Ondes – Propriétés Générales 5 Mai 2008 Ondes – Propriétés Générales fonction d’onde y(x,t) déplacement phase amplitude Exemple 1: un élément de corde sujette a une impulsion qui se propage le long de l’axe x se déplace le long de l’axe y ( onde transverse: le mouvement de chacun de ses éléments est perpendiculaire a la direction de propagation de l’onde). (a) Pour x=0 on a : . (b) Pour t=0 on a : Photo instantanée!! Def. période T : si pulsation et fréquence f de l’onde: STA 08

Ondes – Propriétés Générales Def. longueur d’onde : si nombre d’onde k [m-1]: (nombre de longueurs d’onde dans un cycle ) Def. vitesse d’une onde ( déplacement d’un point donne’ – ou’ de tous les points de même phase – dans un intervalle de temps unitaire ) . : P(x1,y1)  P(x1+ ,y1) : y1 = const STA 08

Ondes – Propriétés Générales onde progressive onde rétrograde Exemple 2- onde sonore ( exemple d’onde longitudinale, parce que le déplacement de l’onde - de ses couches de surpression et dépression d’air) - se passe dans la même direction de sa propagation) . Rem: les deux cas d’ondes, une corde, ou une onde sonore, ont besoin d’un milieu( l’air) pour se propager. Les ondes électromagnétiques, par contre, se propagent aussi dans le vide ! STA 08

Ondes – Propriétés Générales Calcul de la vitesse d’une onde mécanique sur une corde tendue, en utilisant la loi de Newton, en fonction des propriétés matérielles ( , ) de la corde (arc de corde subtendu par l’angle 2 ) F force appliquée a un point P de la corde = 2 tensions , arc de cercle et courbure de la corde sur un cercle de rayon R masse par unité de longueur de la corde . vitesse de l’onde élasticité!! inertie!! La vitesse de l’onde dépend de la tension et de la masse linéaire de la corde, mais pas de la fréquence de l’onde . (Sa longueur d’onde « s’adapte » en conséquence, STA 08

Ondes – Propriétés Générales Equation d’onde On obtiendra une fonction valide pour tout type d’ondes, mais on choisit le cas spécial de l’onde mécanique sur une corde tendue comme exemple de calcul. (fig texte,pg.105) Equation de Newton pour un élément dl dans une portion déformée de la corde: déformation selon l’axe y . selon l’axe x portions non déformées Eq.n Newton sur axe y STA 08

Ondes – Propriétés Générales . Equation d’onde N.B.: L’harmonique satisfait a l’équation d’onde la fonction y ( x,t ) = f ( x – vt ) y satisfait aussi. STA 08

Ondes – Propriétés Générales Energie associée a une onde mécanique (1) énergie cinétique fig texte, pg 107 vitesse d’un élément de corde, le long de l’axe y En (a) : En (b) : . énergie cinétique maximale STA 08

Ondes – Propriétés Générales (2) énergie potentielle (elastique) En (a) : énergie potentielle maximale En (b) : élastique Cette énergie est fournie par nous (nos impulsions) a la corde, dont chaque élément se déplace en direction verticale avec le temps (chaque élément étant alors comprime et allonge consécutivement). . On a parle de vitesse d’un élément de corde en tant que déplacement le long de l’axe y par rapport au temps la vitesse de propagation de l’onde sur la corde est par contre un déplacement le long de l’axe x par rapport au temps. La propagation de l’onde est responsable du transport d’énergie (en direction x), mais le « transport de matière » se passe seulement en direction y,cad perpendiculaire a la direction de propagation de l’onde (pour une onde sur corde tendue). STA 08

Ondes – Propriétés Générales Principe de superposition Exemple: superposition de deux ondes sinusoïdales, de même amplitude, même fréquence, Et se propageant dans la même sens sur une corde tendue. (somme algébrique) . formule d’addition des sinus onde résultante (même fréquence, même longueur d’onde, même sens de propagation, se propageant sur la même corde, avec amplitude: STA 08

Ondes – Propriétés Générales Principe de superposition de deux ondes: interférence amplitude de l’onde résultante interférence destructive interférence constructive . Représentation de Fresnel Représentation géométrique: la somme des projections de deux vecteurs de même amplitude) est égale a la projection de la somme des deux vecteurs. Le vecteur résultant a la même amplitude, la phase est l’angle comme dessine en figure. Quand les deux amplitudes composantes sont différentes, l’amplitude résultante s’obtient en faisant l’addition vectorielle des deux vecteurs de Fresnel. fig texte, pg 110 STA 08

Ondes – Propriétés Générales Ondes stationnaires (Deux ondes composantes de même amplitude, fréquence et longueur d’onde, qui se propagent en sens opposes, créent une onde résultante Stationnaire (i.e. indépendante du temps): photo!! onde résultante: . onde stationnaire, cad cette onde ne se propage pas, en effet elle n’est pas de la forme et ne satisfait pas a l’équation d’onde ! y ( x,t ) = f ( x – vt ) STA 08

Ondes – Propriétés Générales Ondes stationnaires: nœuds et ventres nœuds = points de la corde a amplitude 0 ventres = points de la corde a amplitude maximale 2ym Rem.: deux nœuds adjacents, aussi que deux ventres, sont sépares par la quantité (demi longueur d’onde). . v. fig. pg 114 STA 08

Ondes – Propriétés Générales Onde stationnaire et résonance (harmoniques) Une onde stationnaire créée par la superposition de deux ondes une progressive et une rétrograde, comme décrit dans la section précédente, est obtenue par les conditions physiques imposées aux extrémités de la corde. (ex.: corde de guitare, de violon, ou de piano: la corde vibre, mais ses extrémités sont immobiles; ex 2) tuyau d’orgue, avec une extrémité fermée - un nœud de vibration -, et une ouverte – un ventre de vibration -. . . Condition a la position d’un nœud = déplacement nul. Une onde rétrograde est obtenue par réflexion, au point nodale, de l’onde progressive et au point nodale de l’autre extrémité. Le résultat est une onde stationnaire. Les conditions imposées par les nœuds ( points d’amplitude nulle), font si que certaines fréquences sont favorisées sur les autres, et une situation de résonance se crée. STA 08

Ondes – Propriétés Générales Voir figure pg 365 exemple de corde de longueur L, pincée aux deux extrémités: fréquence, longueur d’onde et vitesse d’ondes résonantes (sélectionnées) pour une corde fixe de Longueur L fréquence d’ordre de vibration plus basse ( fréquence ou harmonique fondamentale), n=1 . f = 2 v / 2 L (n = 2) fréquence de la deuxième harmonique f = 3 v / 2 L (n = 3) fréquence de la troisième harmonique . STA 08