Les nombres décimaux au cycle 3

Les nombres décimaux au cycle 3 Quelles approches dans les classes ? Les nombres décimaux au cycle 3, à quel niveau? Comment vous l’abordez? Quelles difficultés rencontrez-vous Réponse des enseignants: CM1 et CM2 Poser la question: et au CE2?

Les nombres décimaux au cycle 3 Les programmes 2008 CM1 ET CM2

Les nombres décimaux au cycle 3 Et au CE2 ? Cette capacité est déterminante pour que les élèves soient conscients que les nombres entiers ne suffisent pas pour rendre compte d’une quantité.

Tous les nombres entiers sont des décimaux. Les nombres décimaux au cycle 3 • Les entiers naturels (ensemble noté N) : Les entiers naturels sont le 0, le 1 et tous les nombres égaux à une somme de 1. Exemples : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... • Les entiers relatifs (ensemble noté Z) : Les entiers relatifs sont les entiers naturels (qui sont positifs) et leurs opposés (qui sont négatifs). Exemples : ..., --‐7, --‐6, --‐5, --‐4, --‐3, --‐2, --‐1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... • Les nombres décimaux (ensemble noté D) : Les nombres décimaux sont les nombres égaux au quotient d’un entier relatif par une puissance de 10 (c’est à dire 1, 10, 100, 1000, 10000, etc.). Exemples particuliers : ¼, ⅖, ⅝, 25673,0000026 0,5362748922048756 Mais pas : ⅓, ⅔ • Les nombres rationnels (ensemble noté Q) : Les nombres rationnels sont les nombres qui sont égaux au quotient de deux nombres entiers relatifs, c’est à dire à des fractions. Exemples particuliers : ⅓, ⅔ • Les nombres réels (ensemble noté R : Les nombres réels peuvent être soit des nombres rationnels, soit des nombres irrationnels. Ces derniers présentent un développement décimal infini et non périodique. Exemples particuliers : π, √2 • Les nombres complexes (ensemble noté C) : Il existe un élément i (comme imaginaire) de ℂ tel que i² = ‐1. Les racines carré négative. Tout élément de ℂ s'écrit de manière unique z = a + ib, a et b étant des nombres réels. Exemple particulier : c tel que c2 = ‐7 (c = i√7) De façon imagée Les nombres réels (qu'ils soient entiers 1 2 3 … ou décimaux 1,23  3,14 ...) se représentent facilement sur une droite comme sur une règle graduée Avec les nombres imaginaires (complexes), on étend le territoire de la ligne à la surface, c’est une autre dimension.   Ces nombres constituent un outil pratique pour résoudre des problèmes en électricité, en fait, partout où il y a du mouvement, des ondes, des oscillations, des variations… Avec ce simple nouveau nombre, il s’agit là, bel et bien, de la construction d’un nouveau monde de nombres aux vertus extraordinaires Ceux des nombres imaginaires lorsqu'il sont seuls (5i) Et des nombres complexes, lorsqu'ils sont associés aux réels (4 + 5i) Tous les nombres entiers sont des décimaux.

Des éléments didactiques Les nombres décimaux au cycle 3 Des éléments didactiques La nature des nombres ne dépend pas de leur écriture. Il est fondamental de ne pas laisser croire les élèves que cela soit le cas. Ainsi, le nombre 756 est un nombre entier mais aussi un nombre décimal. Il peut se présenter sous différentes écritures: en lettres : sept cent cinquante-six en chiffres romains : DCCLVI additive : 342 + 126 + 288 à virgule : 756,00 fractionnaire :7 560/10 …

Des éléments didactiques Les nombres décimaux au cycle 3 Des éléments didactiques Il faut enseigner la nécessité de disposer de nombres permettant de quantifier, de mesurer avec plus de précisions des quantités non quantifiables. En lien avec la diapo 4 sur le programme au CE2

Des compétences nécessaires Les nombres décimaux au cycle 3 Des compétences nécessaires Connaître le système positionnel en base 10 Connaissances et compétences sur l’ordre des nombres 1- Les élèves doivent avoir compris le système de numération en base 10, en particulier qu’il s’agit d’un système numérique de position. Il est également nécessaire qu’ils aient compris le système d’équivalence entre les chiffres en fonction de leur position dans un nombre. 2. Connaissances et compétences sur l’ordre des nombres. Sur une droite graduée, les élèves doivent : --‐ savoir ce qu’est une graduation régulière (avec le choix d’une unité). --‐ être capables d’y placer un nombre entier et quelques fractions simples 2. Connaissances et compétences sur les fractions. Sur les fractions, les élèves doivent : --‐ connaître la notion de fraction, l’écriture fractionnaire et le vocabulaire afférent (numérateur, dénominateur, demi, tiers, quart, dixième, centième, millième, ...). --‐ savoir reconnaître des fractions égales (exemple et ) et trouver une fraction égale à une fraction donnée y compris dans le cas des entiers naturels. --‐ savoir décomposer une fraction en une somme Connaissances et compétences sur les fractions Vidéo

Des situations pour introduire les décimaux VIGILANCE Des situations pour introduire les décimaux Les nombres décimaux au cycle 3 La première idée qui vient souvent à l’esprit consiste à travailler avec des nombres décimaux que les élèves connaissent déjà comme la monnaie ou les mesures de longueur. On peut penser que les élèves auront moins de difficultés à comprendre du fait de leurs connaissances liées à la vie courante.

Analyse des concepts construits à partir Les nombres décimaux au cycle 3 Analyse des concepts construits à partir de ces situations Rappel de la terminologie employée dans la vie courante : L’expression « deux mètres cinquante » signifie-t-elle ? 2 mètres et cinquante mètres/décimètres/ centimètres… 2,50 mètres 2,5 mètres L’expression « deux mètres cinq » signifie-t-elle ? 2 mètres et cinq mètres/décimètres/ centimètres… 2,50 mètres, 2,5 mètres, 2,05 mètres,… (ou trois euros soixante) Certains élèves risquent de ne pas comprendre les implicites.

Analyse des concepts construits à partir Les nombres décimaux au cycle 3 Analyse des concepts construits à partir de ces situations Concepts erronés que les élèves risquent de construire : Un nombre décimal correspond à deux nombres entiers séparés par une virgule. Exemples : 2 mètres 50 = 2,50 m (3 € 60 = 3,60 €) 2 mètres 5 = 2,5 m (3 € 5 = 3,5 €) Conséquences Des erreurs classiques de comparaisons entre les nombres décimaux : 2,50 > 2,7 parce que 2 mètres 50 est plus long que 2 mètres 7.

Analyse des concepts construits à partir Les nombres décimaux au cycle 3 Analyse des concepts construits à partir de ces situations Concept erroné que les élèves risquent de construire : Un nombre décimal est un nombre qui s’écrit à l’aide d’une virgule. Conséquence Une telle construction de concept posera des problèmes de compréhension sur l’inclusion des ensembles.

Analyse des concepts construits à partir Les nombres décimaux au cycle 3 Analyse des concepts construits à partir de ces situations Concept erroné que les élèves risquent de construire : Un nombre décimal ne possède, au maximum, que 2 chiffres après la virgule. Dans les mesures de longueurs comme pour la monnaie, on n’utilise que rarement plus de 2 chiffres après la virgule. Conséquence Les élèves ne reconnaissent pas des nombres tels que 6,785 comme un nombre décimal.

Analyse des concepts construits à partir Les nombres décimaux au cycle 3 Analyse des concepts construits à partir de ces situations Concept erroné que les élèves risquent de construire : Il est impossible « d’intercaler » un nombre décimal entre deux nombres décimaux « proches ». Exemple : on ne peut trouver un nombre décimal à intercaler entre 7,56 € et 7,57 €. Conséquence On ne lève pas une des grandes difficultés concernant les décimaux qui est de comprendre qu’entre deux décimaux on peut toujours en intercaler un autre. En fait, il est possible d’intercaler une infinité de décimaux entre deux nombres. En fait, il est possible d’intercaler une infinité de décimaux entre deux nombres. Les élèves ne peuvent concevoir cela à partir de leur connaissance des entiers naturels : entre deux entiers naturels il n’est pas possible d’intercaler un autre entier naturel.

Analyse des concepts construits à partir Les nombres décimaux au cycle 3 Analyse des concepts construits à partir de ces situations Remarques L’étude des nombres décimaux est indissociable de celle des grandeurs et mesures. Cependant, il est préférable de faire ce lien, entre écritures décimales et expressions de mesure avec plusieurs unités, plus tard dans la progression. Cela permettra aux élèves de comprendre que 5,07 m, c’est 5 m 7 cm parce que le « 7 » de 5,07 m représente 7 centièmes d’unité (7 centièmes de m soit 7 cm). Le fait qu’il soit préférable de ne pas aborder les nombres décimaux à partir d’expressions de mesure ne signifie pas qu’il ne faille pas faire le lien.

Des indications pour introduire les décimaux Les nombres décimaux au cycle 3 Les écritures à virgule prennent du sens en étant mises en relation avec les sommes de fractions décimales. Exemple d’égalités qui peuvent être utilisées : 956/10 = 950/10 +6/10 = 95 + 6/10 = 95 + 0,6 = 95,6 La compréhension de la signification des chiffres après la virgule se fait directement en référence à un partage égalitaire. Exemple Un partage en dix parties égales d’une unité donnée : 956/10

Des indications pour introduire les décimaux Les nombres décimaux au cycle 3 Il s’agit de faire comprendre que la valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que celle du même chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du même chiffre immédiatement à sa droite. Cela est vrai aussi bien pour la partie entière (à gauche de la virgule) que pour la partie décimale (à droite de la virgule).

Des indications pour introduire les décimaux Les nombres décimaux au cycle 3 Historiquement, les fractions décimales ont été utilisées avant les nombres décimaux. On doit à Stevin (16ème siècle) d’avoir cherché à simplifier l’écriture de nombres sous forme de fractions décimales. Après diverses tentatives, l’écriture avec une virgule s’est imposée 4,708 devenant une autre manière d’écrire le nombre 4 +7/10 +8/1000 Ce bref rappel permet d’insister sur l’importance qu’il y a pour la compréhension des nombres décimaux de relier écriture à virgule et écriture à l’aide de fractions décimales De prolonger aux écritures à virgule les principes de la numération de position étudiée sur les entiers

Des indications pour introduire les décimaux Les nombres décimaux au cycle 3 Au CM1, introduire une séquence dans cet ordre: Séances sur les fractions simples Séances sur les fractions décimales Faire systématiquement oraliser les écritures décimales et s’appuyer sur la désignation orale pour la compréhension 438/100 = 400/100 + 30/100+ 8/100 = 4 + 3/10 + 8/100 = 4,38 Quatre unités trois dixièmes et huit centièmes Quatre unités et trente huit centièmes … Séances sur les nombres décimaux. Dans le contexte d’apprentissage , la lecture 4,38 est à éviter dans la mesure où elle masque la signification de l’écriture. Synthèse et tableau de numération 19

Des indications pour introduire les décimaux Les nombres décimaux au cycle 3 Un tableau du type suivant peut également servir de référence pour chercher à comprendre une écriture à virgule (le tableau est donné et les élèves sont invités à y écrire les nombres travaillés). Roland Charnay-site TFM-http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/aTFM.asp 20