Modélisation Bond Graph 1- Principe, structure, construction d1(t) h1(t) d2(t) h2(t) d3(t) S2 S1 R2 1-1- Principe 1-2- Eléments 1-3- Jonctions 1-4- Transfo et gyrateur 1-5- Construction 1-6- Simplification 1-7- Exercices C : S1 R : R1 R : R2 h1 d2- d1 h1 d2 h2 d3 h1 h1 h2 h2 Sf : d1 1 C : S2 d1 d2 d2 d2 -d3 EEA / Commande des systèmes industriels PAG + FM

Outil largement diffusé au niveau international et industriel : Introduction Outil largement diffusé au niveau international et industriel : Alstom, PSA, EDF, Renault, l’Aérospatiale, Ford, Toyota … AMESim ... utilisent le Bond Graph Langage graphique (Bond Graph = Graphe de Liaison) Représente les transferts de puissance en respectant la continuité de la puissance et la conservation de l’énergie Fondé sur la notion d’analogies entre les domaines physiques Fait apparaître explicitement les relations de cause à effet (causalité) Permet de construire de manière systématique des modèles mathématiques de systèmes multiphysiques Niveau de complexité du modèle facilement adaptable BG1-1- Principe

Notion de puissance et notations La puissance est toujours le produit de 2 variables : P = e.f e(t) = effort f(t) = flux Représentation Bond Graph du transfert de puissance : e f La demi flèche signale le sens du transfert L’énergie se calcule par intégration de la puissance : Les variables d’énergie sont définies par les relations intégrales : moment généralisé déplacement généralisé BG1-1- Principe

dérivée flux magnétique Principaux domaines de la physique & variables associées Domaine Effort e Flux f Moment p Déplacement q Mécanique translation rotation force F couple  vitesse v vitesse angulaire Ω quantité de mvt moment cinétique déplacement x angle θ Hydraulique pression P débit volumique Q impulsion de pression volume V Electricité tension u courant i flux magnétique Φ charge q Magnétisme fmm dérivée flux magnétique flux magnétique Thermo dynamique température T flux d’entropie entropie Chimie potentiel chimique flux molaire masse molaire BG1-1- Principe

Décomposition en sous-systèmes, Bond Graph à mots tension moteur à courant continu couple force pression pignon crémaillère vérin pneumatique batterie courant vitesse angulaire vitesse débit BG1-1- Principe

Elements actifs : Sources Définition : Eléments qui fournissent de la puissance Se Sf Source d’effort Source de flux e constant ou donné f constant ou donné Exemples : mécanique hydraulique électricité actionneur source de force pompe à débit constant source de débit batterie source de tension Se : U Sf : d Se : F BG1-2- Eléments

(écoulement laminaire) Elément résistif R Elément dissipateur d’énergie Relation algébrique entre effort et flux e = R.f (en linéaire...) R mécanique hydraulique électricité frottement fluide f F = f.V restriction R (écoulement laminaire) P = R.Q résistance R U = R.I R : f R : R BG1-2- Eléments

Elément accumulateur d’énergie « cinétique » Elément inertiel I Elément accumulateur d’énergie « cinétique » Relation algébrique entre flux et moment p(t) = I.f(t) I   Energie stockée : mécanique hydraulique électricité masse m inertie d’un fluide inductance L I : m I : L S Q L I : ρ.L/S BG1-2- Eléments

Elément accumulateur d’énergie « potentielle » Element capacitif C Elément accumulateur d’énergie « potentielle » Relation algébrique entre effort et déplacement q(t) = C.e(t) C Energie stockée : mécanique hydraulique électricité ressort de raideur K F = K.x accumulateur capacité C C : 1/K C : C Q H S C : S/(ρ.g) BG1-2- Eléments

Résumé des relations dans les éléments R, I, C Tétraèdre de Paynter Résumé des relations dans les éléments R, I, C e ∫ C p R q I ∫ f e(t) = R.f(t) p(t) = I.f(t) q(t) = C.e(t) BG1-2- Eléments

Caractérise une variable de flux commune à plusieurs éléments Jonction 1 Caractérise une variable de flux commune à plusieurs éléments 3 1 4 2 1:f f1 = f2 = f3 = f4 = f e1 + e2 = e3 + e4 Démonstration : Continuité de la puissance : e1.f + e2.f = e3.f + e4.f mécanique hydraulique électricité couplage parallèle vitesse commune couplage série débit commun loi des mailles m K f V F1 F2 1:I VR VL VR +VL I 1:V C : 1/K R : f F1+F2 BG1-3- Jonctions

Caractérise une variable d’effort commune à plusieurs éléments Jonction 0 Caractérise une variable d’effort commune à plusieurs éléments 3 1 4 2 0:e e1 = e2 = e3 = e4 = e f1 + f2 = f3 + f4 mécanique hydraulique électricité couplage série effort commun couplage parallèle pression commune loi des noeuds K m F V1 V2 V I IL IR 0:V I : m C : 1/K 0 : F V1 –V2 BG1-3- Jonctions

Couplage énergétique neutre, sans permutation de la nature énergétique Transformateur Couplage énergétique neutre, sans permutation de la nature énergétique m = module du transformateur e1 = m.e2 f2 = m.f1 TF : m e2 e1 f2 f1 Le transformateur conserve la puissance, est réversible mécanique hydraulique électricité poulie, bras de levier, réducteur rapport n vérin section S P = F/S et Q = V.S transformateur n1 spires au primaire n2 au secondaire V2 = n2/n1.V1 I1 = n2/n1.I2 Γe e Γs s s = n.e Γe = n.Γs TF : n F V Q P TF : S V1 I1 TF : n2/n1 V2 I2 BG1-4- Transformateur et gyrateur

Transformateur modulé Transformateur à module variable MTF (M = modulé) F V r θ → Ω O A x y Exemple : tige pivotante V = r.Ω.cosθ 1: ∫ cos r θ Γ  F V MTF r.cosθ Remarque : flèches pleines = signal demi-flèches = puissance BG1-4- Transformateur et gyrateur

moteur à courant continu Gyrateur Couplage énergétique neutre, avec permutation de la nature énergétique r = rapport du gyrateur e1 = r.f2 e2 = r.f1 GY : r e2 e1 f2 f1 Le gyrateur conserve la puissance, est réversible électromécanique moteur à courant continu Γ  u i Γ = K.i et u = K. GY : K TF et GY représentent les changements de domaine technologique BG1-4- Transformateur et gyrateur

Méthode systématique de construction d’un Bond Graph Identifier tous les domaines physiques du système et tous les éléments dans chaque domaine physique Fixer un sens de circulation du flux (axe de référence pour les vitesses en mécanique) pour chaque domaine physique Identifier et nommer chaque variable d’effort (de vitesse en mécanique) Associer à chaque variable d’effort (vitesse) une jonction 0 ( 1) Identifier dans le système toutes les différences d’effort (vitesses relatives) nécessaires à la connexion des éléments à la structure de jonctions Construire les différences d’effort (vitesses relatives) en utilisant des jonctions 1 ( 0) et en respectant le sens du transfert de puissance Connecter les éléments R, I, C aux jonctions et placer les sources Simplifier le BG si possible (Cf BG1-6-) BG1-5- Construction

Construction exemple 1 : Système masse ressort f K2 K1 m1 m2 F Etape 1: Mécanique de translation uniquement 2I : m1 m2, 1R : f, 2C : K1 K2, 1Se : F + Etape 2: Orienter l’axe des vitesses : Etape 3: Recenser les différentes vitesses : V1 V2 f F K2 K1 m1 m2 + V0 BG1-5- Construction

Etape 4: Matérialiser les différentes vitesses par des jonctions 1 : K1 K2 F1 F2 F0 F m1 m2 f + Etape 4: Matérialiser les différentes vitesses par des jonctions 1 : 1 : V1 1 : V2 1 : V0 Etape 5: Introduire des vitesses relatives : K1 et f soumis à V12 = V1 – V2 K2 soumis à V20 = V2 – V0 Etape 6: Construire les vitesses relatives à l’aide de jonctions 0, en respectant le sens du transfert des puissances : 1 : V12 1 : V1 1 : V2 V1 –V2 F1 0 : F1 V1 V2 Idem avec 0 : F2 et 0 : F0 BG1-5- Construction

Etape 7: Connecter la source et les éléments R, I, C : V1 V2 V0 K1 K2 F m1 m2 f + Etape 7: Connecter la source et les éléments R, I, C : 1 : V12 C : 1/K1 I : m1 I : m2 1 : V20 C : 1/K2 Se : F 1 : V1 1 : V2 1 : V0 1 : V12 R : f BG1-5- Construction

Construction exemple 2 : Filtre électrique Etape 2: Orienter le courant Ve Vs R C L I1 I2 Etape 4: Placer une jonction 0 par tension Etape 5: V = Ve – Vs appliquée à R et C Etape 6: Relier les jonctions 0 à l’aide de jonctions 1 Etape 7: Connecter R, L, C, Ve Se : Ve C : C R : R I : L 0 : V 1 : I1 1 : I2 0 : Ve 0 : Vs 0 : V BG1-5- Construction

Construction exemple 3 : Treuil Translation 2I, 2Se, 3C, 2R, 3TF Etape 1: Identifier les domaines physiques et les éléments présents Rotation 1I, 2TF Electrique Mécanique Rotation 1 Se, 2C, 2R, 2I, 1GY 1GY, 1R, 1C, 1I, 1TF BG1-5- Construction

Etape 3: Identifier et nommer les tensions et les vitesses Etape 2: Fixer un sens de circulation du courant, et des axes de références pour les vitesses 0 V + u1 u2 u3 u4 u5 Ω1 Ω3 v2 v4 v1 v5 v3 R1 L1 C1 C2 R2 L2 R3 K1 J D M1 M2 K2 K3 R4 K4 Ω2 Etape 3: Identifier et nommer les tensions et les vitesses r Etapes suivantes: Cf p 27-29 et ED R5 + + BG1-5- Construction

Règles de simplification 1- Eliminer un lien ne transmettant pas de puissance (e ou f nul) 2- Eliminer une jonction n’ayant qu’un lien en entrée et en sortie 1 C ≡ I 1  à cause du changement de signe 3- Réduire à une seule jonction 1 (ou 0) deux jonctions 1 (ou 0) reliées par un seul lien ≡ BG1-6- Simplification

4- Les schémas ci-dessous à gauche sont équivalents à ceux de droite 1 : f1 1 : f2 1 2 3 4 1 : f1 – f2 1 2 3 4 ≡ 0 : e1 0 : e2 1 2 3 4 0 : e1 – e2 1 2 3 4 ≡ 5- Si on considère un système dans une position initiale d’équilibre, on peut supprimer les sources constantes BG1-6- Simplification

Simplification exemple 1 : Système masse ressort Se : F I : m2 C : 1/K1 R : f C : 1/K2 1 : V1 1 : V2 1 : V12 1 : V20 1 : V0 Règle 2 Règle 4 Règle 1 15 liens I : m1 Se : F I : m2 C : 1/K1 R : f C : 1/K2 1 : V1 1 : V2 1 : V12 9 liens BG1-6- Simplification

Simplification exemple 2 : Filtre électrique 0 : V C : C 1 : I1 Se : Ve 0 : Ve 0 : Vs I : L 1 : I2 10 liens Règle 4 0 : V R : R 1 : I1 + I2 0 : V Se : Ve C : C R : R I : L 5 liens BG1-6- Simplification

Exercice exemple 3 : treuil 1R, 1C, 1I, 1TF + v1 Ω1 R3 Ω2 K1 Moteur = Se J D V1 = D/2.2 + Etapes 4 et suivantes : Règle 2 1 : 12 C : 1/K1 Se : C 1 : 1 1 : 2 1 : V1 TF : D/2 R : R3 I : J BG1-7- Exercices

Hypothèse : raideurs infinies Translation V3 = 0 V1 = V2 = r.3 1I, 1Se, 2TF v3 K4 Ω3 Rotation 1I, 2TF r + I : M1.r² v2 M1 v4 1 : 3 R4 R5 TF : 1/r TF : -r K2 K3 v1 Règle 5 v5 Se : – M2.g + Sf : V12 1 : V45 M2 Treuil = Sf I : M2 BG1-7- Exercices

Modification : prise en compte de K4 Translation V2 = r.3 + V3 1I, 1Se, 1C 2TF v3 K4 Ω3 Rotation I : M1.r² 1I, 2TF r + v2 M1 v4 1 : 3 TF : 1/r TF : -r Règle 5 Se : – M1.g Sf : V12 1 : V3 1 : V45 I : M1 C : 1/K4 BG1-7- Exercices