Jean-François Rameau Dassault Systèmes, Supméca GRT juin 2014 Équation différentielle pour modéliser les mécanismes sur-contraints avec jeu Jean-François Rameau Dassault Systèmes, Supméca GRT juin 2014

Mécanisme sur-contraint Pivot Point-droite

Paramètre de jeu d’un mécanisme Iso ou Sous-contrainte Sur-contrainte dim 𝑄< dim 𝐸 dim 𝑄+ dim 𝐽≥ dim 𝐸 𝐹:𝑈×𝑄×𝑅⟶𝐸 𝐹 𝑢,𝑞,𝑟 =0 𝐹:𝑈×𝐽×𝑄×𝑅⟶𝐸 𝐹 𝑢,𝑗,𝑞,𝑟 =0 Paramètres dimensionnels Paramètres de jeu Paramètres positionnels et commande Solution nominale 𝐹 𝑢 0 ,0,𝑞 𝑟 ,𝑟 =0 Solution 𝐹 𝑢 0 ,𝑞 𝑟 ,𝑟 =0 Solution perturbée 𝐹 𝑢 0 +𝑢,𝑗, 𝑞 𝑟 ,𝑟 =0

Mécanisme iso-contraint, sous contraint Pivot glissant Point-droite Pivot Pivot glissant Point-droite Sous-contraint Iso-contraint

Paramètres 𝛼 𝑏 𝑎 𝜃 𝑥 𝑎,𝑏,𝛼 𝜃,𝑥 𝑗 1 , 𝑗 2 𝑗 2 𝑗 1 Paramètres dimensionnels Paramètres positionnels Paramètres de jeu Commande 𝑗 2 𝑗 1 Pivot glissant Point-droite

Equation de fermeture Paramètres dimensionnels Commande 𝐹 𝑎,𝑏,𝛼, 𝑗 1 , 𝑗 2 ,𝜃,𝑥 = 𝑥 sin 𝜃 sin 𝛼 + 𝑗 1 + 𝑗 2 cos 𝛼 𝑥 2 − 𝑗 1 2 + 𝑎 2 − 𝑏 2 −2𝑎𝑥 cos 𝜃 + 𝑗 2 2 Paramètres de jeu Paramètres positionnels 𝑎 𝑏 𝑥 𝜃 𝑗 1 𝑗 2 𝛼

Etant données les dimensions 𝑎,𝑏,𝛼 et la commande 𝜃, trouver la position 𝑥 qui minimise les jeux 𝑗 1 , 𝑗 2 . 𝑗 1 , 𝑗 2 ,𝑥 = Argmin 𝐹 𝑎,𝑏,𝛼, 𝑗 1 , 𝑗 2 ,𝑥,𝜃 =0 1 2 𝑗 1 2 + 𝑗 2 2 𝐹 𝑎,𝑏,𝛼, 𝑗 1 , 𝑗 2 ,𝑥,𝜃 =0 𝑎 𝑏 𝑥 𝜃 𝑗 1 𝑗 2 𝛼

De l’équation de fermeture vers la fonction de Lagrange Entrée Entrée 𝑢= 𝑎,𝑏,𝛼 𝑗= 𝑗 1 , 𝑗 2 𝑗,𝑥 = Argmin 𝐹 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃 =0 1 2 𝑗 2 𝐹 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃 =0 Sorties 𝐿:𝑈×𝐽×𝑄×𝑅×𝐸 ⟶ ℝ 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃,𝜆 ⟼ 𝐿 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃,𝜆 = 1 2 𝑗 2 + 𝜆,𝐹 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃 ℎ:𝑈×𝐽×𝑄×𝐸 ⟶ 𝐽×𝑄×𝐸 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃,𝜆 ⟼ ℎ 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃,𝜆 = 𝐿 𝑗 𝐿 𝑥 𝐿 𝜆 = 𝑗+ 𝐹 𝑗 𝑇 𝜆 𝐹 𝑥 𝑇 𝜆 𝐹 Entrée Entrée ℎ 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃,𝜆 =0 Sorties Sorties

De la fonction de Lagrange vers l’équation différentielle ordinaire Arc de courbe dimensionnelle arbitraire Commande arbitraire 𝑢:ℝ⟶𝑈 𝑡⟼𝑢 𝑡 𝑢 0 =𝑢 0 𝜃:ℝ⟶𝑅 𝑡⟼𝜃 𝑡 𝜃 0 =𝜃 0 ℎ:𝑈×𝐽×𝑄×𝑅×𝐸 ⟶ 𝐽×𝑄×𝐸 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃,𝜆 ⟼ ℎ 𝑢,𝑗,𝑥,𝜃,𝜆 𝑔:ℝ×𝐽×𝑄×𝐸 ⟶ 𝐽×𝑄×𝐸 𝑡,𝑗,𝑥,𝜆 ⟼ 𝑔 𝑡,𝑗,𝑥,𝜆 =ℎ 𝑢 𝑡 ,𝑗,𝑥,𝜃 𝑡 ,𝜆 𝑔 𝑡,𝑗,𝑥,𝜆 =0 Théorème des fonctions implicites. Equation différentielle ordinaire 𝑗 ′ 𝑥 ′ 𝜆 ′ =− 𝑔 𝑗,𝑥,𝜆 𝑡,𝑗,𝑥,𝜆 −1 𝑔 𝑡 𝑡,𝑗,𝑥,𝜆 Initialisation par la solution nominale 𝑗 0 =0 𝑥 0 = 𝑥 0 𝜆 0 =0

Condition d’application du théorème des fonctions implicites Dérivée partielle par rapport aux inconnues 𝑔 𝑗,𝑥,𝜆 = 𝐼+ 𝐹 𝑗𝑗 𝑇 𝜆 𝐹 𝑗𝑥 𝑇 𝜆 𝐹 𝑗 𝑇 𝐹 𝑗𝑥 𝑇 𝜆 𝐹 𝑥𝑥 𝑇 𝜆 𝐹 𝑥 𝑇 𝐹 𝑗 𝐹 𝑥 0 𝑔 𝑗,𝑥,𝜆 0,0, 𝑥 0 ,0 = 𝐼 0 𝐹 𝑗 𝑇 0 0 𝐹 𝑥 𝑇 𝐹 𝑗 𝐹 𝑥 0 Dérivée partielle par rapport aux inconnues à l’instant initial Condition suffisante d’inversion L’application linéaire 𝐹 𝑥 𝑇 𝐹 𝑗 𝐹 𝑗 𝑇 + 𝐹 𝑥 𝐹 𝑥 𝑇 −1 𝐹 𝑥 est inversible L’équation de fermeture est sous contrainte par rapport au jeu et à la position. L’équation de fermeture est sur contrainte par rapport à la position.

Variations des dimensions, commande Dimension nominale Amplitude Variation dimensionnelle 𝑎 𝑡 = 𝑎 0 + 1− 𝑒 −𝑡 ∆ 𝑎 2 cos 𝜔 𝑎 𝑡 𝑏 𝑡 = 𝑏 0 + 1− 𝑒 −𝑡 ∆ 𝑏 2 cos 𝜔 𝑏 𝑡 Fréquence Jeux… Commande 𝜃 𝑡 = 𝜃 0 +𝑡 𝛼 𝑡 = 𝛼 0 + 1− 𝑒 −𝑡 ∆ 𝛼 2 cos 𝜔 𝛼 𝑡 𝑗 1 𝑚𝑎𝑥 = max 𝑗 1 𝑡 ,𝑡≥0 𝑗 1 𝑚𝑖𝑛 = min 𝑗 1 𝑡 ,𝑡≥0 𝑗 2 𝑚𝑎𝑥 = max 𝑗 2 𝑡 ,𝑡≥0 𝑗 2 𝑚𝑖𝑛 = min 𝑗 2 𝑡 ,𝑡≥0 𝑗 1 ′ 𝑗 2 ′ 𝑥 ′ 𝜆 1 ′ 𝜆 2 ′ =𝐻 𝑡, 𝑗 1 , 𝑗 2 ,𝑥, 𝜆 1 , 𝜆 2 𝑗 1 𝑡 𝑗 2 𝑡 𝜆 1 𝑡 𝜆 2 𝑡 𝑥 𝑡 𝑗 1 0 =0 𝑗 2 0 =0 𝜆 1 0 =0 𝜆 2 0 =0 𝑥 0 = 𝑥 0 Intégration numérique

Bielle manivelle: simulation numérique 𝑗 1 𝑡 𝑗 2 𝑡 Jeux… 𝑥 𝑡 𝑏 𝑡 𝑎 𝑡 𝛼 𝑡 𝜆 1 𝑡 𝜆 2 𝑡

Conclusion La méthode est exacte Simulation et animation 3D Possibilité d’évaluer les extrema en temps réel Tout post-traitement possible

Merci.