Fabienne BUSSAC SYSTEMES D’ÉQUATIONS 1. PREMIER EXEMPLE, RESOLUTION PAR SUBSTITUTION Problème : Jean élève des canards et des lapins. On compte en tout, parmi ses animaux, 153 têtes de 390 pattes. a. Peut-il avoir 90 canards et 63 lapins ? Fabienne BUSSAC Nombre de têtes : 90 + 63 = 153 Nombre de pattes : 2 × 90 + 4 × 63 = 180 + 252 = 432 Il n’y a pas 90 canards et 63 lapins.

b. Quels sont le nombre de canards et le nombre de lapins ? Ici, on cherche deux choses, il faut donc deux inconnues. x désigne le nombre de canards et y le nombre de lapins. Il y a 153 têtes : x + y = 153 Fabienne BUSSAC Il y a 390 pattes : 2 × x + 4 × y = 390 est un système de deux équations à deux inconnues.

Fabienne BUSSAC RESOLUTION PAR SUBSTITUTION La première équation s’écrit : = x x 153 – y 153 – y On replace par dans l’autre équation. 2 (153 – y) + 4y = 390 On se ramène à une équation à une seule inconnue. Fabienne BUSSAC 306 – 2y + 4y = 390 306 + 2y = 390 306 + 2y = 390 – 306 – 306 2y = 84 2y = 84 2 2 y = 42

Attention à l’ordre ! x d’abord, y ensuite. On replace y par 42 dans la première équation : x = 153 – 42 x = 111 Le couple (111 ; 42) est la solution du système. Attention à l’ordre ! x d’abord, y ensuite. (111 ; 42) ≠ (42 ; 111) Fabienne BUSSAC Jean possède 111 canards et 42 lapins.

Fabienne BUSSAC 2. DEUXIEME EXEMPLE, RESOLUTION PAR COMBINAISON Problème : Chez le fleuriste, un bouquet composé de 4 roses et de 7 tulipes coûte 21,20 €, un bouquet composé de 6 roses et de 5 tulipes coûte 23 €. Quel est le prix d’un bouquet de 5 roses et de 6 tulipes ? Fabienne BUSSAC Il faut trouver le prix d’une rose et d’une tulipe. x désigne le prix d’une rose et y le prix d’une tulipe. Bouquet n°1 : 4x + 7y = 21,20 Bouquet n°2 : 6x + 5y = 23

Fabienne BUSSAC RESOLUTION PAR COMBINAISON On multiplie chaque membre de l’équation (1) par 3 et de l’équation (2) par (– 2) : × 3 Fabienne BUSSAC × (– 2) On s’arrange pour avoir des coefficients opposés pour les termes en x (ou les termes en y).

Fabienne BUSSAC On additionne membre à membre les deux équations : + + 11y = 17,60 Fabienne BUSSAC 11y = 17,60 11 11 y = 1,60

Fabienne BUSSAC On replace y par 1,60 dans l’équation (1): 4x + 7 × 1,60 = 21,20 4x + 11,20 = 21,20 4x + 11,20 = 21,20 – 11,20 – 11,20 4x = 10 Fabienne BUSSAC 4x = 10 4 4 x = 2,50 Le couple (2,50 ; 1,60) est la solution du système. Une rose coûte 2,50 € et une tulipe 1,60 €.

bouquet n°1 + bouquet n°2 = 2 × bouquet n°3 5 × 2,50 + 6 × 1,60 = 12,50 + 9,60 = 22,10 Le troisième bouquet coûte 22,10 €. Remarque : Dans ce cas précis, on aurait pu remarquer que : bouquet n°1 + bouquet n°2 = 2 × bouquet n°3 Fabienne BUSSAC En effet : 4 roses + 7 tulipes + 6 roses + 5 tulipes = 10 roses + 12 tulipes = 2 × (5 roses + 6 tulipes) Le bouquet n°3 coûte donc :