Les vecteurs

Définition Un vecteur est une variable comprenant une grandeur et une orientation qui précise à la fois la direction et le sens.

Représentation d’un vecteur Pour représenter un vecteur, on utilise une flèche La longueur de la flèche est proportionnelle à la grandeur du vecteur. direction origine

L’orientation d’un vecteur L’orientation d’un vecteur est exprimée à l’aide d’un angle (θ) mesuré par rapport à la partie positive d’une droite horizontale. Par convention, les angles sont mesurés positivement dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. θ = 150 o Droite horizontale

Addition et soustraction de deux vecteurs

Méthode graphique: le triangle Si on déplace un vecteur sans modifier sa grandeur ou son orientation, il demeure inchangé. La méthode consiste donc à placer les vecteurs bout à bout afin de les additionner ou de les soustraire. Cette méthode demande beaucoup de précision dans le tracé des vecteurs.

Méthode pour additionner les vecteurs Tracer un système d’axes de référence. Dessiner les vecteurs à l’échelle en plaçant l’origine du second à l’extrémité du premier Tracer une droite reliant l’origine du premier vecteur à l’extrémité du second Mesurer la grandeur et l’orientation de la droite résultante. B A C A + B = C

Addition de plusieurs vecteurs B C D E A + B + C + D = E Il suffit de placer tous les vecteurs bout à bout puis de relier l’origine du premier vecteur à l’extrémité du dernier vecteur pour obtenir la résultante.

Méthode pour soustraire les vecteurs B C A - B = C Un vecteur négatif est identique à un vecteur positif sauf qu’il pointe dans le sens inverse. Pour soustraire deux vecteurs, il suffit d’inverser le sens du second vecteur puis de procéder comme pour l’addition.

Méthode mathématique: Les composantes Chaque vecteur peut être décomposé en deux composantes: une selon l’axe des x et une selon l’axe des y. y x A Ay Ax

Si on connaît les caractéristiques d’un vecteur (grandeur et orientation), il est possible de trouver ses composantes à l’aide des formules trigonométriques suivantes: Ax = A cosθ Ay = A sinθ A Ay Ax θ

Attention Pour que ces relations soient exactes, l’angle doit toujours être mesuré à partir de l’axe des x dans le sens anti-horaire. Si A = 3, alors Ax = 3 cos145o = -2,46 Ay = 3 sin145o = 1,72 y x 145o

Caractéristiques d’un vecteur à partir de ses composantes Grandeur: (relation de Pythagore) A2 = Ax2 + Ay2 Orientation: tanθ = composante selon l’axe des y = Ay composante selon l’axe des x Ax

Ay = 4 (côté opposé) θ Ax = 3 (côté adjacent) (hypothénuse) A A2 = Ax2 + Ay2 A2 = 32 + 42 A = 5 tan θ = côté opposé côté adjacent tan θ = ¾ = 0,75 θ = 36,9 o

Addition de deux vecteurs Comme les composantes d’un vecteur sont toujours placées à angle droit, le théorème de Pythagore et les règles de la trigonométrie permettent d’effectuer l’addition et même la soustraction de deux vecteurs.

Méthode pour l’addition On détermine les composantes de chacun des vecteurs à additionner. On additionne toutes les composantes selon l’axe des x pour obtenir la composante x du vecteur résultant. Cx = Ax + Bx On fait de même avec les composantes y. Cy = Ay + By

On trouve la grandeur de la résultante à l’aide de la relation de Pythagore. C2 = Cx2 + Cy2 On trouve l’orientation de la résultante en utilisant la formule: tan θ = Cy /Cx

Multiplication et division d’un vecteur par un scalaire

Les vecteurs du mouvement Chacune des variables décrivant un mouvement peut être représentée par un vecteur: La position Le déplacement La vitesse L’accélération

Le vecteur position On place l’origine du vecteur à l’origine du système d’axes L’extrémité du vecteur représente l’emplacement de la position On décrit le vecteur à l’aide de Ses composantes (rx, ry) Ses caractéristiques (r, ө)

Le vecteur déplacement Correspond à la différence entre le vecteur position finale et le vecteur position initiale ∆x = xf - xi Ou: xf = ∆x + xi

Le vecteur vitesse Il indique le rapport entre un vecteur déplacement et un temps écoulé. Son orientation est la même que celle du déplacement v = (xf - xi) = ∆x ∆t ∆t

Le vecteur accélération Il correspond au rapport entre un changement de vitesse et un temps écoulé. a = (vf - vi) = ∆v ∆t ∆t

L’orientation du vecteur accélération est souvent différente de celle du déplacement. Vecteur vitesse et vecteur accélération à angle droit: seule l’orientation de la vitesse change Vecteur vitesse et vecteur accélération parallèles: seule la grandeur de la vitesse change.