie dans l’ensemble des nombres N – 0

Ensemble de définition Une fonction ne peut s’exprimer sans préciser don ensemble de définition. Une fonction « raconte une histoire ». il y a des histoires qui n’ont pas de sens : Exemples : je ne peux pas vendre – 3 pizzas. Je ne peux pas indiquer le poids d’une personne qui a -12 ans Je ne peux pas donner la racine carrée d’un nombre négatif L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs pour laquelle la fonction admet une image. Tous les éléments de l’ensemble de définition d’une fonction sont des antécédents. Définition : On note Df l’ensemble de définition d’une fonction notée f. Df est un intervalle continu ou une réunion d’intervalles disjoints de l’ensemble des réels tel que pour tout élément de Df il existe une image par f. Notation : Quelque soit x € Df alors f(x) est l’image de x par f.

Rappel Fonction affine Fonctions constantes et linéaires Soit a et b, deux constantes données. Pour tout nombre x, variable appartenant à l’ensemble des nombres réels, f(x) = ax+b est une fonction affine qui associe à x l’image unique y=f(x) Une fonction affine dont le coefficient directeur est 0 est une fonction constante. Quel que soit le nombre réel x, f(x) = b Une fonction affine dont la valeur à l’origine est 0 est une fonction linéaire Quel que soit le nombre réel x, f(x) = ax

Définition d’une fonction Par son expression littérale  Par son tableau de variation  Ensemble de définition de la fonction et sa « formule ». C’est la définition complète Elle se compose d’un tableau qui propose quelques valeurs que la fonction peut prendre. Les colonnes des tableaux présentent deux cases : antécédent et image par la fonction f. C’est une définition partielle. Dg = R 𝑥 𝑔 𝑔 𝑥 =𝑥² x -2 -1 1 2 𝑔 𝑥 4 Df = R 𝑥 𝑓 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 x -2 -1 1 2 𝑓 𝑥 -2a+b -a+b b a+ b 2a+b

Définition d’une fonction Par sa représentation graphique  C’est une image dans un repère. C’est une illustration approximative (on ne peut pas lire précisément la valeur des ordonnées et des abscisses) Dg = R 𝑥 𝑔 𝑔 𝑥 =𝑥² x -2 -1 1 2 𝑔 𝑥 4 Df = R 𝑥 𝑓 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 x -2 -1 1 2 𝑓 𝑥 -2a+b -a+b b a+ b 2a+b

Etude d’une fonction Ça augmente ou ça baisse? Ça monte ou ça descend? C’est quoi le maximum possible? x -2 -1 1 2 3 𝑔 𝑥 4 9

Maximum, minimum Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors . Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors . Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : . Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Remarques : On dit qu’une fonction croissante conserve l’ordre. On dit qu’une fonction décroissante renverse l’ordre. Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. Si une fonction est tout le temps croissante ou décroissante sur un intervalle, on dit qu’elle est monotone

Tableau de variation Exercice   On considère la représentation graphique la fonction f : 1) Donner son ensemble de définition. 2) Donner les variations de la fonction. 3) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints. 4) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations. 1) La fonction f est définie sur [-5 ; 7]. 2) La fonction f est croissante sur les intervalles [-4 ; 0] et [5 ; 7]. Elle est décroissante sur les intervalles [-5 ; -4] et [0 ; 5]. 3) Le maximum de f est 3,5. Il est atteint en x = 0. Le minimum de f est -4. Il est atteint en x = -4.

Résolution graphique d’équations et d’inéquations Exemple :  Répondre graphiquement aux questions suivantes: Résoudre l'équation 5x – x² = 2. En déduire un ordre de grandeur des dimensions d’un rectangle dont l’aire est égale à 2 cm. Résoudre graphiquement l’inéquation 5x – x²> 2. Donner une interprétation du résultat.

Résolution graphique Résoudre l'équation 5x – x² = 2. Il s’agit de trouver les antécédents de 2 par la fonction A. Ce qui revient à résoudre l’équation A(x) = 2. Remarques : Par lecture graphique, les solutions obtenues sont approchées.   L’équation A(x) = 7 n’a pas de solution car dans ce cas la droite Δ ne coupe pas la courbe. Graphiquement, on ne peut pas être certain que les solutions qui apparaissent sont les seules. Il pourrait y en avoir d’autres au-delà des limites de la représentation graphique tracée. On détermine les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec la droite ∆ parallèle à l’axe des abscisses passant par le point (0 ; 2). On lit graphiquement que l’équation 5x – x = 2 admet pour solutions : les nombres 0,5 et 4,5.