Leçon 1: Les Systèmes Linéaires Continus Et Invariants I. Introduction I.1 Les systèmes - Définitions et exemples Un système peut être défini comme un ensemble d’éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Un système communique avec l’extérieur par l’intermédiaire de grandeurs, fonctions du temps, appelées signaux. Dans la suite, on notera par x1(t)...xN(t) les signaux d’entrée, et y1(t)...yM(t) les signaux de sortie. 09/04/2017

Le système est parfaitement connu quand on peut prédire ces signaux de sortie, c’est-à-dire lorsqu’on connaît les relations entre les xi et les yj Exemple avec ? on a donc l’équation du système : l’équilibre électrique du circuit se traduit par l’équation ? ? 09/04/2017

? I.2 Les systèmes linéaires I.3 Les systèmes invariants Un système est dit linéaire si sa réponse à une combinaison linéaire de signaux d’entrée est égale à la combinaison linéaire des signaux de sortie Un système est dit invariant si sa réponse à un signal x(t) différé d’un temps t est la même que la réponse y(t) du système mais différée de t Ainsi si on applique à l’entrée: x(t) = u.x1(t) + v.x2(t) (u, v: deux constantes ) On obtiendra en sortie Un système invariant est aussi appelé système à constantes localisées y(t) = u.y1(t) + v.y2(t) ? Cette propriété des systèmes linéaires est aussi appelée principe de superposition Cette propriété des systèmes invariants est aussi appelée principe de permanence 09/04/2017

u(t) : fonction de Heaviside II. Signaux canoniques II.2 La rampe - réponse en vitesse Pour caractériser le comportement d’un système donné, on étudie sa réponse à des signaux particuliers appelés "signaux canoniques’’: l’échelon; la rampe; le signal sinusoïdal et l’impulsion Ce signal est le signal de base permettant d’analyser la réponse d’un système en vitesse e(t) = a*t *u(t) ? II.1 L’échelon - réponse indicielle La fonction échelon permet de soumettre le système à une entrée constante depuis t = 0. II.3 Signal sinusoïdal Ce signal est le signal de base de l’étude fréquentielle des systèmes linéaires u(t) : fonction de Heaviside e(t) = K sin(wt) u(t) ? u(t) = 0 pour t < 0 u(t) = 1 pour t > 0 e(t) = E0 *u(t) ? 09/04/2017

II.4 L’impulsion de Dirac Cette fonction, permet de simuler l’effet d’une action s’exerçant durant un temps très bref (choc ; impulsion). La réponse est dite impulsionnelle. 09/04/2017

III. Transformation de Laplace La transformée de Laplace permet de remplacer les équations différentielles qui relient les grandeurs caractéristiques de nos systèmes par des relations à base de fractions rationnelles. III.1 Définition Considérons une fonction f de la variable réelle t supposée nulle pour les valeurs négatives de t. La transformée de Laplace de f, notée F est une fonction de la variable complexe p définie par : Cette fonction n’est définie que pour les valeurs de p telles que l’intégrale converge Exemple : cherchons la transformée de Laplace de la fonction f(t) = e−at la transformée inverse de F(p) est définie par: 09/04/2017

? ? III.2 Propriétés de la T.L 3. Transformée de l’intégrale : Linéarité: Soit : si f et g ont des transformées de Laplace alors : On exploitant la formule de la Transformée du dérivée montrer que: 2. Transformée de la dérivée : On procédant par une intégration par partie du transformé de la fonction f(t) en prenant 4. Théorème du retard Montrer que: 5. Théorèmes des limites – Théorème de la valeur initiale : Pareillement on aura : – Théorème de la valeur finale : ? ? 09/04/2017

? ? III.3 T.L. des signaux usuels III.4 Recherche de l’originale d’une transformée de Laplace Impulsion de Dirac Les T.L. se présentent généralement sous forme d’une fraction rationnelle. Echelon unitaire ? il suffit ensuite de décomposer la fraction en éléments simples : Rampe ? Signal sinusoïdal Nous cherchons ainsi les correspondants des termes dans le tableau des transformées usuelles 09/04/2017

1. Cas des pôles simples On suppose pour commencer que d°(N(p))<d°(D(p)) et que les pôles pi de F(p) sont simples: On peut alors toujours écrire : Avec On en déduit : ? Application Rechercher l’originale des fonctions et 09/04/2017

2. Cas des pôles doubles Supposons maintenant qu'on a toujours d°(N(p))<d°(D(p)), mais que F(p) possède des pôles doubles Avec Ainsi la contribution des fractions simples dues aux pôles doubles sont : ? Application Rechercher l’originale de la fonction 09/04/2017

? 3. Cas d’une fraction rationnelle quelconque Dans le cas au d°(N(p))≥d°(D(p)) Il suffit de diviser le polynôme N(p) par D(p) Avec L'inversion de la fraction rationnelle en R(p) se fait comme précédemment, et l'inversion de Q(p) donne: ? Application Rechercher l’originale de la fonction 09/04/2017

? ? IV. Les Transmittances Opérationnelles La transmittance opérationnelle (ou fonction de transfert) désigne le rapport sortie sur entrée dans le domaine de Laplace La forme initiale de l’équation différentielle est : Appliquons l’opérateur de Laplace à cette équation: ? (C(p) polynôme en p) En prenant l’hypothèse de conditions initiales nulles ? 09/04/2017

? ? ? ? ? ? ? ? V. Le minimum à apprendre - Transformée de l’intégrale - Transformée de Laplace ? ? - Théorème du retard - Transformée inverse ? ? - Théorème de la valeur initiale - Transformées des dérivées ? ? - Théorème de la valeur finale ? ? 09/04/2017

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f(t)=? fonction f(t) F(p) - Transformée des signaux usuels - Transformée d’une équation Exemple fonction f(t) F(p) Impulsion 1 Echelon E0 . u(t) Rampe a . t . u(t) Sinus K sin(wt) u(t) Exponentielle e−at ------------------ t . e−at ? ? ? ? ? ? ? ? ? - l’originale d’une transformée Exemples ? ? ? ? f(t)=? 09/04/2017

Soit le circuit RLC suivant, tel que: R=4,7 kW, L=50 mH, C=2,2nF VI. Application Soit le circuit RLC suivant, tel que: R=4,7 kW, L=50 mH, C=2,2nF 2- Utiliser la transformé de Laplace pour écrire l’expression de S(P) en fonction de E(P). e(t) s(t) 3- On suppose que l’on applique, à t=0s, un échelon d’amplitude 5V en entrée du circuit initialement au repos. Donner l’expression de S(t) solution de l’équation différentielle établie précédemment. 1- Etablir l’équation différentielle liant la tension au borne du condensateur s(t) à la tension d’entrée e(t).

Une version numérique de ce cour (pdf+ppt) est publiée sur le site de : l’Association Internationale des Chercheurs en Mécanique et Energie (AICME) www.aicme-tunisie.ass0.fr