Démonstration : Les médianes d’un triangle sont concourantes.

A B C Définition : Dans un triangle, une médiane est un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé. C’ B’ Il y a trois médianes dans un triangle : A’ - celle issue de A ; - celle issue de B ; - celle issue de C ;

A B C A’ B’ C’ Les trois médianes de CE triangle semblent concourantes.

Elles semblent concourantes pour TOUS les triangles, mais il faut le démontrer pour en être certains.

Reprenons le triangle ABC et deux de ses médianes : on notera G leur point d’intersection. A B C A’ B’ C’ G On construit aussi : N - M, symétrique de G par rapport à A’ ; - N, symétrique de G par rapport à B’ ; M

est un parallélogramme car : B C A’ B’ C’ G M N ANCG est un parallélogramme car : ses diagonales [AC] et [GN] se coupent en leur milieu B’. Donc [AN] et [GC] sont parallèles et de même longueur. Pour la même raison, BMCG est également un parallélogramme. Donc [GC] et [BM] sont parallèles et de même longueur. Ainsi [BM] et [AN] sont parallèles et de même longueur, ce qui signifie que ANMB est un parallélogramme.

A ANMB est un parallélogramme de centre G, donc il est le milieu de [AM] et de [BN]. Donc, dans le triangle ABN, N on sait que G est le milieu de [BN] et que C’ est le milieu de [AB], ce qui signifie que : C’ B’ G (C’G)//(AN) Or, on sait aussi, dans le parallélogramme ANCG que : M B A’ (GC)//(AN) C Les droites (GC) et (GC’) sont donc confondues. Cette dernière conclusion permet de dire que G appartient à la droite (CC’), c’est à dire qu’il est sur la troisième médiane.

ANMB est un parallélogramme de centre G, donc G est le milieu de [BN]. Nous venons de démontrer que les trois médianes d’un triangle sont concourantes. Cherchons maintenant à déterminer la position de G. A B C A’ B’ C’ G M ANMB est un parallélogramme de centre G, donc G est le milieu de [BN]. N Ainsi BG = GN = BN/2 Or, B’ est le milieu de [GN] donc GN = 2GB’. Ainsi on obtient : BG = 2 GB’ Autrement dit : BB’=BG+GB’=3GB’ Ou encore : BG = 2BB’/3 Donc G est situé au 2/3 de [BB’] en partant de B.

Conclusion : A B’ C G C’ A’ 1) Les trois médianes d’un triangle sont concourantes au centre de gravité du triangle. B 2) Le centre de gravité du triangle est situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet. C’est à dire :