CHAPITRE 3: LES NOMBRES

I- Les ensembles de nombres -Les entiers naturels servent à dénombrer une quantité fini d’objets. 0;1;2;3… sont des nombres naturels. L’ensemble des entiers naturels est noté N. -Les entiers relatifs sont des entiers naturels précédés ou non d’un signe « - ». …-4;-3;-2;-1;0; 1;2…sont des entiers relatifs. L’ensemble des entiers relatifs est noté Z. -Les nombres décimaux sont des nombres à virgule avec un nombre fini de chiffre après la virgule. L’ensembles des nombres es noté D.

Exemple: -7,23 est un nombre décimal -Les nombres rationnels sont des nombres pouvant s’écrire sous forme de fraction. En écriture décimal, un nombre rationnel peut avoir une infinité de chiffres après la virgule mais toujours avec une périodicité. L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. Exemples: 1/3=0,33….. est un nombre rationnel 23/7 est un nombre rationnel -Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne peuvent s’écrire sous forme de fraction. La partie décimale d’un nombre irrationnel est infinie et n’a aucune périodicité.

Exemple: ; 2 ; 7 L’ensemble de tous les nombres, rationnels et irrationnels, est l’ensemble des réels noté R. 1;2;3… -2 N -1 -3 Z D Q R

II- Règle de calcul dans IR 1) Pour ajouter deux rationnels Pour ajouter deux fractions ayant le même dénominateur, on ajoute uniquement les numérateurs. Si les deux fractions n’ont pas le même dénominateur, on fait en sorte qu’elles aient le même dénominateur en multipliant en haut et en bas par le même nombre. Exemple: 1/7 + 2/7 = 3/7 ¾ + 5/3 = 3x3/4x3 + 5x4/3x4 = 9/12 + 20/12 = 29/12

2) Pour multiplier deux rationnels Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Exemple: 1/3 x 5/6 = 5/18 -5/2 x 3/2 = -15/4 3) Pour diviser deux rationnels Diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse. ! On ne divise jamais par 0

Exemples: 3/2 / 5/7 = 3/2 x 7/5 = 21/10 10/5 / 2 = 10/5 x ½ = 10/10 = 1 4) Manipuler des irrationnels Dans la majorité des cas, effectuer un calcul avec un irrationnel conduit à un résultat ne pouvant être simplifier. Par exemple 2 +1 est un calcul entre un irrationnel et un entier, le résultat est alors un nombre irrationnel mais qui ne peut être écrit sous une forme simplifiée.

a) Ajouter des racines carrés On ne peut ajouter des racines carrés entres elles uniquement si elles ont le même nombre. Autrement dit, 2 + 3 ne peut être écrit différemment alors que 5 + 5 donne 2 5 . De même, 2 3 + 5 7 ne peuvent être écrit différemment alors que 5 3 + 4 3 donne 9 3 . b) Multiplier des racines carrés Soit a et b deux entiers naturels alors a x b = axb .

Exemple: 3 x 5 = 3x5 = 15 (cette propriété permet donc aussi de simplifier l’écriture d’une racine carré). c) Diviser des racines carrés Soit a et b des entiers naturels avec b≠0: = Exemple: = = = 2 a a b b 12 12 4 3 3

III- Développer et factoriser Pour résoudre un calcul (ou une équation ou une inéquation), il est parfois nécessaire de développer ou factoriser. Développer une expression revient à augmenter le nombre de multiplication alors que factoriser revient à diminuer le nombre de multiplication. 1) Formules de bases Pour tous réels k, a et b: k(a+b)=ka+kb k(a-b)=ka-kb

Exemple: 7x103=7(100+3)=7x100+7x3=700+21=721 2) Identités remarquables (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² (a+b)(a-b)=a²-b² Exemple: (1+2)²=1²+2x1x2+2²=1+4+4=9 (1-3)²=1²+2x1x3+3²=1+6+9=16 (7-2)(7+2)=7²-2²=49-4=45

IV- Résoudre une équation Une équation est une égalité comportant une inconnue (en générale notée x). Résoudre une équation revient à déterminer la (ou les) valeur(s) de l’inconnue rendant l’égalité vraie. 1) Du premier degré Une équation est du premier degré si l’égalité ne comporte que des « x » et pas de « x² » ni de « x³ »… pour résoudre une telle équation, il suffit d’isoler les « x » dans un membre de l’égalité et

les nombres seuls dans l’autre. On obtient alors une égalité du type Ax=B où A et B sont des réels. Différents cas se présentent alors: 1er cas: si A≠0. l’équation a alors une seule solution: x=B/A. 2ème cas: si A=0 et B≠0. L’équation n’admet aucune solution. 3ème cas: si A=0 et B=0. L’équation admet une infinité de solutions: ce sont tous des réels.

Méthode: Pour isoler les x, on a le droit d’ajouter un même nombre des deux côtés (ou soustraire). On a le droit de multiplier (ou diviser) par un même nombre des deux côtés de l’égalité. Exemple: 7x-3=2(x-2)+5 7x-3+3=2x-4+5+3 7x=2x-4 7x-2x=2x-2x+4 5x=4 x=4/5

2) Du second degré Une équation est du second degré lorsque l’égalité comporte des « x² » (et pas de x³…). Pour résoudre les équations du second degré, on passe tous les termes dans le membre de gauche, on factorise ce dernier puis on utilise la propriété: un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul. Chacun des facteurs étant du premier degré, cela nous conduit à la résolution d’équations du premier degré.

Exemple: résoudre (2x+3)(x-1)=(2x+3) (2x+3)(x-1)-(2x+3)x1=0 (2x+3)(x-1-1)=0 (2x+3)(x-2)=0 Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul: 2x+3=0 ou x-2=0 2x=-3 x=2 x=-3/2 L’équation a pour solution: -3/2 et 2

V- Résoudre une inéquation 1) Du premier degré Pour résoudre une inéquation du premier degré, on isole « les x » dans le membre de gauche et les nombres dans le membre de droite en veillant à changer l’ordre de l’inéquation uniquement si on multiplie ou on divise par un nombre strictement négatif des deux côtés. Ensuite on isole x dans le membre de gauche en respectant les mêmes règles.

Exemple: 7(x-3)<8(x+2)-6x Les solutions sont les réels de ]- ;37/5[. 2) Tableau de signe On peut résumer les différents signes, on prend l’expression ax+b (où a et b sont des réels) dans un tableau:

Exemple: dresser le tableau de signe 3x-2 et -x+4 x - -b/a + ax+b 8 8 Si a>0 Si a<0 Exemple: dresser le tableau de signe 3x-2 et -x+4 x - -b/a + ax+b - 0 + x - -b/a + ax+b + 0 - 8 8 8 8 x - 4 + -x+4 + 0 - 8 8 x - 2/3 + 3x-2 - 0 + 8 8

Remarque: pour étudier le signe d’une expression factorisée, on étudie le signe de chacun des facteurs et on utilise la règle des signes vu en activité page 117. Lorsque l’expression est du type rationnel, on met une double barre lorsque le dénominateur s’annule. 3) Du second degré Pour résoudre une inéquation du second degré, on passe le membre de droite à gauche afin

D’avoir un second membre nul. On factorise le membre de gauche. On dresse le tableau de signe de l’expression ainsi factorisée et on conclue. Remarque: si l’inéquation comporte des expressions rationnels, on ramène le tout dans le membre de gauche, on réduit au même dénominateur afin d’avoir une seule expression rationnel où le numérateur et le dénominateur sont factorisés.