La dimension dans toutes ses dimensions Réunion Béna du samedi 10 octobre 2009

Propos de la présentation Suite des présentations précédentes : trialectique, mathématiques anthropocentriques/naturelles, changement de paradigmes… Dimension liée à la notion de Trois Apport de Xavier : Action = T F L

Expressions et notions Ajouter une nouvelle dimension Séries : la quatrième dimension (Twilight Zone), la cinquième dimension... Mathématiques : nombre (mesurer des dimensions…), notion algébrique et géométrique. Physique : analyse dimensionnelle.

Définitions Étymologie (XIV e siècle) Emprunté du bas latin dimensio « dimension », de dimetiri « mesurer en tous sens ». Nom commun (Géométrie) Chacune des directions d'un espace orthonormé. Une surface a deux dimensions. L'espace-temps de la théorie de la relativité générale est un espace à quatre dimensions. Mesure d'une chose dans chacune des directions de l'espace. Les dimensions d’un corps. Un cube a trois dimensions, la longueur, la largeur et la profondeur ou la hauteur. Il a pris toutes les dimensions de ce bâtiment. Taille relative. Ces deux triangles sont de même dimension, d’égale dimension. Une entreprise de moyenne dimension. Aspect, portée. La dimension historique d'un événement.

Définitions Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution. En physique et en mathématique, la notion de dimension signifie d'abord le nombre de directions indépendantes, puis a été étendu. classe de sémèmes de généralité supérieure, indépendante des domaines. Les dimensions sont groupées en petites catégories fermées (ex : //animé// vs //inanimé//). Les évaluations font partie des dimensions. (Google + define:Dimension)

Dans les œuvres de science-fiction Dans le domaine de la science-fiction, la quatrième dimension désigne, soit une quatrième dimension spatiale (en ajout avec la longueur, la largeur et la hauteur) qui serait responsables de faits insolites (cf: Théorie d'Everett ); soit une autre dimension, celle-ci, temporelle et non spatiale : c'est-à-dire l'espace-temps à travers lequel les protagonistes pourraient voyager (cf : vitesse supraluminique ). Par extension, le terme « dimension » a finalement été utilisé pour caractériser les mondes dits « parallèles », c'est-à-dire par lesquels on ne peut pas accéder en voyageant dans l'espace ; on ne peut y accéder qu'en utilisant un appareil ouvrant une « faille » entre les « dimensions », ou bien à l'occasion d'un événement accidentel. On dit que le monde parallèle est situé dans une « autre dimension ». (Wikipédia)

Dimension critique (Wikipédia) La théorie des cordes étant formulée classiquement comme un modèle sigma non-linéaire, la nécessité d'annuler l'anomalie conforme pour obtenir une théorie unitaire (i.e. consistante) après quantification aboutit à une contrainte sur la dimensionalité de l'espace-cible du modèle-sigma qu'on appelle la dimension critique. Dans le cas de la théorie des cordes bosoniques cette dimension critique est 26 pour les supercordes elle vaut 10, pour la théorie de Liouville elle vaut 2.

Dimensions.

Dimension fractale Introduction informelle [modifier] Intuitivement, la dimension d'un ensemble à l'instar d'une partie d'un espace euclidien est le nombre de paramètres indépendants pour décrire un point dans cet ensemble. Ainsi a-t-on besoin d'un seul paramètre pour décrire un point sur une règle, de deux paramètres pour décrire la position d'un clou sur un mur, de trois paramètres pour décrire la position d'une balle de tennis dans l'espace, et plus généralement de n paramètres pour décrire un point dans .

Dimension fractale La dimension de Haussdorff offre un moyen usuel de calcul de la dimension d'un espace métrique. Sa définition requiert l'étude des mesures de Hausdorff Hs Propriété : Pour tout λ positif,

Triangle de Sierpinski Dimension fractale Triangle de Sierpinski Le triangle de Sierpinski est composé de 3 triangles de Sierpinski de côtés 2 fois plus petits, soit Or donc La dimension du triangle de Sierpinski vaut donc :

Yin Yang fractal

Structures mathématiques complexes Au nombre de variables s’ajoute un degré de liberté sur les opérations. Quelle loi sur 2 ? Première possibilité, : produit cartésien* 2 ~  x 

Structures mathématiques complexes Deuxième possibilité : Nombres complexes : intrication des composantes dans la loi. Existence d’une racine carrée de −1, notée i. On identifie l’ensemble des nombres complexes  avec 2 et i à (0,1).

Nombres hypercomplexes Construction de Cayley-Dickson : suite d’algèbres sur les réels, de dimension 2 fois l’algèbre précédente.  : ensemble des réels  : ensemble des complexes, corps algébriquement clos  : quaternions, abandon de la commutativité  : octonions/octavions, abandon de l’associativité, mais on a encore x(xy)=(xx)y et (yx)x = y(xx) (alternativité)  : sédénions, perte de l’alternativité À retenir : Il n’existe pas d’algèbre normée (ǁabǁ=ǁaǁ. ǁbǁ) à division (ab=0 => a=0 ou b=0) de dimension 3. Dans ce cadre, on ne peut pas indéfiniment rajouter des dimensions sans perdre des propriétés intéressantes.

Notion de vitesse complexe En mécanique des fluides, simple artifice technique. Chez Nottale, passage d’une dynamique classique à une dynamique quantique. Egalement notion de courbe de dimension variable

La dimension en physique : analyse dimensionnelle

Étalons, unités et équation aux dimensions L’équation aux dimensions est la formule qui permet de déterminer la dimension dans laquelle doit être exprimé le résultat d'une formule. C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans laquelle on représente les phénomènes mesurés par un symbole ; par exemple, une longueur est représentée par la lettre « L ». Une grandeur est un paramètre mesurable qui sert à définir un état, un objet. Par exemple, la longueur, la température, l'énergie, la vitesse, la pression, une force (par exemple le poids), l'inertie (masse), la quantité de matière (nombre de moles)… sont des grandeurs. D'une manière générale il est possible d'exprimer la dimension de toutes les grandeurs physiques en fonction de sept dimensions de bases : longueur L masse M temps, ou durée T intensité électrique I température Θ intensité lumineuse J quantité de matière N

Dimensions et échelles On ne peut pas penser la notion de dimension sans la notion d’échelle. Sur un même axe, on passe de l’infiniment grand à l’infiniment petit. Pas besoin de changer de dimension pour passer d’un niveau de réalité à un autre.

Dimensions et échelles Vue de loin, une corde a l’air d’avoir une seule dimension. Vue de près, une corde a l’air d’avoir trois dimensions. Certaines dimensions supplémentaires peuvent exister à des échelles plus petites que d’autres.

NB dimensions supercordes « Il y a plusieurs théories des cordes. Tout le monde parle de la variété à 11 dimensions utilisée par une de ces théories. En fait, il existe des théories des cordes sur des variétés à 10, 11 et 26 dimensions. … d'autres théories ont recours à des dimensions supplémentaires, c'est assez courant en physique théorique, mais on s'arrange pour les contraindre à un tout petit rayon en les enroulant pour qu'elles ne gênent pas. Typiquement, en théorie des cordes les dimensions supplémentaires sont enroulées sur 10^-33cm. » (Yahoo Questions)

Triangulations dynamiques causales Emergence de l’espace temps à 3 dimensions d’espace et 1 dimension de temps à partir de règles simples similaire à un empilement de blocs. Travaux de Loll et Ambjørn. Parmi les règles : chaque espace-temps quantique doit être perçu comme une séquence des espaces possibles qui se succèdent dans le temps, comme le tic-tac d’une horloge universelle. La coordonnée temporelle étant, selon eux, arbitraire, comme en relativité générale, le fait que l’histoire du monde puisse être perçue comme une succession de géométries dans le temps ne l’est pourtant pas. Idée de base : la géométrie de l’espace-temps ressemble à une pile de plusieurs de ces blocs, et chacun représente un processus causal élémentaire. Conséquence : temps différent du spatial. Pas de temps imaginaire.

Triangulations dynamiques causales (extrait de « Rien ne va plus en physique » de Lee Smollin)

Incommensurabilité des grandeurs physiques Difficulté : résumer en un indicateur plusieurs variables. Comment valoriser des biens différents ? Des biens qui n’ont pas de prix (survie des baleines, tableaux de grands maîtres) ? Quelquefois nécessité de faire des arbitrages entre deux choses précieuses.

Incommensurabilité des grandeurs physiques Aujourd’hui, certains présente le choix entre l’économie et l’écologie. Or, l’épuisement des ressources mènera forcément à une autre crise. Le manque de ressource se transforme en coût économique à long terme. Rapport Stern 2007. Deux grandeurs ne sont jamais totalement incommensurables.

Incommensurabilité des grandeurs physiques Les relations de Heisenberg introduisent une sorte de corrélation entre diverses grandeurs :

Dissection des dimensions Dans un cadre dialectique, on voit une grandeur comme produit de deux autres grandeurs, l’une intensive et l’autre extensive.

Tableau d’Ostwald Energies Extensités Intensités Volume Pression Forme (élasticité) Déplacement vectoriel Force correspondante Pesanteur (ou gravitation) Poids Potentiel de gravitation Energie de mouvement Masse Vitesse au carré Electricité Charge électrique Potentiel électrique Energie chimique Affinité Energie thermique Entropie Température

Tableau usuel (Jean Perrin, Urbain, etc.) Energies Extensités Intensités Elastique Volume Pression d'allongement Longueur Force de torsion Angle Couple Mécanique Déplacement Thermique Entropie (changée de signe) Température absolue Cinétique Quantité de mouvement Vitesse Surface (capillarité) Surface Tension superficielle Electrique Charge Potentiel de gravitation Masse

Trisection Question ouverte : peut-on faire des tableaux similaires en trisectant les grandeurs physiques ?

Augmentation/diminution du nb de dimensions/paramètres Rendre compte de la complexité d’un phénomène : rajouter plusieurs variables. Exemple : supercordes, modèles de courbes des taux (finance)… Si on a beaucoup de variables, on peut vouloir en diminuer le nombre par Analyse en Composantes Principales.

Analyse en Composantes Principales L'Analyse en Composantes Principales (ACP) est une Analyse Factorielle de la famille de l'Analyse des données et de la Statistique Multivariée, qui consiste à transformer des variables liées entre elles (dites "corrélées" en statistique) en nouvelles variables indépendantes les unes des autres (donc "non corrélées"). Ces nouvelles variables sont nommées "composantes principales", ou axes. Elle permet au praticien de réduire l'information en un nombre de composantes plus limité que le nombre initial de variables. Il s'agit d'une approche à la fois géométrique (représentation des variables dans un nouvel espace géométrique selon des directions d'inertie maximale) et statistique (recherche d'axes indépendants expliquant au mieux la variabilité - la variance - des données). Lorsqu'on veut alors compresser un ensemble de N variables aléatoires, les n premiers axes de l'ACP sont un meilleur choix, du point de vue de l'inertie ou la variance expliquée. (Wikipédia)

Analyse en Composantes Principales Les deux axes d'une ACP sur la photo d'un poisson. (Wikipédia)

Vie courante Théâtre : unité de temps, d’action et de lieu. Musique : note caractérisée par fréquence, durée, timbre. Couleurs : trois couleurs primaires. Quelle interprétation macroscopique de l’analyse dimensionnelle Action = T F L ?

Vie courante Notions de temps, espace, force, pression, énergie, fréquence, vibration, masse, vitesse, électricité, longueur, surface… utilisées dans le langage courant Notions dont l’unité physique n’est pas toujours claire : action, produits tels que TFL, travail…

Conclusion Dimension : notion transdisciplinaire. Notion liée à la notion d’échelle Dimensions naturelles (3 à travers TFL) Dimensions culturelles : autant qu’on veut. À faire : comprendre Action = T F L S’attaquer à l’ontologie (comme XS). Expliquer la différence entre le naturel et le culturel