UTILISATION DE PROBLEMES EN MATHS AU LYCEE Recherche-Formation : UTILISATION DE PROBLEMES EN MATHS AU LYCEE (2002-2005) Alain Nevado Martine Décembre, Jean-Michel Denard, Marie-Christine Palandjian, Annie Pialot,

Quelques constats sur les comportements de nos élèves : Peu d’élèves aboutissent , Beaucoup sont passifs et peu enclins à chercher. Ils se jugent définitivement « bons » ou « mauvais ». Les difficultés en calcul accentuent leurs blocages. Ils ont en tête le cours et les exercices traités précédemment Ils ont du mal à changer de piste et, lorsqu’ils sont bloqués, on voit peu de trace d’un questionnement… Les « copies » contiennent peu d’expérimentation initiale, Certaines questions non traitées en DM souvent par manque d ’envie, de méthode et de ténacité …

Nos questions initiales Quel contenu pour les problèmes ouverts ? Quels types d’énoncé en liaison avec le programme ou pas ? Dans quelles classes travailler ? Sur un thème commun à tous les niveaux ou pas ? Classifier les thèmes ? Sous quelle forme: en classe ? à la maison ? en DS ? Quels impacts : Côté profs, côté élèves . Quelle évaluation ?

  Comment faire progresser les élèves dans la recherche de problèmes « ouverts »  ?

Les idées de départ En recherchant des problèmes ouverts les élèves peuvent-ils parvenir à : progresser dans ce domaine !! être plus motivés en mathématiques progresser dans d’autres champs de leur activité mathématique et en particulier en calcul Peut-on, et comment, relier les exercices proposés : aux programmes en vigueur dans les classes ? à la progression choisie dans la classe ?

Bref historique 1.Initiateurs : Alain Nevado encouragé par J.Aymès (I.P.R de maths) 2. Mais après la commission baccalauréat ( 1996) présidée par Paul Attali. 3. Début R.F. avant la réforme du bac 04 ( rapport IG sur la présence de question à prise d’initiative au bac) 3. Aides: d’André Tricot (professeur de, pscychologie cognitive), Yves Matheron (professeur de didactique ) ,Jean-Pierre Richeton (professeur de maths initiateur de l’atelier sciences ….) 4. Lecture de didacticiens, Yves Chevallard , Aline Robert

Première expérimentation ( la deuxième année) Existe-t-il un triangle ABC d’aire maximale sachant que : AB = AC = 12 cm ? Pas de scénario commun entre nous Mais évaluation à l’aide une grille Bilan: Nécessité d’un scénario commun La grille est trop complexe

Troisième expérimentation :  d1, d2, d3 sont trois droites concourantes en un point G . Construire un triangle tel que ces trois droites en soient les médianes. Solution Deux scénario avec plusieurs aides Bilan: les questions: mettre les élèves en groupe ou pas ? Progressent-ils ?

Nécessité de la mise en place d’une aide méthodologique . Apport d’André Tricot Mise en place d’une heuristique de recherche D’où mise en place de « l’outil »

Que se passe-t-il quand « on » cherche? Générer des pistes : Certains relèvent les mots clés, listent tout ce qu’ils amènent et ont mis en place leur raisonnement D’autres avancent et le but se profile…parfois ! D’autres encore ne s’engagent que s’ils ont une idée qui leur apparaît bonne Chercher des problèmes identiques. Suivre des pistes Un problème se décompose en sous problèmes, fait appel à différentes notions Identification du raisonnement ……. Valider les résultats cohérence, objectif complètement ou partiellement atteint, rédaction rigoureuse

« OUTIL » POUVANT AIDER A LA RECHERCHE D’UN EXERCICE A priori cet exercice vous plaît-il ? Quels sont les mots clés de cet énoncé ? Pouvez-vous faire différents essais, différents dessins pour comprendre l’énoncé ? Faites la liste des parties de cours, des connaissances, des méthodes, que vous a inspiré l’étude de l’énoncé ou les conjectures de la réponse que vous pouvez faire. Étudiez des cas particuliers, faites d’autres schémas… Quelles pistes suivez-vous? Quelles questions successives vous conduisent-elles à vous poser ? Pouvez-vous y répondre? Quels objectifs poursuivez-vous? Quels objectifs poursuivez-vous? oui non Si vous n’avez pas trouvé l’exercice, au bout de combien de temps en avez-vous abandonné la recherche ? Si vous l’avez trouvé combien de temps avez-vous mis ? Estimez-vous que vos résultats sont cohérents ? (vérification des calculs, calculatrice…)

Consignes  pour l’exercice qui suit : La recherche est individuelle pendant toute la durée de la séance.ou La recherche est individuelle pendant un quart d’heure puis en groupes ou La recherche est en groupes (une des trois consignes au choix) Laissez par écrit, sur une copie où vous mettrez votre nom, toutes les traces de votre recherche ( pas d’effaceur, pas de gomme, barrez si erreur) en expliquant votre démarche. Lorsque vous avez choisi une piste, essayez de la mener à son terme. Si vous l’abandonnez, n’effacez rien, tirez un trait et indiquez votre nouvelle direction de recherche Lors de chaque intervention du professeur, tirez un trait, notez l’information donnée et poursuivez votre recherche. Un questionnement méthodologique est joint en annexe à ce problème. Son but est de vous aider pendant votre recherche si cela s’avère nécessaire, complétez -le ( si vous le souhaitez !! )tout au long de votre recherche

Un exemple d’utilisation de « l’outil » Soit f une fonction définie pour tout x de [ 0 ; 1 ] par : Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal . On admettra que (C) est tangente aux deux axes de coordonnées aux points de coordonnées (1 ; 0) et (0 ; 1). (C) est-elle un arc de cercle ?

Quels objectifs poursuivez-vous? Allure quart de cercle, courbe représentative, tangente, cercle Tracer sur l’énoncé un quart de cercle et observer si courbes confondues ou non ? Tracer à la calculatrice, table de valeurs. A- Équations de courbes B- Définition géométrique du cercle C- Eléments de symétrie du cercle Montrer que (C) est ou n’est pas un arc de cercle. Quels objectifs poursuivez-vous?

non Quels objectifs poursuivez-vous? A- Équations de courbes Allure quart de cercle, courbe représentative, tangente, cercle Tracer sur l’énoncé un quart de cercle et observer si courbes confondues ou non ? Tracer à la calculatrice, table de valeurs. A- Équations de courbes B- Définition géométrique du cercle C- Eléments de symétrie du cercle Montrer que (C) est ou n’est pas un arc de cercle. Quels objectifs poursuivez-vous? Détermination du centre et du rayon. Equation du cercle. Comparer les deux équations. non La comparaison des équations conduit vers un abandon de piste. La transformation de l’équation initiale laisse apparaître - une mise en œuvre de savoir-faire relatifs au second degré : on peut voir l’équation initiale écrite y = X² - 2X +1 et une mise en relation avec une parabole. - un changement d’origine du repère. - une écriture de f(x) sous la forme (Vx -1)² L’utilisation de la calculatrice permet de repérer f(0,25)=0,25.

B oui Quels objectifs poursuivez-vous? A- Équations de courbes A priori cet exercice vous plaît-il ? Allure quart de cercle, courbe représentative, tangente, cercle Tracer sur l’énoncé un quart de cercle et observer si courbes confondues ou non ? Tracer à la calculatrice, table de valeurs. A- Équations de courbes B- Définition géométrique du cercle C- Elements de symétrie du cercle Montrer que (C) n’est pas un arc de cercle. Quels objectifs poursuivez-vous? B Détermination du centre et du rayon. Détermination d’un point de (C). Calcul de la distance de ce point au centre. oui Démonstration aboutie, en général, après abandon d’autres pistes.

C non Quels objectifs poursuivez-vous? A- Équations de courbes A priori cet exercice vous plaît-il ? Allure quart de cercle, courbe représentative, tangente, cercle Tracer sur l’énoncé un quart de cercle et observer si courbes confondues ou non ? Tracer à la calculatrice, table de valeurs. A- Équations de courbes B- Définition géométrique du cercle C- Elements de symétrie du cercle Montrer que (C) est un arc de cercle. Quels objectifs poursuivez-vous? C Détermination du centre. Recherche d’axe(s) de symétrie. non La recherche d’axe(s) conduit dans le meilleur des cas à un abandon de piste. Un élève énonce qu’il faut autant d’axes de symétrie que de diamètres. Les autres énoncent qu’il suffit que la courbe admette un axe de symétrie.

● Une condition nécessaire aboutit-elle à une condition suffisante ? Des commentaires: ● Une condition nécessaire aboutit-elle à une condition suffisante ? Si (C) est un arc de cercle alors elle admet un axe de symétrie. (C) semble admettre un axe de symétrie, on peut donc conjecturer que c’est un arc de cercle. ● La mise en évidence de la contraposée.

Autre exemple d’utilisation de « l’outil » On considère un triangle ABC rectangle en B tel que 2BC = 3AB. Un point H et un point K sont mobiles respectivement sur le segment [AB] et sur le segment [BC] de telle façon que 2BK = 3AH. On note I le milieu (mobile) du segment [HK]. 1) Quel est l’ensemble décrit par le point I quand H décrit le segment [AB] ? justifier. 2) Le problème serait-il différent si le triangle ABC n’était pas rectangle ?

H en A, H en B, H milieu de [BA], H quelconque. Triangle rectangle - Milieu - Rapport 2 et 3 toujours le même -Rajouter points H en A, H en B, H milieu de [BA], H quelconque. A- Repère orthonormé Equations de droites Milieu B- 2/3 =AB/BC = AH/BK Thalès Vecteurs et Barycentres C- Milieu I de [HK] et [BD] Homothétie Montrer que I est sur la droite des milieux? Quels objectifs poursuivez-vous?

oui non Quels objectifs poursuivez-vous? Barycentres A priori cet exercice vous plaît-il ? Milieu Rectangle H en A, H en B et H au milieu de [BA] Barycentres quels sont les coefficients ? Equations de droites définir un repère et les coordonnées de chaque point Thalès Montrer que I est sur la droite des milieux? Quels objectifs poursuivez-vous? oui non Si vous n’avez pas trouvé l’exercice, au bout de combien de temps en avez-vous abandonné la recherche ? Si vous l’avez trouvé combien de temps avez-vous mis ? Estimez-vous que vos résultats sont cohérents ? (vérification des calculs, calculatrice…)

Il est important, (comme nous l’avait conseillé Jean-Pierre RICHETON) de chercher le premier problème avec les élèves et de provoquer un débat. Echanger les idées, les lister ; leur montrer comment nous, « spécialistes », cherchons. Prévoir un temps conséquent de recherche. Faire le lien entre l’exercice cherché et les parties du programme dont il relève comme réinvestissement ou comme introduction d’une nouvelle notion Proposer des problèmes qui soient, à priori, déconnectés du quotidien de la classe afin de donner la possibilité aux élèves de mobiliser des notions antérieures, éventuellement mêlées à des notions nouvelles Le retour à la classe en terme d’analyse est important ( les erreurs calculs, les différentes méthodes de raisonnement, les différentes pistes

Les limites ou les prolongements possibles: Gestion de l’outil questionnaire Mesurer l’apport effectif aux élèves L’évaluation À travailler le rôle du professeur «  aider à comment trouver une démarche pertinente et s’y engager, qu’elle aboutisse ou non ... » changement de conception pour nous.

Quelques réflexions finales les élèves sont « partants », voire demandeurs, de travaux de cette nature, ils arrivent à s’engager sur des pistes de manière autonome, ils confrontent leurs stratégies et les défendent, ils apprennent à oser à écrire, ce type de travail permet un apprentissage d’ordre méthodologique grâce à un questionnement spécifique, il nécessite de savoir se donner du temps de recherche il implique de valoriser les idées, même non abouties, des élèves pour leur redonner confiance.

FIN

R Prise de conscience Explicite Implicite Conceptualisation: Procéduralisation: déclaratif procédural Automatisation R

Un point de vue didactique Aline Robert «  l’enseignement des mathématiques au lycée » Le rôle du problème ouvert est de révéler les connaissances disponibles, ou, par sa pratique, de rendre disponibles des connaissances qui n'étaient que mobilisables R

Les problèmes ouverts vus du côté de l’élève Résoudre des exercices nécessitant une prise d'initiative c’est être amené à : - faire une adaptation - interpréter une donnée - perdre une information - utiliser un résultat précédent - introduire un intermédiaire - changer de cadre, de registre, de point de vue, mettre en relation.

Une heuristique de recherche de solutions est « une règle générale d’action, applicable à toute situation et qui permet, la plupart du temps, d’aboutir plus rapidement à la solution ».

Une connaissance disponible est une connaissance suffisamment ancrée pour faire partie des outils à la disposition de l'élève, auxquels il peut recourir en cas de besoin, sans qu'aucune indication ne lui soit donnée. Ex : en seconde utiliser le théorème de Pythagore 

Une connaissance mobilisable est une connaissance que l'élève est capable d'utiliser, valablement pour résoudre un problème qui y fait explicitement référence Ex : en seconde les propriétés des triangles semblables 

Cadre: géométrie plane, arithmétique,… Registre : vecteur : passage de l'écriture dans une base à notion de coordonnées "( différentes écritures d'une même notion) Point de vue: transformer AM = MB = MC en M est le centre du cercle circonscrit à ABC", ( petit changement dans l'écriture d'un énoncé) Suivant le niveau un changement de point de vue devient changement de registre. 

« C’est très intéressant « C’est très intéressant. Cela nous permet de progresser car je n’en résolvais aucun au début de l’année et, au fur et à mesure, j’y suis arrivé » (élève de 1èreS) « Les travaux de recherche sont bien, c’est intéressant, c’est marrant, ça fait travailler la réflexion personnelle » (élève de 1èreS) « J’ai trouvé très bien les exercices de recherche et surtout les guidages que vous donniez, à savoir : à quoi cela nous faisait penser. Je pense que c’est très utile pour les exercices en temps normal. C’est une démarche efficace qui peut nous faire avancer » (élève de 1èreS) « Les problèmes permettent de découvrir la joie du raisonnement mathématique » (élève de TleS) « Ce sont les séances de module et de recherche qui m’ont le plus surprise cette année. Mon meilleur souvenir aura été la formule de Héron, en effet l’idée de me dire que cette formule a été trouvée par un grand savant et que nous avons réussi à la trouver, m’a apporté une grande satisfaction et une grande fierté » (élève de TleS) R

Grille d'évaluation pour tous les problèmes ouverts Nom des élèves Expérimentation Conjectures Démarche théorique calculatoire Démonstration correcte Esprit critique Erreurs de calcul Bilan Lexique relatif à la grille d’évaluation des problèmes ouverts : Expérimentation : L’élève a pris de l’initiative, a tâtonné. Conjecture : L’élève a un moment du problème a fait une hypothèse acceptable. Démarche théorique ( au sens de raisonnement) : L’élève s’est engagé dans une stratégie pertinente. Démarche calculatoire : L’élève se questionne, réfléchit devant un calcul, est vigilant à l’ensemble dans lequel il travaille,…….. Démonstration correcte : enchaînement des propriétés …..et bonne argumentation. Esprit critique : L’élève vérifie la cohérence de ses réponses. Erreurs calcul : Présence d’erreurs de calcul graves de type de celles du test. Rédaction : Vocabulaire utilisé précis, clarté des idées, français correct, …. Légende relative à la grille d’évaluation des problèmes ouverts : Code : + + pour très satisfaisant Code : + pour satisfaisant Code :  pour insuffisant Code :   pour très insuffisant Code : pour non évalué en raison de la nature du problème par exemple Code : 0 pour non fait , impossibilité d’évaluer en raison des types de réponses de l’élève .R

Scénario 1 : Chaque aide est sous forme de questions dirigées. Aide n°1 : Quels points caractérisent un triangle ? Peux-tu en placer un ? Aide n°2 : Que penses-tu du rôle du point G ? Aide n°3 : Quelle configuration judicieuse introduire pour placer les points manquant ? Scénario 2 : Inciter la méthode analyse synthèse. Aide n°1 : Imagine la figure réalisée et aide-toi des propriétés induites par cette figure. Aide n°2 : Ne t’occupe plus de la construction de tous les sommets du triangle mais cherche, en respectant les consignes, à construire une partie de la figure seulement. (abandon d’une contrainte). Aide n°3 : Reproduis le procédé des aides 1) et 2) une nouvelle fois pour terminer la figure et vérifie. R

Scénario 1 : Chaque aide est sous forme de questions dirigées. Aide n°1 : Quels points caractérisent un triangle ? Peux-tu en placer un ? Aide n°2 : Que penses-tu du rôle du point G ? Aide n°3 : Quelle configuration judicieuse introduire pour placer les points manquants ? Scénario 2 : Inciter à la méthode d’analyse-synthèse. Aide n°1 : Imagine la figure réalisée et aide-toi des propriétés induites par cette figure. Aide n°2 : Ne t’occupe plus de la construction de tous les sommets du triangle mais cherche, en respectant les consignes, à construire une partie de la figure seulement. (Abandon d’une contrainte). Aide n°3 : Reproduis le procédé des aides 1) et 2) une nouvelle fois pour terminer la figure et vérifie. R

Méthode 1 On construit A et A’tel que GA’ = ½ GA Le problème est de construire B et C tels que A’ est le milieu de [BC] . On pense que [BC] est la diagonale du parallélogramme dont A’ est le centre, B, C et B trois points Construire alors G’ image de G par la symétrie de centre A’ puis le parallélogramme BG’CG

Méthode 2 donc donc on doit construire un parallélogramme dont les cotés sont [GB] et [GC] et la diagonale sur d1 donc je fixe A’ et je construis un parallélogramme de telle sorte que d3 et d2 supporte les cotés

Méthode 3 En A fixé je trace la parallèle à d2 je note son point d’intersection avec d3, en ce point je trace la parallèle à d1 je note son point d’intersection avec d2 B, en ce point je trace la parallèle à d3 je note son point d’intersection avec d1, en ce point je trace la parallèle à d2 je note son point d’intersection avec d3 ce sera C R