ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Approximation de fonction : la méthode des moindres carrés
Approximation/interpollation: moindres carrés f(x) yi xi
Posons le problème matriciellement
Posons le problème matriciellement Xa = f =
Approximation au sens des moindres carrés Système linéaire de k équations et k inconnues
Approximation : version matricielle Erreur d’approximation Système linéaire de k équations et k inconnues
Approximation : version matricielle Erreur d’approximation Matrice de Vandermonde (1735-1796) Système linéaire de k équations et k inconnues
n équations et m+1 inconnues Un problème de base Une nouvelle variable explicative Une nouvelle expérience (individu) n équations et m+1 inconnues Xa=y
Que se passe t’il si… ? On dispose d’un nouvel individu on dispose d’une nouvelle variable m=n m<n m>m on recopie deux individus on duplique une variable a X y =
Illustration : système de 2 équations à 2 inconnues x = 0:1; y = x; y2 = .5*x+.25; subplot(2,2,1);plot(x,y);hold on;plot(x,y2);hold off; xlabel('x_1') ylabel('x_2') title('solution unique') set(gca,'FontSize',14,'FontName','Times','XTick',[],'YTick',[],'Box','on'); y3 = x+.2; subplot(2,2,2);plot(x,y);hold on;plot(x,y3);hold off; title('pas de solution') une solution unique pas de solution une infinité de solution solution « triviale » : x1= x2 = 0 Les différents cas