TNS et Analyse Spectrale I. Le DSP : Introduction II. La Transformée de Fourier Discrète III. La Transformée de Fourier Rapide IV. Analyse Spectrale de Signaux Aléatoires V. Méthodes Classiques d ’estimation de la DSP VI. Estimation spectrale paramétrique Le plan de l’exposé se compose de cinq parties principales : 1. Tout d’abord le problème qui nous a été proposé par la DCN Saint-Tropez sera présenté. Le principe ainsi que les caractéristiques du brouilleurs intelligent seront développés. On mettra en évidence la nécessité d ’un traitement non linéaire des donnés. Ce qui nous amène à la seconde partie de l ’exposé, c ’est à dire l ’identification non linéaire.

III. La Transformée de Fourier Rapide 1) Forme matricielle de la TFD a) propriétés de la racine n-ième de l ’unité Propriétés : - La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

III. La Transformée de Fourier Rapide b) forme matricielle de la TFD et de la TFDI La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

III. La Transformée de Fourier Rapide 2) FFT par entrelacement temporel La FFT a été proposée par Cooley et Tukey en 1965. Il en existe plusieurs versions dont la FFT par entrelacement temporel : Ex. N=4 En utilisant les propriétés de la racine n-ième de l ’unite : La torpille émet un signal, ce signal est réfléchi par le bâtiment de surface. A partir du signal retour, la torpille est capable de déterminer la position du bâtiment. Dans le cadre d’un brouilleur on cherchera donc à perturbe ce signal retour. Dans le cas ou la torpille possède un système permettant de détecter un signal de brouillage elle modifie alors les caractéristiques de son signal. Notre but est d ’estimer ces caractéristiques afin d’émettre un signal de brouillage différents. La transmission du signal brouilleur entre l ’émetteur et le récepteur n ’est pas linéaire, il faudra donc utiliser des méthodes de traitement du signal non linéaire. Par la suite le signal sk sera le signal utile ou signal torpille xk la séquence d ’entrée yk la séquence d ’observation F la fonction non linéaire

III. La Transformée de Fourier Rapide X0= ( x(0) + x(2) ) + ( x(1) + x(3) ) X2= ( x(0) + x(2) ) - ( x(1) + x(3) ) X1= ( x(0) - x(2) ) + WN( x(1) - x(3) ) X3= ( x(0) - x(2) ) - WN ( x(1) - x(3) ) a b WNk a+WNkb a-WNkb A partir d ’une cellule de base appelée papillon FFT (butterfly) : la FFT pour N=4 peut être représentée par : x(0) 1 x(2) x(1) x(3) -j X0 X1 X2 X3

III. La Transformée de Fourier Rapide - comparaison des coûts de calcul : calcul direct : 4 fois (4 multiplications+3 additions) = 16 multiplications+12 additions calcul par la fft : 2 fois (2 multiplications+4 additions) = 4 multiplications+8 additions - FFT par entrelacement temporel car il a fallu mélanger les échantillons x(k) grâce au renversement des bits (bit reverse) de la représentation binaire des indices sur L bits avec N=2L pour N=4, L=2 bits : x(0) 1 x(2) x(1) x(3) -j X0 X1 X2 X3

III. La Transformée de Fourier Rapide - FFT d ’ordre N=8 par entrelacement temporel, L=3 : W=exp(-j2p/N)= exp(-jp/4) x(0) 1 x(4) x(2) x(6) W2 x(1) x(5) x(3) x(7) X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 W W3

III. La Transformée de Fourier Rapide - comparaison générale des coûts de calcul pour N puissance de 2, N=2L et L=log2(N) : calcul direct de la TFD : N fois N multiplications complexes calcul par la FFT : L fois (N/2 multiplications+N additions) soit L.N/2 multiplications -ex. N=1024, TFD :1.048.576 mult. FFT : 5.120 mult. soit un rapport TFD/FFT de 205 - Il existe bien d ’autres algorithmes rapides pour calculer la TFD, comme par exemple la FFT par entrelacement fréquentiel (decimation in frequency) : - Les échantillons ne sont pas entrelacés mais la sortie de la FFt doit être désentrelacée fréquentiellement. - ces algorithmes basés sur des papillons d ’ordre 2 (2 entrées-2 sorties) sont dit radix-2 mais il existe aussi des algorithmes dits radix-4 (papillons d ’ordre 4) et des algorithmes mixtes pour N différent de 2L

III. La Transformée de Fourier Rapide - estimation avec matlab du nombre de flops pour une fft d ’ordre N variant de 15 à 129 for n=15:129, flops(0), fft([1:n]),count(n)=flops, end 20 40 60 80 100 120 5 10 15 x 10 4 ordre de la fft nb de flops pour une fft

II. La Transformée de Fourier Discrète Ex. 1 Soit le signal réel de longueur N, x(k) : x=[1 1 0 0 0 0 0 0] - utilisez le diagramme en papillons de la FFT pour donner sa TFD - vérifier le résultat avec matlab - calculer la TFD inverse en utilisant le diagramme en papillons