Le théorème du papillon. Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. Énoncé Soit un cercle de centre O. M est le milieu d’une corde [PQ] de ce cercle. [AB] et [CD] sont des cordes passant par le point M. [AD] coupe [PQ] en X et [BC] coupe [PQ] en Y. Prouvons que M est aussi le milieu de [XY]. Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. Démonstration | | = | | et | | = | | (angles inscrits interceptant le même arc). Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. Les triangles AMD et CMB sont donc semblables (angles correspondants de même amplitude). Nous obtenons alors une égalité de rapport entre les longueurs des côtés correspondants : Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. Traçons [OH] [AD] et [OJ] [CB]. H et J sont les milieux respectifs de [AD] et [CB] car toute perpendiculaire à une corde passant par le centre du cercle est la médiatrice de cette corde. Donc, |AD| = 2 |AH| et |CB| = 2 |CJ|. Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. En remplaçant |AD| et |CB| dans l’égalité du point 2, nous trouvons : De plus, | | = | | . Les triangles AMH et CMJ sont donc semblables. Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. | | = | ’| (angles correspondants). Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. Traçons OM la médiatrice de [PQ]. Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. Le quadrilatère XMOH est inscriptible ( et sont opposés et supplémentaires). Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. Par le même raisonnement, le quadrilatère YMOJ est inscriptible ( et sont opposés et supplémentaires). Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. | | = | ’’| (angles inscrits interceptant le même arc). Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. | ’| = | ’’’| (angles inscrits interceptant le même arc). Or, | |= | ’| (cf. point 5). Donc, | ’’| = | ’’’|. Julie Beeckmans
Le théorème du papillon. 11) Les triangles XMO et YMO sont donc isométriques (ACA). M est donc le milieu de [XY]. Julie Beeckmans