Fondements de la finance en avenir certain et incertain Chapitre 3

3.1 Finance en avenir certain 3.1.1 La valeur temps de l’argent 3.1.1.1 Définition Valeur temps de l’argent : différence entre la valeur d’un euro dans le futur et sa valeur aujourd’hui. Conséquence: Des flux monétaires à différentes périodes ne sont pas exprimés dans la même unité : 1 € aujourd’hui n’est pas équivalent à 1 € demain.

Préférence pour le présent Inflation Préférence pour la liquidité 3.1 Finance en avenir certain 3.1.1 La valeur temps de l’argent 3.1.1.2 Les fondements Préférence pour le présent Inflation Préférence pour la liquidité

Durée : nombre de périodes de référence. Signe : 3.1 Finance en avenir certain 3.1.1 La valeur temps de l’argent 3.1.1.3 Les échéanciers (1) Point de vue adopté : Prêteur/Investisseur: il détient un actif financier. Cela implique une mise de fonds initiale en contrepartie de revenus futurs. Emprunteur/Emetteur: émet un actif financier. Reçoit un financement en contrepartie de versements/remboursements futurs. Période de référence : période sur laquelle est défini le taux de l’opération. Durée : nombre de périodes de référence. Signe : Un flux reçu (encaissement) est quantifié par un nombre positif. Un flux versé (décaissement) est quantifié par un nombre négatif.

Diagramme des flux de l’emprunt 3.1 Finance en avenir certain 3.1.1 La valeur temps de l’argent 3.1.1.3 Les échéanciers (2) Emprunt contracté en t=0, d’une durée de 4 ans, donnant lieu à des remboursements de 0, 20, 30 et 115. Diagramme des flux de l’emprunt Diagramme des flux du prêt

3.1 Finance en avenir certain 3.1.1 La valeur temps de l’argent 3.1.1.4 Taux de rendement Définition: Le taux de rendement permet d’établir un lien entre les montants investis aujourd’hui et les flux monétaires futurs versés par l’actif financier. Exemple: Le 15 janvier 2009, un lingot d’or cote 20390 € à Paris. Le 15 janvier 2010, le même lingot cote 24910 €. L’investisseur qui a détenu ce lingot sur cette période enregistre un rendement de:

Les agents rationnels ont pour objectif de maximiser leur utilité: 3.1 Finance en avenir certain 3.1.1 La valeur temps de l’argent 3.1.1.5 Taux d’actualisation (1) Les agents rationnels ont pour objectif de maximiser leur utilité: Les prêteurs/investisseurs (offreurs) voudront bien proposer des capitaux au taux de rendement rdmt dans la mesure où ce taux rémunère leur abstention de consommer (r). Les emprunteurs/émetteurs (demandeurs) solliciteront des fonds au taux r seulement si leurs projets permettent d’espérer un rendement (rdmt) au moins égal ou supérieur au taux r. Deux interprétations du taux d’actualisation (r): Un coût d’opportunité (prêteurs). Un coût de financement (emprunteurs).

3.1 Finance en avenir certain 3.1.1 La valeur temps de l’argent 3.1.1.5 Taux d’actualisation (2) Exemple On vous propose d’investir dans un actif financier qui coûte 100€ aujourd'hui et vous rapportera 115€ dans un an. Pour réaliser cet investissement vous devez emprunter les 100 €: On vous propose un taux de 10%, réalisez vous l’investissement? Oui, le taux de rendement (15%) est supérieur au coût de financement (10%). On vous propose un taux de 20%, réalisez vous l’investissement? Non, le taux de rendement (15%) est inférieur au coût de financement (20%). Vous disposez des 100€, à quelle(s) condition(s) réalisez vous l’investissement? Cela dépend de votre taux de rendement exigé, qui est déterminé par le taux des placements alternatifs de même risque. Vous entreprendrez le projet uniquement si votre taux de rentabilité exigé (r) est inférieur à 15%.

3.1 Finance en avenir certain 3.1.1 La valeur temps de l’argent 3.1.1.6 Le taux d’intérêt: un taux de change intertemporel Taux d’intérêt sans risque (rf) : taux d'intérêt auquel on peut prêter ou emprunter contre la promesse certaine d'un remboursement futur.

Capitalisation: permet de transposer un flux dans le futur. 3.1 Finance en avenir certain 3.1.2 Les règles de voyage dans le temps 3.1.2.1 Définitions Les décisions financières impliquent souvent de comparer des flux se produisant à différentes périodes dans le temps. Règles de voyages dans le temps: elles permettent d’exprimer dans une même unité des flux se produisant à différentes périodes dans le temps. Capitalisation: permet de transposer un flux dans le futur. Actualisation: permet de transposer un flux dans le passé.

Option 2: 18% sur trois ans, soit 6% par an en moyenne. 3.1 Finance en avenir certain 3.1.2 Les règles de voyage dans le temps 3.1.2.2 Capitalisation 3.1.2.2.1 Intuition (1) On vous propose les placements suivants: - Vous placez aujourd'hui 100€ et obtenez 104€ dans un an. - Vous placez aujourd'hui 100€ et obtenez 118 € dans trois ans et aucun autre versement intermédiaire. Raisonnement 1 (incorrect): Calcul des taux de rendement annuel de ces deux placement: Option 1 : 4% sur un an. Option 2: 18% sur trois ans, soit 6% par an en moyenne. Raisonnement 2 (correct): chercher le taux de rentabilité d’un placement dont les revenus sont versés à la fin de chaque année et qui, au bout de la même durée de placement, aurait transformé cette même somme initiale en une même somme finale.

Un taux de 18% pour 3 ans correspond à un taux annuel de 3.1 Finance en avenir certain 3.1.2 Les règles de voyage dans le temps 3.1.2.2 Capitalisation 3.1.2.2.1 Intuition (2) Vous placez aujourd'hui 100€ et obtenez 104€ dans un an. Donc au bout de 4 ans vous obtenez: Un taux de 18% pour 3 ans correspond à un taux annuel de

3. 1 Finance en avenir certain 3. 1 3.1 Finance en avenir certain 3.1.2 Les règles de voyage dans le temps 3.1.2.2 Capitalisation 3.1.2.2.2 Définition Capitaliser un revenu, c’est renoncer à le percevoir, il devient alors capital et productif à son tour de revenus pour les périodes suivantes. Intuition: Combien vaudra dans un an 1 € dont on dispose aujourd’hui si on le place au taux r ? V1 = (1+r) Combien vaudra dans deux ans 1 € dont on dispose aujourd’hui si on peut le placer pendant deux ans au taux r ? V2 = (1+r) (1+r) = (1+r)² Généralisation : Vn = V0 (1+r)n

3. 1 Finance en avenir certain 3. 1 3.1 Finance en avenir certain 3.1.2 Les règles de voyage dans le temps 3.1.2.3 Actualisation 3.1.2.3.1 Définition Actualiser un revenu, c’est déprécier le futur, parce que les flux futurs ne peuvent pas être consommés ou investis immédiatement, contrairement à un flux actuel. Formule : Valeur actuelle (V0): valeur résultant de l’actualisation des différents flux de trésorerie générés par un actif financier. Des valeurs actuelles sont directement comparables entre elles.

3. 1 Finance en avenir certain 3. 1 3.1 Finance en avenir certain 3.1.2 Les règles de voyage dans le temps 3.1.2.3 Actualisation 3.1.2.3.2 Exemple Combien devez vous placer aujourd’hui pour obtenir 100 000 € dans 5 ans si le taux d’intérêt est de 10% et la capitalisation annuelle ? Ici on cherche la valeur actuelle : Soit V0= Vn/ (1+r)n D’où V0 = 100 000 / 1,15 = 62092,1323€

On calcule la valeur actuelle de chaque flux: 3.1 Finance en avenir certain 3.1.2 Les règles de voyage dans le temps 3.1.2.4 Valeur actuelle d’une séquence de flux 3.1.2.4.1 Définition Valeur actuelle d’une séquence de flux: somme des valeurs actuelles des flux qui composent la séquence : Méthode de calcul: On calcule la valeur actuelle de chaque flux: On additionne les valeurs actuelles.

Représentation graphique: 3.1 Finance en avenir certain 3.1.2 Les règles de voyage dans le temps 3.1.2.4 Valeur actuelle d’une séquence de flux 3.1.2.4.2 Exemple Quelle est la valeur actuelle d’une action qui verse un dividende de 10€ tous les ans et sera revendue 100€ dans 3 ans, sachant que le taux d’actualisation est de 10%? Représentation graphique: Calcul: Calcul des valeurs actuelles: T=1: 10/1,1=9,0909 T=2: 10/1,12=8,2645 T=3: 100/1,13=75,1315 Valeur actuelle de cette action: V0=9,0909+8,2645+75,1315=92,4869€

3. 1 Finance en avenir certain 3. 1 3.1 Finance en avenir certain 3.1.3 Les critères de choix d’investissement 3.1.3.1 Les choix d’investissement 3.1.3.1.1 Définition de l’investissement D’un point de vue comptable: ensemble des actifs immobilisés (classe 2 PCG). Définition économique: l’investissement consiste, pour une entreprise, à engager des ressources financières et humaines en vue de résultats à venir. Définition financière: renoncer à une consommation présente afin d’obtenir des flux financiers dans le futur.

3. 1 Finance en avenir certain 3. 1 3.1 Finance en avenir certain 3.1.3 Les critères de choix d’investissement 3.1.3.1 Les choix d’investissement 3.1.3.1.2 Nature des investissements Indépendants: deux investissements sont indépendants dès lors que la mise en œuvre d’un projet n’empêche pas d’entreprendre les autres projets. Projets mutuellement exclusifs: le fait d’entreprendre un projet empêche d’entreprendre l’autre.

Comparer les bénéfices et les coûts actualisés de mon investissement. 3.1 Finance en avenir certain 3.1.3 Les critères de choix d’investissement 3.1.3.1 Les choix d’investissement 3.1.3.1.3 Principes de raisonnement Comparer les bénéfices et les coûts actualisés de mon investissement. Objectif de l’investissement ? Deux difficultés: Evaluation des flux. Choix du taux d’actualisation.

I0 : montant initial de l’investissement. 3.1 Finance en avenir certain 3.1.3 Les critères de choix d’investissement 3.1.3.2 Valeur actuelle nette 3.1.3.2.1 Définition VAN: différence entre le coût actualisé d’un projet d’investissement et ces bénéfices actualisés. Où : I0 : montant initial de l’investissement. CFt : flux de trésorerie généré par le projet à la période t. r :coût du capital: Le coût d’opportunité du capital. Coût moyen pondéré du capital.

VAN = 0 : indifférence entre le projet et un placement au taux r 3.1 Finance en avenir certain 3.1.3 Les critères de choix d’investissement 3.1.3.2 Valeur actuelle nette 3.1.3.2.2 Le critère de VAN Critère de la VAN : VAN>0: le coût actualisé de l’investissement est inférieur à son bénéfice. L’investissement crée de la valeur. VAN<0: le coût actualisé de l’investissement est supérieur à son bénéfice. L’investissement détruit de la valeur. VAN = 0 : indifférence entre le projet et un placement au taux r Si les projets sont mutuellement exclusifs on choisit celui qui a la VAN la plus élevée. On peut montrer que du point de vue de l’investisseur, baser ses décisions d’investissement sur le critère de VAN lui permet de maximiser la valeur de son patrimoine.

Puisque la VAN est négative, on n’investit pas. 3.1 Finance en avenir certain 3.1.3 Les critères de choix d’investissement 3.1.3.2 Valeur actuelle nette 3.1.3.2.3 Exemple Une entreprise envisage d’investir aujourd’hui 3000 € dans un nouvel équipement. Elle envisage des flux de trésorerie de 3000€ en année 1, et 2100 € en année 2. Si le taux d’actualisation est 8%, quelle est la VAN de ce projet d’investissement ? Faut-il investir ? Puisque la VAN est négative, on n’investit pas. t = 0 t=1 t=2   I0 = -5000 CF1 = 3000 CF2 = 2100

La VAN est sensible au taux d’actualisation. 3.1 Finance en avenir certain 3.1.3 Les critères de choix d’investissement 3.1.3.2 Valeur actuelle nette 3.1.3.2.4 Limite du critère de la VAN La VAN est sensible au taux d’actualisation. Taux de rendement interne (TRI): C’est le taux d’actualisation qui donne une VAN nette nulle. TRI caractéristique intrinsèque du projet d’investissement : il ne dépend que des Cash-Flows.

En l’absence d’incertitude : 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.1 Introduction du risque 3.2.1.1.1 Définitions En l’absence d’incertitude : Le taux d’intérêt sans risque est la seule rémunération du temps. Introduction du risque : Peu de placements ou d’investissements sont dépourvus de risque. Postulat : Les agents économiques sont « risk adverse ». Entre deux perspectives de gain de même espérance mathématique, l’une certaine, l’autre aléatoire, un agent économique choisit toujours l’option certaine. Exemple: 3 loteries A, B et C, de risque croissant. A gain certain 100€ – B 50% de chance de gagner 150€ et 50% de gagner 50€ – C 50% de chance de gagner 300€ et 50% de chance de perdre 100€. E(A) = 100€ E(B) = 50%*150 + 50%*50 = 75 +25 = 100€ E(C) = 50%*300 + 50%* -100 = 150 - 50 = 50€

Rémunération du risque sur le marché financier: 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.1 Introduction du risque 3.2.1.1.2 Prime de risque Prime de risque : Entre deux projets A et B de même espérance de gain, un agent ayant de l’aversion pour le risque, choisit toujours le projet le moins risqué. Un projet risqué est retenu s’il offre une espérance de gain supérieure, une prime de risque. Rémunération du risque sur le marché financier: Le taux de rendement des actions correspondant à un certain niveau de risque, doit intégrer une prime de risque. Taux de rentabilité d’un placement risqué = rémunération du temps + rémunération du risque.

Rentabilité espérée : Variance : Ecart-type : 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.2 Rentabilité espérée et risque d’un actif 3.2.1.2.1 Définitions (1) Rentabilité espérée : Exemple : La rentabilité de l’action ABC sera de 45% ou -25% l’année prochaine. Ces deux états de la nature sont équiprobables. Quelle est sa rentabilité espérée ? E[Rabc]=0.5*0.45+0.5*-0.25=10% Actif financier d’autant plus risqué que la dispersion de ses taux de rentabilité autour de la moyenne est forte. Variance : Ecart-type :

Exemple : Bon du trésor à 1 an : Taux de rentabilité R certain = 8% 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.2 Rentabilité espérée et risque d’un actif 3.2.1.2.1 Définitions (2) Exemple : Bon du trésor à 1 an : Taux de rentabilité R certain = 8% Action 1 : Taux de rentabilité R1 aléatoire 11% Probabilité 1/3 8% Probabilité 1/3 5% Probabilité 1/3 Action 2 : Taux de rentabilité R2 aléatoire 20 % Probabilité 1/3 -4% Probabilité 1/3 E(R) = E(R1) = E(R2) = 8% Mais l’action 2 semble a priori plus risquée que l’action 1 elle-même plus risquée que le bon du trésor.

Exemple : Bon du trésor à 1 an : Var (Bon du trésor) = 0% Action 1 : 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.2 Rentabilité espérée et risque d’un actif 3.2.1.2.1 Définitions (2) Exemple : Bon du trésor à 1 an : Var (Bon du trésor) = 0% Action 1 : Var (Action 1) = 0.0006 et Ecart-type (Action 1) = 0.0006 ½ = 2,45% Action 2 : Var (Action 2) = 0.00096 et Ecart-type (Action 2) = 9.79% Ri (Ri - E(R))2 Pi (Ri – E(R)) 2 R1 0.11 0.03 0.0009 R2 0.08 R3 0.0003 Ri (Ri – E(R))2 Pi (Ri –E(R)) 2 R1 0.20 0.12 0.00048 R2 0.08 R3 -0.04 -0.12

3. 2 Finance en avenir incertain 3. 2 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.2 Rentabilité espérée et risque d’un actif 3.2.1.2.2 Rentabilité historique (1) Rentabilité historique : rentabilité qui a effectivement été réalisée par un actif donné au cours d’une période définie passée. Si l’action est détenue au-delà du premier dividende, il s’agit de composer les rentabilités effectives sur un an pour obtenir la rentabilité effective sur une plus longue période.

3. 2 Finance en avenir incertain 3. 2 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.2 Rentabilité espérée et risque d’un actif 3.2.1.2.3 Rentabilité historique (2)

Si xi > 0, on a investi dans un actif. 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.3 Rendement et risque d’un portefeuille 3.2.1.3.1 Portefeuille d’actifs Portefeuille : ensemble de lignes d’actifs caractérisés par des pondérations des différents actifs qui le composent. Poids (xi): Si xi > 0, on a investi dans un actif. Si xi < 0, on a vendu à découvert l’actif. 0< xi < 1

3. 2 Finance en avenir incertain 3. 2 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.3 Rendement et risque d’un portefeuille 3.2.1.3.2 Espérance de rentabilité d’un portefeuille Rendement du portefeuille : moyenne des rentabilités des N titres qui le compose pondérée par le poids de chaque titre (xi) : Rentabilité espérée d’un portefeuille : moyenne pondérée des rentabilités espérées des actifs qui composent le portefeuille:

Matrice de variance-covariance : 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.3 Rendement et risque d’un portefeuille 3.2.1.3.3 Mesures de l’évolution conjointe des rentabilités d’un portefeuille Covariance : Théorique: Estimation: Corrélation: Matrice de variance-covariance :

Décomposition du risque: Risque spécifique (idiosyncratique) : 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.3 Rendement et risque d’un portefeuille 3.2.1.3.4 Décomposition du risque d’un portefeuille (1) Décomposition du risque: Risque spécifique (idiosyncratique) : Relatif à des informations spécifiques à l’entreprise. Ces risques sont indépendants. Risque commun (systématique): Relatif à des informations macroéconomiques. Non indépendance de ces risques d’une entreprise à l’autre. Diversification du portefeuille réduit sa volatilité car permet d’annuler le risque spécifique

3. 2 Finance en avenir incertain 3. 2 3.2 Finance en avenir incertain 3.2.1 Mesures traditionnelles du risque et de la rentabilité 3.2.1.3 Rendement et risque d’un portefeuille 3.2.1.3.4 Décomposition du risque d’un portefeuille (2)