COMPRENDRE : Lois et modèles Chapitre 5 : Cinématique et dynamique newtoniennes

I-Rappels Référentiel : Solide de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d’un système. Remarque: Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié Dans ce référentiel il faut : z k Un repère d’espace : Noté (O; i , j , k ). Un repère de temps : O Il correspond à une « horloge » pour laquelle la date t=0 correspond souvent à l’instant auquel le mouvement débute. j y i x

II-Cinématique OG = x . i + y . j + z . k x y z Vecteur position : La cinématique est l’étude du mouvement indépendamment des causes qui le provoquent Vecteur position : A la date t, la position d’un point G est donnée par le vecteur OG Tel que : OG = x . i + y . j + z . k Ou encore écrit comme cela : O G j x y i z k OG x y z

𝑽 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏 𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛= 𝐺1𝐺3 𝑡3−𝑡1 𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛= ∆ 𝑂𝐺 ∆𝑡 Vecteur vitesse moyenne : Le vecteur vitesse donne la direction, le sens et la valeur de la vitesse à un instant donné. Vecteur vitesse au point G2 ? 𝑽 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏 𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛= 𝐺1𝐺3 𝑡3−𝑡1 𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛= 𝐺1𝑂+𝑂𝐺3 𝑡3−𝑡1 = 𝑂𝐺3−𝑂𝐺1 𝑡3−𝑡1 O 𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛= ∆ 𝑂𝐺 ∆𝑡 La vitesse moyenne est égale à la variation du vecteur position durant la durée du parcours. Donc

𝑣 = lim ∆𝑡→0 𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 𝑣 (𝑡)= 𝑑( 𝑂𝐺 ) 𝑑𝑡 m m.s-1 s x v (t) y z Vecteur vitesse instantanée : Quand l’écart entre deux positions successives est de plus en plus petit alors on pourra écrire que Δt 0. On définit alors le vecteur vitesse instantanée comme cela: On écrira alors : Les coordonnées de ce vecteur s’écrivent comme cela : Ou encore comme cela : 𝑣 = lim ∆𝑡→0 𝑉 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 m m.s-1 𝑣 (𝑡)= 𝑑( 𝑂𝐺 ) 𝑑𝑡 s v(t) = i + j + k dx ___ dt dy dz . x . v (t) y . z

𝑎 (𝑡)= 𝑑( 𝑣 (𝑡)) 𝑑𝑡 𝑣= 𝑣 = 𝑣𝑥²+𝑣𝑦²+𝑣𝑧² m.s-1 m.s-2 s Vecteur vitesse instantanée : La norme du vecteur vitesse se calcule avec la formule suivante : 𝑣= 𝑣 = 𝑣𝑥²+𝑣𝑦²+𝑣𝑧² Vecteur accélération: De même que le vecteur vitesse est égal à la dérivée du vecteur position, le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse. m.s-1 m.s-2 𝑎 (𝑡)= 𝑑( 𝑣 (𝑡)) 𝑑𝑡 s

x a (t) y z Vecteur accélération: .. .. .. .. .. .. Les coordonnées de ce vecteur s’écrivent comme cela : Ou encore comme cela : .. .. .. a(t) = x i + y j + z k .. x .. a (t) y .. z

𝑃 =𝑚. 𝑣 Vecteur quantité de mouvement: Le vecteur quantité de mouvement d’un système ponctuel de masse m est le produit de sa masse par son vecteur vitesse Ou encore comme cela : 𝑃 =𝑚. 𝑣

III-Etude de quelques mouvements Voir TP Mouvement rectiligne uniforme: Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement rectiligne uniforme si son vecteur vitesse est constant (même valeur, même direction, même sens). Son vecteur accélération est égale au vecteur nul. 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 0 Mouvement rectiligne uniformément varié: Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement rectiligne uniformément varié si son vecteur accélération est constant (même valeur, même direction, même sens).

𝑎= 𝑣² 𝑅 soit 𝑎 = 𝑣² 𝑅 . 𝑁 Mouvement circulaire uniforme: Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est un arc de cercle de rayon R et la valeur de sa vitesse V est constante. Son vecteur accélération est toujours orienté vers le centre du cercle (accélération centripète) et a pour valeur: 𝑎= 𝑣² 𝑅 soit 𝑎 = 𝑣² 𝑅 . 𝑁 Avec 𝑁 , le vecteur normal de la base de Frenet

𝑎 = 𝑣² 𝑅 . 𝑁 + 𝑑𝑣 𝑑𝑡 . 𝑇 Mouvement circulaire non uniforme: Dans un référentiel donné, un système ponctuel a un mouvement circulaire non uniforme si sa trajectoire est un arc de cercle de rayon R et la valeur de sa vitesse V varie. Son vecteur accélération est quelconque et a pour expression: 𝑎 = 𝑣² 𝑅 . 𝑁 + 𝑑𝑣 𝑑𝑡 . 𝑇 Avec 𝑁 , le vecteur normal et 𝑇 , le vecteur tangentiel de la base de Frenet Remarque: on peut aussi avoir, r.2 à la place de v2/r avec  la vitesse angulaire.

IV-Les lois de Newton 1ère loi de NEWTON: Aussi appelée « PRINCIPE D’INERTIE » : Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse d’un système ponctuel est constant alors la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle. Ou aussi: Si la somme des forces qui s’appliquent à un système ponctuel est nulle alors il est soit au repos soit en mouvement rectiligne uniforme, dans un référentiel galiléen.

𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝒅(𝒎. 𝒗 ) 𝒅𝒕 𝑭 𝒆𝒙𝒕=𝒎 . 𝒅( 𝒗 ) 𝒅𝒕 =𝒎 . 𝒂 2nd loi de NEWTON: Aussi appelée « PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE » : Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système ponctuel est égale à la variation par rapport au temps de son vecteur quantité de mouvement. 𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝒅(𝒎. 𝒗 ) 𝒅𝒕 Si la masse se conserve au cours de l’étude, on pourra écrire alors : 𝑭 𝒆𝒙𝒕=𝒎 . 𝒅( 𝒗 ) 𝒅𝒕 =𝒎 . 𝒂

𝑭 𝑨/𝑩 = - 𝑭 𝑩/𝑨 3ème loi de NEWTON: Aussi appelée « PRINCIPE D’INTERACTION » : La force exercée par un corps A sur un corps B est exactement égale à la force exercée par ce corps B sur le corps A, mais de sens opposés. 𝑭 𝑨/𝑩 = - 𝑭 𝑩/𝑨 Conservation de la quantité de mouvement: Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un système est soumis à des forces qui se compensent alors on peut écrire: 𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝒅( 𝒑 ) 𝒅𝒕 = 𝟎 donc 𝒅( 𝒑 ) 𝒅𝒕 = 𝟎 Le vecteur quantité de mouvement se conserve Si ce système se sépare en 2 parties en interaction, les quantités de mouvement des 2 parties sont opposées car leur somme vectorielle est nulle. Voir TP : application à la propulsion par réaction