Activités géométriques au cycle 2 Bernadette NGONO IUFM de Rouen

Mise en route Activité 1 Combien peut-on former de carrés de toute dimension dont les sommets sont situés sur les points d’une grille de type 44 ? Effectuer cette activité ; réfléchir sur les connaissances et compétences qui vous ont été nécessaires pour réussir la tâche demandée Matériel : une photocopie comportant des grilles 44 pour la recherche

Solutions Type 2 : 4 Type 3 : 1 Type 4 : 4 Type 5 : 1 Type 5 bis : 1 Type 1 : 9 positions Type 2 : 4 Type 3 : 1 Type 4 : 4 Type 5 : 1 Type 5 bis : 1

Analyse Comprendre que des propriétés d’une figure ne dépendent pas de sa position ou de son orientation est un objectif des apprentissages géométriques à l’école. Les élèves ont généralement une conception du carré par ses côtés, ou comme une surface. La situation proposée amène à considérer le carré par ses sommets. Cette question suppose des connaissances géométriques relatives au carré pour pouvoir en construire. En même temps, elle fait intervenir des compétences liées à la visualisation spatiale dans un espace à deux dimensions.

Difficultés liées à l’orientation Dans les situations proposées aux élèves en classe, le carré est souvent en position prototypique. (côtés parallèles aux bords de la feuille). C’est le cas des solutions de types 1, 2 et 3. On peut penser qu’au cycle 2, ces solutions sont accessibles facilement aux élèves. Les solutions de types 4, 5 et 5bis supposent d’envisager des carrés ayant subi une rotation, et de considérer que malgré la rotation, les propriétés du carré sont conservées. Or lorsque la perception seule est mobilisée, les élèves identifient un losange dans la figure 4. Une autre difficulté concerne les carrés de type 5 et 5bis. Pour de nombreux élèves, ces carrés de type 5 et 5bis ne sont pas superposables, du fait de leur orientation. La principale difficulté de la tâche réside donc dans la non-perception de ces carrés en position oblique.

Contraintes liées au support La grille comporte 16 points. Réussir la tâche nécessite de considérer 4 points parmi ces 16 points comme candidats potentiels pour les sommets d’un carré. Un travail qui consisterait à prendre 4 points au hasard serait fastidieux. Prévoir parmi les points ceux qui correspondent aux sommets d’un carré nécessite d’avoir une représentation mentale du carré, de relier mentalement ces points, de conserver en mémoire les points sélectionnés, les segments déjà tracés, ce qui peut constituer une charge en mémoire de travail.

Un problème ? L’analyse précédente montre que cet exercice relève de la résolution de problèmes. le travail d’anticipation constitue l’activité mathématique: - Les solutions ne sont pas immédiatement disponibles, elles nécessitent un travail de recherche. - La vérification peut s’accompagner des questions de type « est-ce un carré ? », « les sommets sont-ils des points du quadrillage ? », « est-ce une nouvelle solution ? », etc. Certaines erreurs peuvent donc être immédiatement repérées et corrigées par l’élève. Le professeur peut relancer l’activité de recherche en indiquant par exemple de s’assurer qu’il n’existe pas d’autres solutions. N’oublions pas des compétences générales en planification de la tâche. La situation proposée peut être donnée au cycle 2 en commençant par une grille 33.

Les compétences spatio-géométriques à travers les évaluations nationales à l’entrée du CE2 Elles permettent d’illustrer des lieux de certaines difficultés pour les élèves Et d’envisager des activités spécifiques au cycle 2 En liaison avec les programmes et le socle commun des connaissances.

Activité 2 Reproduire ce tangram (dimensions libres, procédé libre) A l’aide des 7 pièces du tangram, construire les figures suivantes, en gardant une trace à main levée de l’assemblage trouvé : un rectangle, un triangle rectangle isocèle, un parallélogramme, un trapèze rectangle, un trapèze isocèle.

Exemple 1. Evaluations nationales - CE2 – 2004 - Exercice 6 Résultats Item 10 87,2% Item 11 81,1% Item 12 51,3% Résultats Item 10 87,2% Item 11 81,1% Item 12 51,3% Les élèves arrivent à localiser la piscine (item 10), et le garage (item 11), mais éprouvent des difficultés à traiter les informations pour tracer le trajet. L’analyse de l’item 12 montre l’intervention d’expressions décrivant des relations spatiales : Tourner à droite, à gauche, « à droite de la fontaine », « sur sa gauche ». On voit que l’élève face à cet exercice doit se décentrer, s’imaginer en train de circuler dans un espace inconnu, imaginer sa propre rotation, en se mettant à la place de celle de Théo.

Exemple 2. Evaluations nationales – CE2 - 2005 b.      49,18% Résultats : Alors que les élèves réussissent à trouver 3 points alignés parmi une configuration inorganisée de 10 points à près de 90%, il l est difficile à plus de la moitié d’entre eux de repérer 4 points qui déterminent les sommets d’un rectangle. Ceci nécessite : de manipuler mentalement des paramètres spatiaux (des points) et une figure (le rectangle), De relier mentalement 4 points et de les identifier comme sommets d’un rectangle De reconnaître ce rectangle malgré son orientation (rotation mentale du rectangle prototypique D’effectuer la tâche avec les instruments pour confirmer le résultat de son anticipation. Cette activité comporte des variables qui la rendent complexe, comparativement à l’item ci-dessous.

Exemple 3. Les élèves réussissent à La situation nécessite d’avoir une représentation de ce qu’est un rectangle, et de le voir sur les lignes du quadrillage. Les commentaires des cahiers d’évaluations rappellent que cette tâche est sont exigeante car elle « sollicitent les élèves de façon inhabituelle. En effet, le travail sur quadrillage est effectué dans une disposition à 45° qui n’est pas celle des carreaux du cahier. Les conséquences sont importantes quant aux stratégies à mobiliser. La réussite à ces items est donc la garantie d’une maîtrise approfondie des concepts de rectangle et carré, allant au delà de la simple identification de ces figures en « bonne position » : Un autre obstacle est celui de la compréhension de l’expression « sur ces quadrillages ». Selon les cas, à l’école, dessiner sur quadrillage peut signifier différentes choses : - tracer des figures en n’utilisant que les lignes du quadrillage ; - tracer des figures en joignant des nœuds du quadrillage, tout en s’autorisant à dessiner en dehors des lignes ; - tracer sur le support quadrillé en ne tenant pas compte du quadrillage. 74,61%.

Exemple 4- Evaluations nationales – Maths - CE2 – 2004 26,4% Cet item est réussi à 26,4% . La consigne peut paraître complexe : les trois dessins doivent se trouver à l’intérieur d’un carré dont les sommets sont des nœuds du quadrillage (implicite). Les erreurs peuvent être de diverses natures : erreur de dénombrement de carreaux pour construire le carré mais respect de la contraite « à l’intérieur de » Non prise en compte de la contrainte « les trois doivent être à l’intérieur d’un seul carré et construction de 3 carrés ou autres polygones renfermant ces figures Non prise en compte des nœuds du quadrillage Etc.

Exemple 5 Evaluation CE2 – septembre 2006 – Ex.8 Résultats : Résultats : 78,35%

Conclusion provisoire Les connaissances que doivent mobiliser les élèves s’effectuent ici dans l’espace de la feuille. de papier. Or, elles supposent des compétences spatiales non prises en compte par les programmes avant 2002.. Depuis les programmes 2002, l’accent est mis sur la nécessité de les travailler les concepts spatiaux et géométriques en prenant en compte les résultats de la recherche.

L’espace et la géométrie à travers les programmes 2008 Espace et géométrie 2 - Géométrie Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique.

Se repérer dans l’espace et le temps Les élèves découvrent et commencent à élaborer des représentations simples de l’espace familier : la classe, l’école, le quartier, le village, la ville. Ils comparent ces milieux familiers avec d’autres milieux et espaces plus lointains. Ils découvrent des formes usuelles de représentation de l’espace (photographies, cartes, mappemondes, planisphères, globe).

Suite EPS : - Activités d’orientation : retrouver quelques balises dans un milieu connu. DÉCOUVERTE DU MONDE Ils acquièrent des repères dans le temps et l’espace, des connaissances sur le monde et maîtrisent le vocabulaire spécifique correspondant. Ils dépassent leurs représentations initiales en observant et en manipulant.

1- Se repérer dans l’espace et le temps Les élèves découvrent et commencent à élaborer des représentations simples de l’espace familier : la classe, l’école, le quartier, le village, la ville. Ils comparent ces milieux familiers avec d’autres milieux et espaces plus lointains. Ils découvrent des formes usuelles de représentation de l’espace (photographies, cartes, mappemondes, planisphères, globe).

En EPS et arts visuels -Activités d’orientation : retrouver quelques balises dans un milieu connu. (EPS) Ces pratiques s’exercent autant en surface qu’en volume à partir d’instruments, de gestes techniques, de médiums et de supports variés. (arts visuels)

Le socle commun des connaissances- compétence 3 - situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; - reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; - utiliser la règle et l’équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle ; - utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure ; - être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs ; - résoudre des problèmes très simples ; - observer et décrire pour mener des investigations ;

Compétence 7 L’autonomie et l’initiative L’élève est capable de : - écouter pour comprendre, interroger, répéter, réaliser un travail ou une activité ; - échanger, questionner, justifier un point de vue ; - travailler en groupe, s’engager dans un projet ; - maîtriser quelques conduites motrices comme courir, sauter, lancer ; - se représenter son environnement proche, s’y repérer, s’y déplacer de façon adaptée ;

Les différents types d’espace d’après Piaget Espace perceptif (ou sensori-moteur ): Espace dans lequel l’information est prise telle quelle et utilisée directement Espace représentatif : Ici on effectue l’analyse des données perceptives Espace projectif: on peut se décentrer, se mettre la place d’autrui, avec l’acquisition de la perspective Espace euclidien (ou métrique) : distance, mesure

Stades de développement selon Piaget

Les différents types d’espace (Galvez, Brousseau, 1983) Le micro-espace ou « espace des interactions liées à la manipulation des petits objets » le méso-espace ou « espace des déplacements du sujet dans le domaine contrôlé par la vue, Le macro-espace ou espace accessible uniquement à des visions partielles.

Les compétences spatiales intervenant dans les activités Elles font intervenir certaines composantes: la perception spatiale, la visualisation, la rotation mentale, les relations spatiales, l’orientation dans l’espace.

L’orientation spatiale  Elle concerne : L’habileté à établir un lien entre la position des objets et sa propre position. L’habileté à lire et à interpréter l’information contenue dans une figure, un tableau, un graphique, un plan L’habileté à comprendre le vocabulaire associé dans chaque cas. Elle est associée à la perception à l’utilisation directe de l’information en provenance du milieu

Cas de l’orientation spatiale Les recherches inter-linguistiques en orientation spatiale rappellent l’existence de trois axes fondamentaux pour appréhender l’espace immédiat : Gauche-droite, Devant-derrière, Haut-bas Avec une certaine hiérarchie : Haut-Bas > devant-derrière> gauche-droite, Et des différences culturelles par exemple pour les termes devant-derrière.

Devant/derrière à travers les cultures « La lettre est derrière le cendrier. » Imagerie face à face imagerie en tandem Bien que la lettre et le cendrier n’aient pas d’orientation intrinsèque, cette phrase est usitée dans toutes les langues étudiées en recherche. Les Occidentaux considèrent généralement le cendrier comme s’il était orientés vers eux.(imagerie face à face) Dans de nombreuses cultures africaines, les locuteurs voient les objets comme s’ils regardaient avec eux vers un point plus lointain. (imagerie en tandem)

À droite/à gauche à travers les cultures La lettre est à gauche du cendrier Les locuteurs occidentaux traitent cette fois le cendrier comme s’il était orienté dans l’autre sens par rapport à eux, (tandem, )les non-occidentaux continuant à utiliser l’imagerie en tandem. Les mêmes recherches signalent cependant que dans toutes les cultures, il y a adaptation de ces imageries selon la configuration spatiale des objets. Ainsi, si un des objets est caché par l’autre, il est systématiquement derrière cet autre objet. Voir pour plus de détails les travaux de Clifford Hill, Recherches interlinguistiques en orientation spatiale, in Communication, 1991, Vol. 53 N°1 (www.persée.fr)

Rapports projectifs ( Tâche de type Piaget)

De l’endroit où il est assis, l’élève doit répondre à 2 questions à partir des photos ci-dessous:

Exemples d’activités au cycle 2 dans le méso-espace Se repérer dans l’espace ou repérer des objets dans l’espace exemple de jeu : « Jacques a dit » en utilisant des postures corporelles Le plan de la classe (cour de l’école) Orientation en EPS : sur, sous, au-dessus de, entre, devant, derrière, etc. Relations spatiales dans la classe e) Repérage sur quadrillage f) déplacement sur quadrillage g) alignement f) perpendicularité

Du méso au micro – exemple de l’alignement Objectif Se construire une image mentale de la notion d’alignement dans toutes les directions Méso Phase 1 Repérer l’alignement d’objets construire une configuration d’objets alignés ex 1 : dans la cour : compléter un alignement avec d’autres éléments - ex 2 – sur table: jeu du tic tac toe (jeu de cases alignées verticalement, horizontalement ou en diagonale Micro Phase 2 Reconnaître l’alignement de points sur quadrillage (nœuds), sur feuille pointée, sur papier uni Compléter une configuration de points (ou de cases) pour qu’ils soient alignés Application Phase 3 - Tracer des lignes passant par n points, reconnaître l’alignement de points, compléter une configuration avec des points pour qu’ils soient alignés, construire une configuration de points alignés.

Le jeu de tic tac toe Matériel : des jetons ronds et des jetons triangulaires : ●, ▲ Chaque joueur choisit une forme de jeton. A tour de rôle, les joueurs placent un de leurs jetons dans une case du quadrillage. Le but est d’être le premier à compléter une rangée de ses trois pions horizontalement, verticalement ou en diagonale 

Déroulement Sur le sol un grand quadrillage de 33 carreaux Deux joueurs, Premier joueur, 3 jetons ronds et deuxième joueur 3 triangulaires Phase 1 – jeu collectif par deux joueurs et le reste de la classe observe. On explique la règle et on s’assure de sa compréhension. Utiliser les termes cases (ou nœuds) alignés, horizontalement, verticalement, en diagonale Phase 2. jeu effectif par groupe de deux Application sur feuille de papier - repérer des alignements de cases spécifiques ou de noeuds sur quadrillage - placer des points alignés avec des points donnés - Joindre des points alignés à la règle. - Relier des points pour compléter un dessin à main levée puis à la règle. Ces activités seront reprises dans la reproduction et la construction de figures.

Le tracé à la règle Il est important d’entraîner les élèves à l’utilisation de la règle : travail sur le maintien, la position par rapport aux éléments à relier, le soin des tracés etc. (voir photocopies) Exemples d’activités Tracer des traits droits à la règle sans contrainte sur support uni Relier des points à la règle S’entraîner à tracer des traits dans différentes directions à main levée, puis à la règle Tracer des traits à partir de points fixes Prolonger des traits pour compléter un quadrillage Suivre un trait en pointillés pour tracer des traits délimités Reproduire des figures en prenant appui sur des points Tracer à la règle sur quadrillage : reproduire de figures, compléter des figures Variables importantes : la direction le support la distance entre les points La complexité des figures

leur genèse s’effectue différemment Les rapports entre connaissances spatiales et connaissances géométriques (M.-H. Salin) leur genèse s’effectue différemment  ce sont les problèmes spatiaux qui ont donné naissance à la géométrie Les connaissances géométriques sont des outils pour la résolution des problèmes spatiaux  - pour le vocabulaire, par ex : sommet, milieu, etc ou façon d’utiliser les termes : « pelouse rectangulaire » n’est pas interprété en dehors du contexte mathématique, comme pouvant être carrée.

Corrigé ex1 La tâche demandée porte en particulier sur un aspect des compétences spatiales : la visualisation spatiale. . La principale difficulté réside dans la non-perception des carrés en position oblique. Une autre difficulté peut résider dans la consigne : doit-on exploiter toutes les positions possibles occupées par le carré 11 par exemple ? ou s’agit-il de trouver des carrés tous différents?

et 6 carrés en position oblique

Nomme les faces visibles du cube comme indiqué sur le patron, en respectant l’orientation des lettres. Complète le patron du cube avec les nombres comme sur la représentation en perspective. La somme des nombres sur les faces opposées d’un dé est égale à 7.