Lien entre angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc Cayphas Aurélie 2ème Math Les angles inscrits Lien entre angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc

L’amplitude d’un angle inscrit égale la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc 1er cas: l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle

1er cas: l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle Hypothèse: [AC] est un diamètre du cercle centré en 0 Thèse: |Â|= |Ô1| / 2

1er cas: l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle Raisonnement : Le triangle AOE est isocèle, donc : |Â|= |Ê1| Déterminons CÂE |Â| + |Ô2| + |Ê1|= 180° ( somme des angles intérieurs d’un triangle ) |Ô1| + |Ô2| = 180° (angle plat) Donc: |Â| + |Ô2| + |Ê1|= |Ô1| + |Ô2| |Â| + |Ê1|= |Ô1| Or |Â|= |Ê1| donc: |Â| + |Â| = |Ô1| 2. |Â|= |Ô1| |Â|= |Ô1| / 2 C.Q.F.D

L’amplitude d’un angle inscrit égale la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc 2ème cas: le centre O est un point intérieur à l’angle inscrit

2ème cas: le centre O est un point intérieur à l’angle inscrit Hypothèse: [AC] un diamètre du cercle centré en O. Thèse: |Â|= |Ô| / 2 (|Ô|= |Ô1| + |Ô2| ) (|Â|= |Â1| + |Â2| )

2ème cas: le centre O est un point intérieur à l’angle inscrit Raisonnement : - Par le 1er cas on a: |Â1|= |Ô1| / 2 et |Â2|= |Ô2| / 2 - Déterminons IÂE: |Â1|+ |Â2| = |Ô1| / 2 + |Ô2| / 2 - Donc: |Â|= (|Ô1|+|Ô2|) / 2 car |Â1|+|Â2|=|Â| |Â|= |Ô| / 2 car |Ô1|+|Ô2|=|Ô| C.Q.F.D

L’amplitude d’un angle inscrit égale la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc 3ème cas: le centre O est un point extérieur à l’angle inscrit

3ème cas: le centre O est un point extérieur à l’angle inscrit Hypothèse: [AC] un diamètre du cercle centré en O. Thèse: |Â|= |Ô| / 2 (|Ô|= |Ô1| + |Ô2| ) (|Â|= |Â1| + |Â2| )

3ème cas: le centre O est un point extérieur à l’angle inscrit Raisonnement: - Par le 1er cas on a: |Â1|+ |Â2|= (|Ô1|+ |Ô2)|) / 2 et |Â2|= |Ô2| / 2 - Déterminons IÂE: |Â|-|Â2|= (|Â1|+ |Â2|) - |Â2| = (|Ô1|+ |Ô2|) / 2 - |Ô2|/ 2 = |Ô1|/2+ |Ô2| / 2 - |Ô2|/ 2 = |Ô1|/2 C.Q.F.D

Conclusion Dans les trois cas possibles, l’angle au centre interceptant le même arc de cercle qu’un angle inscrit, vaut le double de celui-ci.

Fin