TAI DE MATHEMATIQUE Michaël Gallego, Alexis Yvin, Bruno Gabriel Promo 2013 Janvier 2009

Sommaire Introduction Des entiers aux polynômes –Fermat (Grand Théorème, Descente infinie) –Gauss (polynômes) Des polynômes aux nombres idéaux –?? Des nombres idéaux aux nombres algébriques –?? Conclusion

Introduction A REMPLIR Je le fais ou on attend que tout soit rempli???

Des entiers aux polynômes Fermat, mathématicien célèbre : –« Grand Théorème de Fermat » : –Démontré en 1994 par Andrew Wiles Fermat a réussi à le démontrer pour des exposants simples –Pour notamment Comment ? –Démonstration de la descente infinie

Des entiers aux polynômes La descente infinie –Méthode de résolution mise au point par Fermat –Mélange de l’absurde et de récurrence Exemple : montrons que est irrationnel : –C’est-à-dire, n’a pas de solution –On suppose que est rationnel (propriété P), alors E est l’ensemble des couples (a, b) entiers naturels non nuls solutions de l’équation. – est donc pair, d’où – est donc pair, –Donc si (a, b) solution, aussi solution –Or la suite des entiers naturels n’est jamais strictement décroissante et infinie –Donc d’après la descente infinie, P est faux

Des entiers aux polynômes Gauss –Polynômes, –Différentes relations : –Les polynômes sont utilisés dans les approximations Développements limités

Des entiers aux polynômes Pour calculer une valeur d’un polynôme sur un ordinateur : –« Brute force » : d+1 termes, où d est le degré : soit d addition. De plus, nécessite i multiplications, d’où multiplications. –Première optimisation : on calcule chaque puissance de x, soit d-1 multiplications, puis soit d multiplications. Au total, « seulement » 2*d – 1 multiplications –Encore plus fort : schéma de Horner. Consiste à poser puis, soit d additions et d multiplications –Pour un polynôme du 5 ème degré, la 1 ère méthode nécessite 20 opérations, la 2 ème 14 opérations et la 3 ème seulement 10 opérations !

Des polynômes aux nombres idéaux Kummer trouve une autre méthode: Factoriser en p facteurs premiers xn+yn introduction des racines p-ième de l’unité Soit (1)  z n = (2)  =r(cos  + i sin  ) et (3)  z=  (cos  + i sin  ) Or (1)  (2) n =(3) Ou  n (cos n  + i sin n  )= r(cos  + i sin  ) Alors  n =r donc n racine n ième de (et n  =  +2k  ) Racines primitives de l’unité racine de Z n =1 sauf 1 (racine primitive) Racines primitives de l’unité si p premier, toutes les racines p-ième sont premières sauf 1 (racine primitive)

Des polynômes aux nombres idéaux Kummer va ensuite associer ces travaux sur les racines avec les nombres complexes de la forme: a 0 +a 1 α +a 2 α²a 3 α 3 +…+ a p-1 α p-1 Différents de ceux de Gauss: a+bi (les a k sont entiers) pour démontrer le théorème de Fermat avec les entiers complexes, et l’unicité de leur décomposition en facteurs premiers Cauchy réfutera cette démonstration avec p=23 ce qui permit à Kummer de découvrir les premiers irréguliers (23,37,59,67et 101)

Des polynômes aux nombres idéaux Kummer développera donc sa théorie des nombres idéaux basée sur le théorème fondamental de l’arithmétique qui dit que tout nombre entier peut être factorisé de façon unique. Exemple: 441 = 21 x 21 4 x = (4 x ) (4 x ) est une décomposition possible mais pas unique car on peut aussi avoir : 441 = 9 x 49 4 x = (4 x 2 + 1) (4 x ). Cependant, si on prend la structure 4k+3 alors la décomposition de 441 devient unique : 441 = 3² x 7² 441 = (4 x 0 + 3)² (4 x 1 + 3)².

Des nombres idéaux aux nombres algébriques A REMPLIR

Conclusion A REMPLIR