Composition des mouvements poly p 26-29 Référentiel d’observation ≠ Référentiel d’écriture

Position du problème Deux référentiels R0 et R1 Position, vitesse, accélération de M connues dans R1 Mouvement de R1 connu dans R0 Calculer position, vitesse et accélération de M dans R0

Définitions et notations Mouvement relatif v(M)/R1 a(M)/R1 vrel arel Mouvement absolu v(M)/R0 a(M)/R0 vabs aabs Mvt. d’entrainement vR1/R0 aR1/R0 vent aent

Dériver dans R0 ou R1 … Soit U = u i0 + v j0 + w k0 (référentiel d’écriture = R0) (dU/dt)R0 = u' i0 + v'j0 + w' k0 (dU/dt)R1 = (u i0 )'R1 + (v j0 )'R1 + (w k0)'R1 = ?

Composition des vitesses O1M = x1 i1 + y1j1 + z1k1 (R1) Pour dériver, observateur dans R1 : vrel = (dO1M/dt)/1 = (x1)'/1 i1 + … + (z1)'/1 k1 dérivation de x1 dans R1

Composition des vitesses (2) Pour l’observateur dans R0 : OM = OO1 + O1M vabs = (dOM/dt)/0 = (dOO1/dt)/0 + (dO1M/dt)/0 v(O1)/0 vitesse de M par rapport Vitesse de O1 à O1 , calculée dans R0 dans R0

Composition des vitesses (3) (dO1M/dt)/0 = (x1 i1 + y1j1 + z1k1 )/0 Observateur R0 : coordonnées x1 ,y1 ,z et vecteurs i1 j1 k1 = variables de t d dt

Composition des vitesses (4) (dO1M/dt)/0 = (x1 i1 )'/0 + (y1j1 )'/0 + (z1k1 )'/0 = (x1 )'/0 i1 + x1 (i1 )'/0 + (y1 )'/0 j1 + y1 (j1 )'/0 + (z1 )'/0 k1 + z1 (k1 )'/0 = (x1 )'/0 i1 + (y1 )'/0 j1 + (z1 )'/0 k1 + x1 (i1 )'/0 + y1 (j1 )'/0 + z1 (k1 )'/0 (A) (B)

Composition des vitesses (4) terme (A) : Dérivée de x1 identique dans R0 ou R1 (x1 )'/0 = (x1 )'/1 ( = x1' ) (A) = x1' i1 + y1' j1 + z1' k1 = vrel

Composition des vitesses (5) vabs = v(O1)/0 + vrel + (B) (B) : calcul dans R0 des dérivées de i1, j1, k1  t, i1² = 1 donc (i1²)'/0 = 0 i1² = i1.i1 et (i1²)'/0 = 2 i1.(i1)'/0

Composition des vitesses (6) Conséquences : a) soit (i1)'/0 = 0  t b) soit (i1)'/0 perpendiculaire i1  t ( idem pour j1 et k1 )

Composition des vitesses (7) Premier cas : (i1)' = 0 Les vecteurs i1 j1 k1 sont constants pour R0 se déplacent parallèlement à i j k  R1 est en translation par rapport à R0 Terme (B) = 0 vabs = vent + vrel ; vent = v(O1)/0

Composition des vitesses (8) second cas : (i1)'/0  i1 Ici l’orientation de i1 change : elle traduit une rotation de R1 dans R0 Abordé en Statique et Cinématique du solide (S2)

Composition des accélérations aabs = (vabs)'/0 = (vrel + vent)'/0 Là aussi considérons R1 uniquement en translation cas de rotation de R1 / R0 abordé en Statique et Cinématique du solide (S2)

Composition des accélérations (2) La translation de  R1 entraîne : vent = v(O1)/0 dérivées de i1 j1 k1 nulles aabs = (vrel)'/0 + (vent)'/0 = (vrel)'/0 + a(O1)/0

Composition des accélérations (3) dérivée de vrel dans R0 : (vrel)'/0 = (x1' i1 + y1' j1 + z1' k1 )'/0 Référentiel d’écriture  référentiel de dérivation … mais translation de R1 => dérivées de i1 , j1, k1 nulles (vrel)'/0 = x1'' i1 + y1'' j1 + z1'' k1 + x1' (i1)'/0 + … + z1' (k1)'/0 = 0

Composition des accélérations (4) (vrel)'/0 = x1'' i1 + y1'' j1 + z1'' k1 = arel (vrel)'/1

Composition des accélérations (5) aabs = arel + a(O1)/0 aabs = arel + aent ; aent = a(O1)/0 aent admet 1 composante tangentielle translation à vitesse non uniforme 1 composante normale si translation non rectiligne

Référentiels galiléens Cas particulier : R1 en translation rectiligne uniforme (MRU) pas de composante normale composante tangentielle nulle aent = 0 : aabs = arel

Référentiels galiléens (2) L’accélération est identique dans R1 ou R0 lois de Newton, autres lois de la physique …. Identiques dans R1 ou R0 R0 référentiel absolu, « immobile » R1 appelé référentiel galiléen Idem pour R2, R3 … animés de MRU par rapport à R1

Loi de composition des accélérations à retenir : R1 en translation aabs = arel + aent aent = a(O1)/0 accélération de translation S’exprime (se calcule) dans R0 arel = accélération de M calculée dans R1 puis exprimée dans R0 par chgt de base