Lycée MM Fourcade Gardanne Mécanique des fluides HYDRODYNAMIQUE

Sommaire 3) HYDRODYNAMIQUE 3.1- Lignes de courant 3.2- Ecoulement permanent 3.3 - Débit massique; débit volumique 3.4 - Équation de Bernoulli 3.5 – Viscosité 3.6 - Différents régimes 3.7 - Pertes de charge 3.8 – Energétique hydraulique

3.1- Lignes de courant Les lignes de courant sont les trajectoires suivies par les molécules d'un fluide en mouvement (voir figure ).

3.2 - Écoulement permanent Un écoulement est dit permanent lorsque les lignes de courant ne varient pas au cours du temps. En un point du fluide, toutes les molécules passent avec la même vitesse (les vitesses sont indépendantes du temps). Dans un écoulement parfait, on considère que toutes les molécules traversant une même section ont la même vitesse.

3.3 - Débit massique et débit volumique d'un liquide a. Débit massique Le débit massique Qm est le rapport de la masse m de liquide s'écoulant pendant le temps t Unités: m(masse) en kg; t(durée) en s; Qm(débit massique) en kg/s ρ(masse volumique) en kg/m3; S(l’aire de la section) en m2; v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s

QV(débit volumique) en m3/s b. Débit volumique Le débit volumique Qv est le volume de fluide, par unité de temps, qui traverse une section droite. Unité : mètre cube par seconde (m3/s ) QV(débit volumique) en m3/s V (volume) en m3; t(durée) en s; S(l’aire de la section) en m2; v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s

ρ étant la masse volumique du liquide, on constate: Remarque: ρ étant la masse volumique du liquide, on constate: Qm = ρ×QV On utilise plus généralement le débit volumique que l'on notera, sauf ambiguïté Q

Exemple : Dans un tube de diamètre intérieur d = 12,7 mm s'écoule, à la vitesse moyenne de 1,2 m/s, de l'huile de masse volumique 820 kg/m³. Calculer : le débit volumique Qv et le débit massique Qm

Solution L’aire: m2 Débit volumique Qv Débit massique Qm

c. Équation de conservation des débits En admettant que le débit est le même dans toutes les portions du circuit (conservation de la matière), on obtient l'équation suivante, appelée équation de continuité : v1 S1 = v2 S2

Exercice 4 : Hydrodynamique – Nettoyeur haute pression Remarque Dans un écoulement, vitesse et section sont des grandeurs inversement proportionnelles. Exercice 4 : Hydrodynamique – Nettoyeur haute pression 1. Quelle doit être la section en (1) pour que la vitesse de l'eau en sortie soit de 140 m/s ? 2. Quelle est la vitesse de l'eau dans le tuyau (2 ), sachant que sa section a un diamètre de 1,2 cm ? 3. Quelle est la puissance hydraulique utile Pu (en W)

Soit une surface S1 en entrée de 1 mm2 Solution 1 L/min = 10-3 / 60 m3/s Q = 8,4 L/min = 8,4x10-3 / 60 = 1410-5 m3/s 1. Section en (1) = 14x10-5 / 140 = 1x10-6 m2 Soit une surface S1 en entrée de 1 mm2

2. Aire de la section (2) S2 = p x D2 / 4 = p x (1,2x10-2)2 / 4 = 113x10-6 m2 Soit une surface S2 en sortie de 113 mm2 Vitesse en (2) 1410-5 / 113x10-6 = 140/113 m.s1 Soit une vitesse V1 en entrée de 1,24 m/s 3 - Puissance hydraulique utile Pu (en W) Débit volumique en m3/s Pression en Pascal ou N/m2 Pu = Qv . p = ([8,4 . 10-3]/60) . (120.105) = 1680 W

d. Puissance hydraulique 1. Cas d’un vérin hydraulique La puissance transmise par un fluide hydraulique est appelée "puissance hydraulique". 1. Cas d’un vérin hydraulique F : force exercée par la tige du vérin v : vitesse en sortie de tige S : section du piston Qv : débit reçu p : pression dans la chambre du vérin. La puissance utile d'un vérin est donnée par la relation : Pu = F × v

Si on considère les pertes négligeables : Pu = Pa Qv Or F = p×S; v = ; p en pascal; Qv en m3/s; S Pa en Watt Donc Qv Pa = F v = P×S× = p×Qv S

P = p × Qv p ×Qv P = 600 2. Cas général Un fluide hydraulique de débit Qv et de pression p transporte une puissance hydraulique P, telle que: p en pascals P = p × Qv Qv en m3/s et P est en Watt Ou encore p ×Qv P = 600 p en bar Qv en L/min et P est en kiloWatt

p×Qv P = 600 80×36 P = 600 Pu = 4,8×0,80 Exemple Un vérin de rendement 80 %, reçoit un débit de 36 L/min sous une pression de 80 bars. Calculez la puissance utile du vérin. Réponse p×Qv Puissance absorbée: P = 600 80×36 P = = 4,8 kW 600 Pu = 4,8×0,80 Puissance utile: = 3,84 kW

3.4 - Équation de Bernoulli 1. Cas général Soit un fluide parfait, incompressible, s'écoulant dans une conduite non constante (S1 < S2 ). Considérons une portion de ce fluide de masse volumique r et de volume V.

Chacun des ces termes est homogène à une pression… L’équation de Bernoulli traduit la variation de la vitesse v, de la pression p et de l’altitude z entre les positions (1) et (2): Chacun des ces termes est homogène à une pression… r s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; p en Pa et z en m

Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli ½ . r . V 2 La composante volumique d’énergie cinétique du fluide r (masse volumique) remplace la masse m p La composante volumique du travail des forces de pression p du fluide r . g . Z La composante volumique d’énergie potentielle de hauteur Z du fluide r s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; p en Pa et z en m 20

½ . r . v 2 E c = ½ . m . v 2 et m = r . Volume Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli ½ . r . v 2 La composante volumique d’énergie cinétique du fluide r (masse volumique) remplace la masse m E c = ½ . m . v 2 et m = r . Volume r s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; 21

p Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli La composante volumique du travail des forces de pression p du fluide Travail des forces de pression p du fluide  W (p) Avec W(p) = F.l et F = p.S donc W(p) = p. S . l et S . l = Volume de fluide déplacé l : déplacement du fluide en m S : Surface de fluide déplacé en m2 p pression en Pa 22

r . g . Z r s’exprime en kg·m-3; Volume en m-3; z en m Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli r . g . Z La composante volumique d’énergie potentielle de hauteur Z du fluide Energie potentielle de hauteur Z du fluide  E p(Z) Avec E p(Z) = m . g . Z et m = r . Volume r s’exprime en kg·m-3; Volume en m-3; z en m 23

2. Cas d’un écoulement horizontal: Effet Venturi z1 = z 2 Soit un écoulement permanent dans une conduite horizontale présentant un étranglement. L’équation de Bernoulli entre l’état (1) et l’état (2) s’écrit:

Comme S1 > S 2 , v2 > v 1 et par conséquent p2 < p 1 La pression d’un fluide diminue lorsque la vitesse de son écoulement augmente. Applications: Pistolet à peinture; vaporisateur; aile d’avion…

n = h / r 3.5 - Viscosité d’un fluide Les fluides parfaits s’écoulant sans frottement n’existent pas réellement . L’écoulement d’un fluide réel fait apparaître des frottements des molécules entre elles et avec les parois de la conduite. La viscosité dynamique d’un fluide réel caractérise son aptitude à s’écouler . On la note: (éta) et elle s’exprime en pascal seconde(Pa·s) La viscosité cinématique est donnée par la formule suivante: n = h / r n (nu) : Viscosité cinématique en (m2/s) Avec h (éta) : Viscosité dynamique en (Pa·s) r (rhô) : masse volumique en (kg/m3)

Autres unités plus pratiques: Le stokes (St): 1 m2/s = 104 St Le centistokes (cSt): 1 cSt = 10-2 St La viscosité des liquides diminue si la température augmente.

R e = V . D / n 3.6 - Les différents régimes d’écoulement: On distingue deux régimes d’écoulement :Laminaire ou Turbulent. Les régimes d’écoulement sont déterminés à l’aide d’un nombre appelé nombre de Reynolds (sans unité), noté Re Laminaire R e = V . D / n V: Vitesse d’écoulement en (m/s) Avec D : Diamètre en (m) mètre n : Viscosité cinématique en (m2/s) Turbulent 28

p 3.7 - Les pertes de charge: La viscosité du fluide et la longueur de la conduite engendrent des pertes de pression appelées aussi pertes de charge Les pertes de charges linéiques ou régulières, notées p, sont exprimées en pascal (Pa): K: coefficient de pertes de charge(sans unité) L: longueur de la conduite(en m) D: diamètre de la conduite(en m) : masse volumique du fluide(en kg/m3) v : vitesse du fluide(en m/s) p

Pour un écoulement laminaire: Pour un écoulement turbulent: Remarque : Il existe d’autres pertes de charge liées à des singularités des conduites : coudes, rétrécissements, vannes…Elles sont nommées pertes singulières. Dans la pratique, des tableaux ou des abaques permettent de calculer les pertes de charge en mètres de longueur de conduite.

3.8 - Énergétique hydraulique Appliquée à l’étude d’un système composé d’une pompe hydraulique entraînée par un moteur, pour alimenter un vérin.

Schéma hydraulique de l’opérateur FAAC Étude d’un système composé d’une pompe hydraulique entraînée par un moteur, pour alimenter un vérin.

1. Moteur L’arbre du moteur est soumis à un couple de forces de moment M M en N·m Avec d : Distance (bras de levier )en (m) mètre F en N Puissance utile du couple moteur  Pu = W . M M en N·m (Newton.mètre) Avec n: fréquence de rotation en tr/s P en watt(W)

Rendement du moteur h (éta) : Rendement (nombre sans unité) 2. La pompe Caractéristiques: débit Q en m3/s fréquence de rotation n en tr/s cylindrée C: volume du fluide refoulé à chaque tour de pompe (C est en m3/tr)

P a(pompe) = P u(moteur) Puissance hydraulique d’une pompe Pu: puissance en watt Avec p: pression en pascals (Pa) Q: débit en m3/s Rendement d’une pompe P a(pompe) = P u(moteur)

3. Vérin Le fluide exerce une force pressante F sur le piston du vérin provoquant son déplacement d’une distance d(sa course), à la vitesse constante v pendant une durée t; Dans ce cas la puissance est donnée par: Pu: puissance en watt F: force exercée en N Avec d: distance(course) en m v: vitesse en m/s t: durée en secondes(s)

P a(vérin) = P u(pompe) Rendement d’un vérin 4. Rendement global d’une installation hydraulique Fin

Exercice N° 7 – Hydrodynamique – Pompage et pertes de charges Plan du chantier (le puits est ouvert à l’air libre) Alimenter Panneaux solaires Convertir Moteur courant continu Transmettre Adapter Pompe mono volumétrique Distribuer Driver de commande Chaîne d’énergie partielle- Schéma N°2 Énergie « Solaire » h1 = 99% h2 = 83% h3 = 70% Chaîne d’énergie du système de pompage

Pression relative au point 2  principe fondamental de l’hydrostatique 1) Pression relative au point 1  P1 = P atm (écoulement à l’air libre) Pression relative au point 2  principe fondamental de l’hydrostatique P2 – P3 = ρ g h Le point 3 étant à la surface de l’eau dans le puits D’où : P2 = 1000 x 9,81 x 6 =58860 Pa soit environ 0,59 bar 2) 2.1 Les pertes de charge linéaires (ou régulières) sont : - proportionnelles à la longueur du conduit - inversement proportionnelles à la longueur du conduit - dépendantes du type d’écoulement (nombre Reynolds) - proportionnelles au diamètre du conduit - inversement proportionnelles au diamètre du conduit - proportionnelles à l’épaisseur de la canalisation. 2.2 La canalisation peut être réalisée dans l’un des deux diamètres (en mm) suivants : 20 ou 40. Le diamètre le plus adapté est le plus grand soit 40 mm pour diminuer les pertes de charge linéaires 3

P Entrée système = P Sortie système / h g = 130 / 0,57519 = 226 Watt 3) La pompe doit fournir une pression de 2,6 bars pour faire monter l’eau avec un débit de 30L/min. Puissance hydraulique de la pompe ? P = Q . p Donc P = (30x 10-3/60) x (2,6 x 105) = 3 x 102 x 2,6 /6 soit 130 Watt 4) Le système de pompage est alimenté par des panneaux solaires. La pompe fournie par le fabricant a une puissance de 130 W. Rendement global h g du système ? Rendement global h g = produit des rendements intermédiaires = h 1 x h 2 x h 3 = 0,99 x 0,83 x 0,7 soit 0,57519 arrondi à 0,58 Puissance électrique fournie par les panneaux solaires ? P Entrée système = P Sortie système / h g = 130 / 0,57519 = 226 Watt Pu: puissance en watt Avec p: pression en pascals (Pa) Q: débit en m3/s 3 FIN