Type d ’activité : leçon illustrée Racines carrées Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.

Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous ou le clic droit de la souris. Le menu du clic droit, le numéro des diapositives et les liens hyper-texte permettent également de naviguer. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire

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Racines carrées Définition et applications directes Construction de la racine carrée d’un nombre entier Le colimaçon de PYTHAGORE (activité de découverte) Un problème Les techniques de calcul Définition et applications directes Comparaison de racines carrées Racine carré d'un produit Racine carrée d'un quotient Les exercices d’application

Le nombre a étant positif se lit racine carrée de a est le seul nombre positif dont le carré vaut a . donc Voir les réponses

Le nombre a étant positif se lit racine carrée de a est le seul nombre positif dont le carré vaut a . Car 3² = 9 donc 3 Car 4² = 16 4 12 Attention ! Le signe doit être bien placé car il indique une priorité opératoire. 4 + 3 = 7 En général 2,236

Les racines carrées sont rangées dans le même ordre que leurs carrés Donc et En effet

La racine carrée d'un produit de nombres positifs est égale au produit des racines carrées. Ecrire sous la forme Avec b entier le plus petit possible Voir les solutions

Avec b entier le plus petit possible Ecrire sous la forme Avec b entier le plus petit possible donc suite Plusieurs décompositions sont possibles... 2000 = 400 x 5 permet de trouver le résultat en une seule étape.

On utilise

La racine carrée d'un quotient de nombres positifs est égale au quotient des racines carrées

Quelques calculs de bases Voir les solutions

Est une expression qui ne peut pas être réduite avec Ne pas confondre Est une expression qui ne peut pas être réduite avec Et La racine carrée du nombre positif a (elle est unique et positive) ! Les deux solutions de l ’équation x² = a (a>0) et

Equation x² = a Etant donné un nombre a l ’équation x² = a Admet deux solutions lorsque a > 0 Admet une solution x = 0 lorsque a = 0 N ’admet pas de solution lorsque a < 0 C ’est la définition ! x² = 0 si et seulement si x = 0 Si x > 0 alors x x x > 0 : c ’est le produit de deux nombres positifs ! Si x < 0 alors x x x > 0 : c ’est le produit de deux nombres négatifs ! x² ne peut pas être négatif …

Construire le colimaçon de PYTHAGORE Pré-requis : connaître le théorème de Pythagore. Construire un triangle OA1A2 isocèle rectangle en A1 dont les petits côtés mesurent 1cm. Son hypoténuse OA2 mesure cm Construire un deuxième triangle rectangle OA2A3 dont les petits cotés mesurent cm et 1cm. Son hypoténuse OA3 mesure cm Construire un troisième triangle rectangle OA3A4 dont les petits cotés mesurent cm et 1cm. Son hypoténuse OA4 mesure cm En continuant ainsi on obtient le colimaçon de Pythagore ! Construis maintenant les segments de longueurs En mesurant certains segments (lesquels ? ) tu peux vérifier la précision de ton dessin.

en reportant les longueurs avec ton compas, Utilise ta figure : en reportant les longueurs avec ton compas, les égalités suivantes sont-elles plausibles ? NON NON Oui Oui Quelles sont les règles de calcul qui justifient ceci…

Le nombre p étant positif se lit racine carrée de p est le seul nombre positif dont le carré vaut p . Les deux nombres positifs ont même carré donc ils sont égaux. Exercices De même….

Les deux nombres positifs ont même carré donc ils sont égaux. Exercices

UN PROBLEME Les exercices

Etant donné un nombre n positif on peut tracer Voici un programme : Tracer un cercle de diamètre AB = n Sur ce diamètre placer le point H tel que AH =1 La perpendiculaire à la droite (AB) en H coupe le cercle en C et C’ Faire des essais avec géoplan Piloter B au clavier lecture de l’affichage e1 = AH = 1 e2 = AB = n e3 = AC C A B H C’ Choisir n = 4, n = 9 et n = 16 Le résultat attendu est-il vérifié ? Puis justifier cette construction….

Le point C est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc Si n = 4 C Le point C est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABC est rectangle en C. 1 A H B Utilisons le théorème de Pythagore à bon escient…. 4 Dans le triangle ABC AC² + BC² = AB² Dans le triangle HBC AC² + HC² + HB² = 4² Or HB = AB - 1 = 3 Dans le triangle HAC AC² = AH² + HC² AC² - 1 = HC² AC² + HC² + 3 ² = 16 AC² + AC² - 1 + 9 = 16 2AC² = 8 En divisant par 2 AC² = 4 Généralisons ce travail pour un nombre n quelconque...

Utilisons le théorème de Pythagore à bon escient…. Le point C est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABC est rectangle en C. 1 Utilisons le théorème de Pythagore à bon escient…. A H B n Dans le triangle ABC AC² + BC² = AB² Dans le triangle HBC AC² + HC² + HB² = AB² Or HB = AB - 1 AC² + HC² + (AB - 1) ² = AB² AC² + HC² + AB² - 2AB + 1 = AB² Dans le triangle HAC AC² - 2AB + AC² = 0 En divisant par 2 AC² = AB Or AB = n donc

Le résultat attendu est-il vérifié ? Enoncé à imprimer Etant donné un nombre n positif on peut tracer Voici un programme : Tracer un cercle de diamètre AB = n Sur ce diamètre placer le point H tel que AH = 1 La perpendiculaire à la droite (AB) en H coupe le cercle en C et C’ C Faire trois dessins pour n = 4, n = 9 et n = 16 Le résultat attendu est-il vérifié ? A B H Puis justifier la première construction en appliquant le théorème de Pythagore lorsque n = 4. Etudier le cas général : (refaire les calculs en fonction de n.) C’