L’automatique, une démarche de projet Un peu d’histoire… Longtemps la technique des asservissements est pratiquement demeurée l’apanage des mécaniciens. À l’image du régulateur à boules inventé par James Watt en 1790, les régulateurs étaient réalisés par des systèmes de conception exclusivement mécaniques et bien entendu, les réglages relevaient de l’empirisme et de l’expérimentation.

L’automatique une approche moderne C’est par le développement de l’électronique et en particulier par l’intégration des calculateurs numériques (calcul opérationnel) que cette discipline a acquis ses lettres de noblesse tant sur le plan des réalisations que sur le plan théorique en s’appuyant sur les travaux de mathématiciens français tels Cauchy, Fourier et Laplace. Pendant de nombreuses années, les régulateurs se sont limités à la classique structure « PID » car toutes les solutions plus élaborées étaient difficiles à réaliser industriellement.

L’automatique aujourd’hui Aujourd’hui, l’évolution de l’électronique vers des solutions numériques qui se traduisent par l’intégration de calculateurs numériques puissants, la création de langages de haut niveau maîtrisant les problèmes liés  au temps « réel », voire une approche entièrement graphique de la programmation, offrent un développement quasiment sans limite des méthodes modernes de l’automatique. Ces méthodes modernes s’imposent sur le plan de la commande par la réalisation de régulateurs prédictifs, de logique floue ou de commandes neuronales, ainsi que sur l’identification en ligne des différents paramètres des modèles de connaissance représentant le comportement des systèmes

L’automatique et les modèles Avant toutes choses, il est indispensable d’établir un modèle comportemental du système à commander. Ceci nécessite l’écriture d’un modèle de connaissance, ou bien d’un modèle de comportement (appelé boîte noire) ou de tous modèles intermédiaires (boîtes grises).

Un modèle de connaissance Les modèles de connaissance sont élaborés à partir des lois de la physique ou de la chimie. L’objectif étant d’expliciter le fonctionnement d’un système par une relation mathématique. Ces modèles peuvent être assez complexes et comporter de nombreux paramètres à identifier

Un modèle de comportement Les modèles de comportement sont des modèles linéaires, dont la validité reste limitée à de petites variations autour d’un point de fonctionnement, ils se concrétisent par des fonctions de transfert. Les modèles intermédiaires sont des modèles hybrides souvent issus d’une simplification ou d’une linéarisation des modèles de connaissances.

L’automatique en CPGE Dans le cadre de l’enseignement des S2I en classes préparatoires aux grandes écoles, nous développons plus largement les domaines d’application liés aux systèmes « mécatroniques » associant les disciplines fondamentales telles que la mécanique et le génie électrique.

Modélisation des systèmes Cette phase se décompose en trois étapes : définir les phénomènes physiques du système à commander, faire le bilan des variables mesurables et identifier l’origine des phénomènes principaux (hydraulique, électrique, mécanique). L’écriture des équations du modèle peut se présenter sous différentes formes, nous en présenterons deux, l’une adaptée à la description des systèmes hydrauliques et l’autre adaptée aux systèmes électro-mécaniques.

les systèmes hydraulique ou chimique Les équations de bilan tenant compte des flux d’entrée et de sortie associés à la conservation des grandeurs semblent bien adaptées : On peut faire ce bilan sur un instant dt :

Pour écrire les équations de bilan, nous ferons un certain nombre d’hypothèses, le mélange des fluides d’entrée est instantané, le fluide de sortie s’écoule par gravité (Bernouilli) : Compte tenu des hypothèses, pendant un instant dt, le système ne génère rien ni ne consomme, les variations du volume sont uniquement liés aux flux : Si l’on suppose que la fluidité ne dépend pas de la concentration :

L’apport en produit dissous pendant un instant dt, par les fluides d’entrée i s’écrit : Dans ces conditions le bilan relatif aux concentrations pendant un instant dt s’écrit : Ces équations traduisent le comportement du système, bien entendu ces deux équations sont non linéaires puisque nous avons des produits des grandeurs h et C qui dépendent du temps. Pour élaborer une loi de commande, il faudra simplifier ce modèle de connaissance pour aboutir à un modèle simplifié de comportement par « linéarisation » autour d’un point de fonctionnement.

Les systèmes mécaniques Dans le cas d’un système mécanique les équations du modèle de connaissance peuvent s’écrire à partir d’un bilan énergétique. Lorsque les forces qui s’appliquent sur le système dérivent d’un potentiel, les forces pour un axe q sont liées à la différence des énergies potentielle et cinétique L (lagrangien) suivant la relation : L = Énergie Cinétique – Énergie potentielle, D l’énergie dissipée par frottement et la dérivée de la longueur q en fonction du temps.

On peut illustrer cette relation par un exemple un peu plus complexe appelé « pendule inversé » et qui serait une première approche d’un système type « Segway »

L’objectif de ce système est d’agir sur la force pour maintenir dans la position verticale le bras de longueur 2L. Nous pouvons définir les énergies dans un référentiel dont l’origine est fixée sur l’axe de rotation de la barre ce référentiel est lié au référentiel par une translation z. Énergie cinétique du chariot : Énergie cinétique de la barre : Énergie potentielle du chariot nulle Énergie potentielle de la barre : Les coordonnées du centre de gravité de la barre sont : d’où la vitesse :

La différence des énergies cinétiques et potentielles peut s’écrire : Le système présente deux degrés de liberté l’un suivant l’axe x et l’autre suivant l’axe y. En appliquant la définition sur l’équation nous obtenons l’expression des deux « forces » Fx et Fy : Le modèle de connaissance conduit à des équations non-linéaires trigonométriques. Il sera nécessaire de linéariser les équations autour du point d’équilibre pour décrire un modèle comportemental en vue de la commande du système.

Simulation graphique du modèle de connaissance

L’intégration impose un régime statique sur la dérivée =0

Définition du modèle de comportement pour le système hydraulique Constat de la simulation: Soit Le modèle de comportement est obtenu par un développement limité autour du point de fonctionnement (indice 0): Soit: avec Modèle du 1er ordre avec 2 entrées et une constante de temps: t

Définition du modèle de comportement pour le système « Segway » La linéarisation implique de petites variations autour du point d’équilibre d’où une approximation des termes trigonométriques : Dans ces conditions, le modèle de comportement peut se réduire à : système du 2ème ordre instable (2 pôles réels >0) sans amortissement

Fonction de transfert isochrone Exemple équation différentielle du 1er ordre:

Représentation de la fonction de transfert

Une approche fréquentielle des comportements (fonctions d’approximation: Butterworth)

Dualité temps / fréquence et représentation complexe

Fonction d’approximation Butterworth ordre 3

Réglage de la boucle de courant à l’aide d’un correcteur PI Cahier des charges: Erreur statique nulle Réponse indicielle optimisée (Butterworth)

Calcul des deux coefficients du correcteur Le correcteur PI: Il reste à définir : Sera calculé en identifiant la fonction de transfert à un Butterworth ordre 2

Réponse indicielle du système Réglé

Réglage d’un système possédant un pôle dominant ou une intégration naturelle Comment concilier les réponses indicielles de la consigne et de la perturbation ? Dans le cas d’un pôle dominant t ou d’une intégration naturelle, la fonction de transfert en boucle ouverte peut s’écrire: Le correcteur PI est calculé par la méthode de « l’optimum symétrique » (Butterworth ordre 3)

Calcul des deux coefficients du correcteur 1 Soit 3 conditions: 2 Un filtre de référence 3

Réponse indicielle du système Réglé

Régulation de la vitesse Vis-à-vis de la régulation de vitesse, la boucle de courant est assimilée à un système du 1er ordre (pôle de commande)

Réponse du système réglé

Un logiciel de simulation un lien entre le modèle et le système