GESTION DE PRODUCTION ET OPERATIONS – GPO- Production and operations management (POM) are activities related to the creation of goods and services through the transformation of inputs into outputs. These outputs when distributed, meet the needs of customers. Il s’agit donc d’une gestion de transformation des inputs en outputs (ceux destinés à satisfaire une demande du marché)

BUT DE GOP La gestion de production a pour objet la recherche d'une organisation efficace de la production de biens et services. But : Optimisation de la transformation des matières en fonction des contraintes et objectifs de l'entreprise. Transversalité de la gestion de production (chaîne de valeur). Gestion : Rationalisation volontaire et organisée de la production.

POM ? Gérer la production, c'est gérer la conception, la planification et le contrôle des activités qui composent les processus de production de biens ou de services.

Les différentes méthodes proposées La programmation linéaire peut être définie comme étant une méthode qui permet d’allouer de façon optimale des ressources disponibles en quantités limitées à des activités compétitrices. La méthode de la gestion des stocks peut aussi aider à déterminer la quantité optimale des biens qui doit etre disponible dans les magasins La méthode de satisfaction d’une demande dépendante et la gestion des différentes opérations entrainées par cette demande La méthode de gestion des différentes taches. Réseau PERT et la méthode du chemin critique. Selon Buongiorno

LA PRODUCTIVITE Les mesures de productivité permettent d’évaluer l’efficacité avec laquelle les ressources sont transformées en produits et services. La productivité est le rapport entre la production et l’ensemble ou une partie des ressources mises en œuvre pour la réaliser. La production représente la quantité de biens et services produits. Les ressources mises en œuvre (c’est-à-dire les moyens utilisés ou facteurs de production) représentent le travail, le capital, l’énergie, les matières premières

MESURE DE PRODUCTIVITE

A QUI SERVENT LES GAINS DE PRODUCTIVITE

Introduction à la programmation linéaire PIIMT - TRAINING - POM

PROGRAMMATION LINEAIRE-LP-Caractéristiques Décisions (Variables décisionnelles) Qu’est-ce qu’on cherche à établir? Contraintes Viennent définir l’ensemble des solutions possibles. Objectif Maximisation - Minimisation

Forme générale d’un problème d’optimisation MAX (ou MIN): f0(X1, X2, …, Xn) Sujet à: f1(X1, X2, …, Xn) <= b1 : fk(X1, X2, …, Xn) >= bk fm(X1, X2, …, Xn) = bm Le problème LP est une fonction linéaire

Forme générale d’un problème en programmation linéaire MAX (ou MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Sujet à: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk am1X1 + am2X2 + … + amnXn<= bm

Propriétés d’un modèle de programmation linéaire Linéarité Équations polynômiales de degré 1 Divisibilité & continuité Domaine des variables 

Propriétés d’un modèle de programmation linéaire (Suite) Séparabilité & additivité c1X1 + c2X2 + … + cnXn Fonction objectif unique Min coût, Max profit, …

Linear Programming General restrictions All decision variables must be nonnegative Constant terms cannot appear on the LHS of a constraint No variable can appear on the RHS of a constraint No variable can appear more than once in the objective function or in any constraint Source: J. Doucette, G. D. Morley, ECE 681, UofA, Fall 2000

EXAMPLE Your company produces wrenches and pliers out of steel using an injection moulding machine and an assembly machine. Given the following data on raw materials, machine hours, and demand, how many wrenches and/or pliers should you produce? Steel required: 1.5 lbs/wrench, 1.0 lb/pliers, 15 000 lbs available Moulding machine: 1.0 hr/wrench, 1.0 hr/pliers, 12 000 hrs available Assembly machine: 0.4 hrs/wrench, 0.5 hrs/pliers, 5 000 hrs available Demand: 8 000 wrenches, 10 000 pliers Profit: $0.40 per wrench, $0.30 per pliers Adapted from: James Orlin, MIT, 2003

EXAMPLE Une entreprise fabrique des clés et des pinces en acier en utilisant une machine de moulage et une machine d'assemblage. Selon les informations suivantes sur les matières premières, les heures-machine, et la demande, quelle est la quantité des clés et/ou des pinces qui peut aider à maximiser le profit de l’entreprise? Chaque unité des clés nécessite: 1.5 livre d’acier une heure de moulage, 0,40 heures d’assemblage. La demande actuelle est de 8000 clés, Chaque unité des pinces nécessite: 1,0 livre d’acier, 1.0 hr de moulage, 0,5 heures d’assemblage. La demande actuelle est de 10 000 pinces. Les données disponibles: Acier: 15000 livres. Heures moulage: 12000. heures assemblage: 5000 Profit espéré: $0.40 par clé, $0.30 par pince

PROGRAMMATION LINEAIRE Le fait que la fonction objective doit être linéaire a deux implications : La contribution à la fonction objective de chaque variable de décision est proportionnelle à la valeur de la variable de décision. par exemple, la contribution à la fonction objective de 4 clés est exactement quatre fois la contribution de 1 clé. La contribution à la fonction objective pour n'importe quelle variable est indépendante des autres variables de décision. par exemple, Quelque soit le nombre de pinces, la fabrication des clés contribuera toujours par la même valeur unitaire à la fonction objective.

Formulation du problème LP 1. Comprendre le problème. 2. Identifier les variables décisionnelles. w = nbre de clés p = nbre de pinces 3. Définir la fonction objectif en une combinaison linéaire de variables décisionnelles. MAX: 0.40w + 0.30p

Étapes pour la formulation du problème LP (Suite) 4. Définir les contraintes en une combinaison linéaire de variables décisionnelles. 1.5w + 1.0p <= 15000 } Acier 1.0w + 1.0p <= 12000 } Moulinage. 0.4w + 0.5p <= 5000 } Assemblage Demande des clés: w <= 8000 Demande des pinces: p <= 10000 5. Identifier limites supérieures ou inférieures des variables décisionnelles. w >= 0 p >= 0

Sommaire du modèle LP Objective Function Subject to Steel: Moulding: Assembly: Wrench demand: Pliers demand:

Résolution graphique d’un problème de LP 2 w p 4 6 8 10 12 14 Start by plotting the two decision variables on the x and y axes.

Résolution graphique d’un problème de LP 2 w p 4 6 8 10 12 14 Then begin plotting the constraints, one at a time:

Résolution graphique d’un problème de LP 2 w p 4 6 8 10 12 14

Résolution graphique d’un problème de LP 2 w p 4 6 8 10 12 14

Solving an LP Graphically 2 w p 4 6 8 10 12 14

Solving an LP Graphically 2 w p 4 6 8 10 12 14 This defines the LP problem’s feasible region. But how do we solve it?

Solving an LP Graphically 2 w p 4 6 8 10 12 14 Is there a feasible solution that gives a profit of, say, $1200?

Solving an LP Graphically 2 w p 4 6 8 10 12 14 What about $2400?

Solving an LP Graphically 2 w p 4 6 8 10 12 14 Or $3600? Can you see what’s happening? What is the largest feasible profit going to be?

Solving an LP Graphically 2 w p 4 6 8 10 12 14 The largest feasible profit is going to be defined by the highest profit curve that intersects the feasible region.

Solving an LP Graphically 2 w p 4 6 8 10 12 14 In this case, the optimal solution is:

PROBLEME DUEL En théorie d'optimisation, nous associons à chaque problème principal de la programmation linéaire son problème duel. A chaque problème principal de maximisation est associé son problème duel de minimisation, et vice versa.

Formulation du problème duel Les variables décisionnels du problème duel: S, M, et A représentent respectivement l’acier, le moulinage, et l’assemblage La fonction objective est donc: Min. Coût: 15S + 12M + 5A s/c 1.5 S +1.0M +0.4 A ≥ 400 1.0 S + 1.0M + 0.5A ≥ 300 S, M, A ≥ 0

Exemple de problème de minimisation – Résolution graphique Une entreprise fabrique deux produits chimiques, c1 et c2. c1 nécessite un coût de fabrication de $2500 par tonne et c2 nécessite $3000 par tonne. Selon les prévisions de l’entreprise concernant la demande de ses produits, les productions des deux produits doivent atteindre au moins 30 tonnes et 20 tonnes pour c1 et c2 respectivement. Du fait que les matières premières des deux produits sont sensibles et vite périssables, leur stock ne doit pas dépasser 30 jours. Pour cela, l’entreprise table sur une production d’au moins de 60 tonnes pour les deux produits.

Formulation du problème Les variables décisionnels: X1: tonnes of c1. X2: tonnes of c2 La fonction objective: Min. Coût: 2500X1 + 3000X2 Sujet à: X1 ≥ 30 tonnes de c1 X2 ≥ 20 tonnes de c2 X1 + X2 ≥ 60 tonnes en totalité X1, X2 ≥ 0

Résolution graphique d’un problème de LP X1 X2 20 40 60 Region faisable b a

Résolution graphique d’un problème de LP Le graphe présente deux coins: le coin (a) et le coin (b). Le coût total au coin (a) est: 2500(40) + 3000(20) = $160000 Le coût total au coin (b) est: 2500(30) + 3000(30) = $165000 Le coût minimum est réalisé au coin a. Le manager de production doit produire 40 tonnes de c1 et 20 tonnes de c2

Sommaire du modèle LP Equipement inc. MAX: 350X1 + 300X2 S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200 9X1 + 6X2 <= 1566 12X1 + 16X2 <= 2880 X1 >= 0 X2 >= 0

Résoudre un problème PL: Une approche intuitive Idée: Chaque chargeuse A (X1) génère le profit unitaire le plus élevé (350$), faisons-en le plus possible! Combien en fabriquer? Posons X2 = 0 1ère contrainte : 1X1 <= 200 2è contrainte : 9X1 <=1566 ou X1 <=174 3è contrainte : 12X1 <= 2880 ou X1 <= 240

Non! Résoudre un problème PL: Une approche intuitive (Suite) Si X2=0, la valeur maximale de X1 est 174 et le profit total est: (350$ * 174) + (300$ * 0) = 60 900$ C’est une solution possible mais est-elle optimale? Non!

Résolution problème PL: Une approche graphique Les contraintes d’un problème PL définissent la région de faisabilité. Le meilleur point dans la zone de faisabilité correspond à la solution optimale. Pour des problèmes à deux variables, il est facile de tracer la zone de faisabilité et de trouver la solution optimale.

Tracé de la première contrainte X2 250 (0, 200) 200 Contrainte des pompes X1 + X2 = 200 150 100 50 (200, 0) 50 100 150 200 250 X1

Tracé de la deuxième contrainte Contrainte de main-d’oeuvre (0, 261) 250 Contrainte de main-d’oeuvre 200 9X1 + 6X2 = 1566 150 100 50 (174, 0) 50 100 150 200 250 X1

Tracé de la troisième contrainte X2 250 (0, 180) 200 150 Contrainte des tuyaux 12X1 + 16X2 = 2880 100 Zone de faisabilité 50 (240, 0) 50 100 150 200 250 X1

Tracé d’une droite de la fonction objectif X2 Tracé d’une droite de la fonction objectif 250 200 (0, 116.67) Fonction objectif 150 350X1 + 300X2 = 35000 100 (100, 0) 50 50 100 150 200 250 X1

Un deuxième tracé de la fonction objectif 250 (0, 175) Fonction objectif 200 350X1 + 300X2 = 35000 Fonction objectif 150 350X1 + 300X2 = 52500 100 (150, 0) 50 50 100 150 200 250 X1

Tracé de la solution optimale X2 250 Fonction objectif 200 350X1 + 300X2 = 35000 150 Solution optimale 100 Fonction objectif 350X1 + 300X2 = 52500 50 50 100 150 200 250 X1

Calcul de la solution optimale La solution optimale se trouve à l’intersection des contraintes de pompes et de m-o. Où: X1 + X2 = 200 (1) 9X1 + 6X2 = 1566 (2) De (1) nous avons: X2 = 200 -X1 (3)

Calcul de la solution optimale (Suite) En substituant (3) pour X2 dans (2) nous avons: 9X1 + 6 (200 -X1) = 1566 ce qui fait X1 = 122 La solution optimale est : X1 = 122 X2 = 200-X1=78 Profit total = (350$*122) + (300$*78) = 66 100$

Situations spéciales avec problèmes PL Plusieurs anomalies peuvent survenir: Solutions optimales multiples Contraintes redondantes Problème non-contraint (“Unbounded Solutions”) Infaisable

Exemple de solutions optimales multiples 250 Tracé de la fonction objectif 450X1 + 300X2 = 78300 200 150 100 Solutions optimales équivalentes 50 50 100 150 200 250 X1

Example d’une contrainte redondante 250 Contrainte des tuyaux 200 Contrainte des pompes 150 Contrainte de la M-O 100 Zone de faisabilité 50 50 100 150 200 250 X1

Exemple d’une solution “unbounded” 1000 Fonction objectif X1 + X2 = 600 -X1 + 2X2 = 400 800 Fonction objectif X1 + X2 = 800 600 400 200 X1 + X2 = 400 200 400 600 800 1000 X1

Exemple d’infaisabilité 250 200 X1 + X2 = 200 Zone de faisabilité de la deuxième contrainte 150 100 Zone de faisabilité de la première contrainte 50 X1 + X2 = 150 50 100 150 200 250 X1