Inéquations du premier degré à une inconnue

Inéquation Définition Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variables et un symbole d’inégalité. Exemples : a < 1 6x > 25 3x + 5 ≤ - 40 7d - 13 ≤ d L’ensemble des valeurs qui vérifient une inéquation est appelé l’ensemble-solution.

Inéquation Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variables et un symbole d’inégalité. Voici une égalité. Voici une équation. 4 X 2 = 8 3 x = 12 Voici une inégalité. Voici une inéquation. 4 X 3 > 8 3 x > 12 12 > 8

Remarques Résoudre une équation du premier degré à une variable ne donne qu’une seule valeur possible pour la variable. 3 x = 12 3 x = 4 Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable. 3 x > 12 3 x > 4 ∞ + ] 4 , En intervalles,

∞ En intervalles : + ] 4 , 3 x > 12 x > 4 Vérifions avec quelques valeurs possibles : x > 4 3 x > 12 Pour x égal 5 : 3 X 5 > 12 15 > 12 Inégalité vraie. Pour x égal 7 : 3 X 7 > 12 21 > 12 Inégalité vraie. Pour x égal 9 : 3 X 9 > 12 27 > 12 Inégalité vraie. Pour x égal 10 : 3 X 10 > 12 30 > 12 Inégalité vraie. Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable.

Règles de transformation des inéquations Les règles de résolution des inéquations sont les mêmes que pour les équations, excepté lorsqu’on retrouve des facteurs négatifs. Équations Inéquations 3 x = 12 3 x > 12 Pour que ce terme soit égal à 12, x ne peut pas valoir autre chose que 4. Pour que ce terme soit plus grand que 12, x peut prendre plusieurs valeurs. 3 3 x = 4 x > 4 C’est la solution qui est différente.

∞ ∞ ∞ x = 5 x ≥ 5 x x x = 5,25 x < 5,25 Exemple : Résous les équations et les inéquations suivantes. 3x - 5 = 10 3x - 5 ≥ 10 3x - 5 + 5 = 10 + 5 3x - 5 + 5 ≥ 10 + 5 3x = 15 3x ≥ 15 3 3 x = 5 x ≥ 5 5 , ∞ + x ou 5 , ∞ + x Cette expression signifie : Remarque : 5x - 17 = x + 4 5x - 17 < x + 4 toutes les valeurs de x appartiennent à l’intervalle 5 , ∞ + 5x - 17 = x + 4 - x 5x - 17 < x + 4 - x 4x - 17 = 0 + 4 4x - 17 < 0 + 4 4x - 17 = 4 + 17 4x - 17 < 4 + 17 4x + 0 = 21 4x + 0 < 21 4x = 21 4x < 21 4 4 x = 5,25 x < 5,25

Règles de transformation des inéquations Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation conserve le sens de cette inéquation. 2a + 5 > 6 5a – 6 ≤ 16 2a + 5 > 6 – 5 – 5 5a – 6 ≤ 16 + 6 + 6 2a > 1 5a ≤ 22

Règles de transformation des inéquations Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre positif conserve le sens de cette inéquation. × 2 ( ) 4 – 2,5a > 7 ÷ 3 ( ) 3a – 6 ≥ -15 3a – 6 ≥ -15 3 8 – 5a > 14 a – 2 ≥ -5

Règles de transformation des inéquations Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation. Pour bien comprendre cette règle, prenons un exemple algébrique. -2x > 6 Ce terme doit être plus grand que 6. Vérifions : - 2x > 6 - 2 X -2 > 6 -2x > 6 -2 4 > 6 Faux. - 2 X 0 > 6 x > -3 0 > 6 Faux. - 2 X 3 > 6 -6 > 6 Faux.

Règles de transformation des inéquations Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation. -2x > 6 Ce terme doit être plus grand que 6. Vérifions : - 2x > 6 - 2 X -4 > 6 -2x > 6 -2 8 > 6 Vrai. x < -3 - 2 X -5 > 6 10 > 6 Vrai. Il faut donc inverser le signe. - 2 X -9 > 6 18 > 6 Vrai. Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif, on doit inverser le sens de cette inéquation.

Règles de transformation des inéquations Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation. × -2 ( ) 4 – 8a ≥ 26 ÷ -3 ( ) -3a > 21 -3a > 21 -3 -8 + 16a ≤ - 52 a < -7 Remarque : Pour connaître les valeurs numériques que peut prendre la variable, il faut toujours que celle-ci soit positive dans l’inéquation. Exemple : - a ≤ 4 donc - a ≤ 4 -1 ou - a ≤ 4 -1 X X -1 a ≥ -4 a ≥ -4

Résous les inéquations suivantes et donne la réponse algébriquement et en intervalles. 2x + 50 ≥ 250 2x + 50 – 50 ≥ 250 – 50 2x ≥ 200 2 100 , ∞ + x x ≥ 100 -5x + 100 > 100 -5x + 100 – 100 > 100 – 100 -5x > 0 -5 ∞ - , 0 x x < 0

Résous les inéquations suivantes et donne la réponse algébriquement et en intervalles. 5x + 18 ≥ 3 -9x - 24 > 12 -9x - 24 > 12 5x + 18 ≥ 3 - 18 + 24 -9x + 0 > 36 5x + 0 ≥ -15 -9x > 36 5x ≥ -15 5 -9 x ≥ -3 x < -4 [ -3 , ∞ + x , - 4 ] ∞ - x

Résolution d’une inéquation Déterminer les valeurs qui vérifient une inéquation, c’est résoudre cette inéquation. Dans un problème, on utilise parfois des inéquations pour trouver la solution. Exemple : Le périmètre d’un terrain rectangulaire est d’au moins 178 m. Sa longueur mesure 5 m de plus que le triple de sa largeur. On s’intéresse aux dimensions possibles du terrain. 1. Les inconnues sont : la largeur du terrain; la longueur du terrain. 2. Largeur du terrain (en m) : x Longueur du terrain (en m) : 3x + 5

Périmètre : 2 (L + l) 3. L’expression 2 (3x + 5 + x) correspond au périmètre du terrain. 2(x + 3x + 5) ≥ 178 On a donc  2(4x + 5) ≥ 178 8x + 10 ≥ 178 4. Résoudre l’inéquation : 8x + 10 ≥ 178 8x + 10 – 10 ≥ 178 – 10 8x ≥ 168 8 x ≥ 21 5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m.

5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m. Possibilités : périmètre largeur longueur x 3x + 5 2 (L + l) 21 m 3 X 21 + 5 = 68 m 2 (68 + 21) = 178 m 22 m 3 X 22 + 5 = 71 m 2 (71 + 22) = 186 m 25 m 3 X 25 + 5 = 80 m 2 (80 + 25) = 210 m 30 m 3 X 30 + 5 = 95 m 2 (95 + 30) = 250 m … Le périmètre du terrain rectangulaire est d’au moins 178 m. Il y a, donc beaucoup de valeurs possibles pour la variable.

Pour quelles valeurs de c le volume de ce cube est-il inférieur à 343 cm3 ? Volume cube = c3 Volume < 343 cm3 Donc, c3 < 343 cm3 c < 3 343 c < 7 cm soit 7 Mais pour que le cube puisse exister, la valeur de c doit être : - positive, car une mesure négative en géométrie est impossible; - plus grande que 0, car pour c = 0 cm, il n’y aurait pas de cube. Il faut donc restreindre les valeurs de c. Réponse : 0 cm < c < 7 cm Remarque : Avec les inéquations, il faut souvent poser des conditions.