Trigonométrie Résolution de triangles Applications

Voici la vue de côté d’un abri pour le bois de chauffage. 3,2 m 6,4 m Quelle est la mesure de l’angle d’inclinaison du toit ? 5,05 m A B C 1,85 m 5,05 m – 3,2 m 6,4 m Tan-1 = m AB m CB m C : Tan-1 (1,85 ÷ 6,4) ≈ 16,10 Quelle est la pente de ce toit ? distance verticale distance horizontale 1,85 6,4 = ≈ 0,3

B Dans le losange ci-contre, la petite diagonale forme avec le côté AB un angle de 700. Sachant que la diagonale BD mesure 32 cm, calcule l’aire et le périmètre de ce losange. Deux propriétés des diagonales d’un losange vont nous aider à résoudre ce problème. A E C « Les diagonales d’un losange se coupent perpendiculairement. » Le triangle AEB est donc rectangle. Nous pouvons alors utiliser les relations existantes dans un triangle rectangle. « Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu. » D Donc, le segment BE mesure 16 cm. 16

A B C D E 16 700 1) Déterminons les mesures des segments AB et AE. m BE m AB Sin 700 = m AB : x Sin 700 = 16 x x = 16 ÷ Sin 700 ≈ 17 cm 17 m BE m AE Tan 700 = m AE : y 16 y Tan 700 = y = 16 ÷ Tan 700 ≈ 5,8 cm 5,8 Donc, m AC mesure 5,8 X 2 ≈ 11,6 cm et m BD = 16 x 2 = 32 cm Formule du périmètre d’un losange : 4 C = 4 X m AB 4 X 17 ≈ 68 cm Formule de l’aire d’un losange : D X d 2 = m BD X m AC 2 32 X 11,6 2 ≈ 185,6 cm2

Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure du segment CD ? 1) Déterminons la mesure du segment BC : m AB m BC Tan 600 = Tan 600 = 7 m BC 7 m 370 m BC = 7 ÷ Tan 600 ≈ 4 m 4 m 600 B C D 2) Déterminons la mesure du segment BD : m AB m BD Tan 370 = Tan 370 = 7 m BD m BD = 7 ÷ Tan 370 ≈ 9,3 m 3) m CD = m BD - m BC 9,3 - 4 ≈ 5,3 m CD ≈ 5,3 m

Dans le triangle ci-contre, quelle est la mesure du segment DC ? 280 284 m A B C D 30 x 1) Déterminons, en premier, la mesure du segment BC : Sin 280 = m BC m AC m BC Sin 280 = 284 m BC = 284 sin 280 ≈ 133,3 m 133,3 2) Déterminons la mesure du segment AB : m BC m AB Tan 280 = Tan 280 = 133,3 m AB m AB = 133,3 ÷ Tan 280 ≈ 250,7 250,7 3) Déterminons la mesure du segment CD : m DB m AB Tan 310 = 250,7 (133,3 + x) Tan 310 = 250,7 Tan 310 = 133,3 + x x = 250,7 Tan 310 – 133,3 ≈ 17,3 m m CD ≈ 17,3 m

≈ 670 700 A B C 100 mm H Quelle est l’aire de ce triangle ? 1) m C = 1800 – (670 + 700) = 430 2) Construisons une hauteur relative à la base AC . Sin 670 = x 100 m BH m AB = 3) m BH : x = 100 Sin 670 ≈ 92,1 mm 92,1 430 4) m AC : m AH + m HC Tan 670 = 92,1 x m BH m AH = Tan 430 = 92,1 x m BH m CH = m AH : m CH : x = 92,1 ÷ Tan 670 ≈ 39,1 mm x = 92,1 ÷ Tan 430 ≈ 98,8 mm m AC : 39,1 + 98,8 ≈ 137,9 mm A 2 B X H = = 137,9 X 92,1 2 5) ≈ 6350,3 mm2 Remarque : Tracer une hauteur dans un triangle peut s’avérer très utile.

Pour connaître la hauteur de cette falaise, on prend une visée du point B selon un angle d’élévation de 420; par la suite, on se déplace de 253 m en direction du point A et, à ce point, on reprend une nouvelle visée selon un angle d’élévation de 170. Quelle est la hauteur de la falaise ? C Méthode 1 : 250 D 650 730 420 170 A H 253 m B Traçons la hauteur BD. Posons les mesures. sin 170 = m DB 253 m AB = m DB : 253 sin 170 = m DB ≈ 74 m m DB 74 m CB sin 250 = m DB = m CB : 74 ÷ sin 250 m CB = m CB ≈ 175,1 m sin 420 = m CH 175,1 m CB = m CH : 175,1 sin 420 m CH = m CH ≈ 117,2 m

Pour connaître la hauteur de cette falaise, on prend une visée du point B selon un angle d’élévation de 420 ; par la suite, on se déplace de 253 m en direction du point A et, à ce point, on reprend une nouvelle visée selon un angle d’élévation de 170. Quelle est la hauteur de la falaise ? C Méthode 2 : Posons les mesures. 420 170 A 253 m B x H m CH m AH = m CH (253 + x) Dans le triangle AHC, on peut poser le rapport Tangente 170 = Tan 170 (253 + x) = m CH m CH m BH = m CH x Dans le triangle BHC, on peut poser le rapport Tangente 420 = Tan 420 x = m CH Les deux équations sont égales à m CH.

C 420 170 A B x H 253 m Donc, Tan 170 (253 + x) = Tan 420 x 0,3057 (253 + x) ≈ 0,9004 x 77,34 + 0,3057 x ≈ 0,9004 x 77,34 ≈ 0,5947 x 0, 5947 130 m 130 m ≈ x

420 170 253 m A B C H 130 m Tan 420 = m CH m BH = m CH 130 m CH = 130 Tan 420 ≈ 117,1 m Remarque Tu aurais pu utiliser le rapport : Tan 170 = m CH m AH = m CH 383

Conclusion Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle sont très utiles pour déterminer des mesures dans plusieurs situations. La perpendicularité de segments crée des angles de 900, donc des triangles rectangles. Il faut bien distinguer les différents rapports Sinus, Cosinus et Tangente et toujours prendre le temps d’écrire la proportion.