Analyse des modes normaux Système dynamique à deux variables indépendantes x1 et x2 défini par un système d’équations différentielles ordinaires non linéaires : et par un ensemble de conditions initiales. Initialement, le système est en A (état stat. de coordonnées x1*, x2*) À t=0, une petite perturbation d’amplitude le porte en B. Quel va être le comportement du système suite à cette perturbation ?

Analyse des modes normaux A condition que l’amplitude initiale de la perturbation soit infinitésimale, on peut approcher l’état du système par un développement en série de Taylor (limité à l’ordre un) appliqué au système différentiel ci-dessus : La notation indique qu’il s’agit de la valeur prise par la dérivée partielle de la fonction fi par rapport à la variable , calculée pour les valeurs stationnaires, ,des deux variables

Analyse des modes normaux D’où l’obtention du système différentiel linéaire : dans lequel les variables sont les variations des amplitudes des perturbations apportées aux deux variables, à partir de leurs valeurs stationnaires.

Les dérivées partielles sont les éléments de la matrice dite jacobienne J du système différentiel : les coefficients sont les valeurs de ces éléments jacobiens pour les valeurs stationnaires des deux variables.

Le système différentiel linéaire : est intégrable analytiquement et admet une solution particulière de la forme : (Ce sont les « modes normaux » du système différentiel linéaire associé au système différentiel non linéaire initial).

Dans la solution analytique, r1 et r2 sont les racines de l’équation caractéristique associée au système linéaire. Cette équation caractéristique s’écrit : soit : est la « trace » de la matrice jacobienne J. est le déterminant de cette matrice. est le discriminant de l’équation caractéristique.

des trois expressions fondamentales : L’évolution du système, localement perturbé au voisinage de l’un de ses états stationnaires, va dépendre de la nature (réelle ou complexe) et du signe des racines de l’équation caractéristique et donc, en premier lieu, du signe des trois expressions fondamentales : calculées à l’état stationnaire considéré , calculées à l’état stationnaire considéré.

D Tr2-4D=0 Tr