Morphologie mathématique (cas fonctionnel) Erosion, dilatation, ouverture et fermeture fonctionnelles, Filtres alternés séquentiels, Ligne de partage des eaux.

Définition: 1 treillis est 1 ensemble ordonné (E,) tel que toute partie de E admette 1 borne supérieure et 1 borne inférieure  : réflexive (xE, xx), antisymétrique ((x,y)E2, xy et yx  x=y), transitive ((x,y,z)E3, xy et yz  xz ) plus petit des majorants plus grand des minorants Exemples de treillis: ensembliste des fonctions éléments parties de S f: S→R, ou f: S→Z relation d’ordre inclusion fg  x, f(x)g(x) borne supérieure union {fi}  x, ({fi})(x)= {fi(x)} borne inférieure intersection {fi}  x, ({fi})(x)= {fi(x)} involution complémentaire -f(x) (ou N-f(x) si f: S→[0,N]) opération qui est son propre inverse

Opérateurs de MM : fondements mathématiques principes fondamentaux Compatibilité avec les translations Compatibilité avec les homothéties Localité propriétés Croissance Extensivité / anti-extensivité Idempotence Dualité Indépendance par rapport à l’origine de l’espace: t, y(f+t)=y(f)+t Indépendance par rapport au paramètre d’échelle: l, y(lf)=ly(f)  E’ borné,  E borné / y(f)E’=y(fE)E’  f,g fg  y(f) y(g) Extensivité:  f, f y(f) y(y(.))=y(.) y et f duales :

Dilatation / érosion de fonctions Cas général (1D) g élément structurant Exemples : g([-2,-1,0,1,2])=[90,40,0,40,90] g([-2,-1,0,1,2])=[-40,-20,0,30,60]

Dilatation / érosion de fonctions Cas particulier g(x)=0 xRnD Exemple : Lien avec la MM binaire : rq : cas général : à partir des sous-graphes de f et de g Test d’ non    ysupport de g en x / f(y)=1  supsupport g en x{f}=1 Test d’   ysupport de g en x / f(y)=0  infsupport g en x{f}=1 -SG(f)={(x,y), y≥f(x)} complémentaire

Dilatation / érosion numériques : propriétés Identiques au cas binaire en remplaçant  par ,  par  et  par . Croissance par rapport à f (Anti-)Extensivité si 0support de g (Dé)Croissance / à g Adjonction Commutations

Dilatation / érosion de fct : exemples g / g(x)=0 xsupport de g dg(X) dg(dg(f)) eg(X) eg(eg(f)) dg(f) dg(dg(f)) eg(f) eg(eg(f))

Rehaussement de contraste g=boule 33, a = b = 0.45 g=boule 55, a = b = 0.45 g=boule 77, a = b = 0.45 g=boule 33, a = b = 0.5 g=boule 55, a = b = 0.5 g=boule 77, a = b = 0.5

Gradient et laplacien morphologiques Opérateurs différence d’opérateurs Gradient intérieur, grad. extérieur Gradient morphologique Laplacien morphologique Converg. vers gradient et laplacien euclidiens si élt struct = boule de rayon  0 g1(f) Dg1(f) g1 X g2(f) Dg2(f) g2

Ouverture / fermeture numériques Cas d’un élément structurant plan : Ouverture / fermeture = filtres morphologiques : comble ‘vallées’ écrête ‘pics’ g par boule 33 g par boule 55 g par boule 77

Ouverture / fermeture : propriétés Idempotence et analogue pour ouverture (démonstration similaire au cas binaire) Min-max : L’ouverture de f est le plus petit f’ de même érodé que f La fermeture de f est le plus grand f’ de même dilaté que f

Top hat / Top hat conjugué Opérateurs par différence : Top hat f-gg(f) - = Top hat conjugué jg(f)-f

Filtres alternés séquentiels : définition Filtre morphologique  Ouverture / fermeture sont des filtres morphologiques (gl)l≥0 une ‘granulométrie’ et (jl)l≥0 l’anti-granulométrie associée Filtres alternés : Propriétés : croissance, idempotence absorption

FAS Fl : propriétés Croissance : trivial car g et f sont croissantes Idempotence Absorption

FAS Gl : propriétés Croissance : trivial car g et f sont croissantes Idempotence Absorption

FAS : exemples F1 G1 F1,2 G1,2 F1,2,3 G1,2,3 Bruit gaussien s=20 Bruit impulsion 10%

Bruit gaussien s=20 + bruit impuls 5% FAS : exemples 2 Bruit gaussien s=20 F1,2 G1,2 Filtre gaussien s=3 Filtre médian 77 Bruit impulsion 10% Bruit gaussien s=20 + bruit impuls 5%

Dilatation / Erosion géodésiques numériques Dilatation : le sous-graphe de d/gl(f) est formé des points du sous- graphe de g reliés au sous-graphe de f par un chemin (i) non ‘descendant’, et (ii) de longueur  l. es unitaire  d/g (f)=inf(f+es, g) et d/gn(f) = d/g… d/g (f) Erosion : par dualité e/g (f)=N-d/g (N-f) n fois g f g f Dilatation géodésique de f / g Erosion géodésique de f / g

Reconstruction géodésique numérique r/g(f) = sup. des dilatations géodésiques de f dans g Swamping  la plus grande fonction  g possédant des maxima aux points marqués Reconstruction de g à partir de f g f Reconstruction par marqueurs (swamping) g

(a) Field n°7: WorldView1 data Application de r/g(f) Opérateur sharpness Variante de l’opérateur top-hat (a) (b) (c) Field n°105 (a) (b) (c) Field n°117 (a) Field n°7: WorldView1 data (b) Fg (d) Fb / pF=0.1 (e) Fb / pF=0.5 (c) Fb / pF=0.25

Ligne de partage des eaux : définition Postulat : image = une surface topographique / niveau de gris = altitude 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 Cas ‘facile’ Cas ‘difficile’

Ligne de partage des eaux : définition Ligne de partage des eaux (LPE) par immersion  à partir des minima régionaux mi, faire croître niveau des eaux progressivement de sorte que : (i) A chaque fois que la hauteur de l’eau atteint l’altitude d’un minimum régional, un nouveau bassin versant est créé (ii) A chaque fois que deux bassins se rencontrent, on empêche leur fusion en construisant une “digue”.  LPE = ensemble des digues.

LPE par immersion : algorithme On note B(i) l’image binaire des valeurs f ≤ i Initialisation : W-1= Pour i variant de 0 à imax {mi} = {x : x B(i), x CC{mi-1}} = W(i) = IZB(i)(W(i-1))  {mi} LPE = Les mj sont les nouveaux minima apparus à l’itération i Zones d’influence géodésiques des bassins versants obtenus à l’it. précédente dans l’image bin. courante des valeurs  i

LPE par immersion : algorithme (suite) Calcul de IZ géodésique : IZX(b) Initialiser IZX(b) à b Initialiser la liste L à X-b Tant que L non vide et |L| varie : Pour tout pixel de L : calculer s’il peut se rattacher à IZX(b) par épaississement si oui, mettre sa valeur à 1 dans IZX(f) et le retirer de L Ex. d’élément structurant pour l’amincissement Lskel Ebardage

LPE : exemple (© Course on Math. Morphology, J. Serra) Image initiale : 4 niveaux de gris minima pour i=0, B(0)=W(0) ; B(1)-B(0) W(1) : minima apparus à i=1  zones d’influence géodésiques de W(0) dans B(1) W(1) B(2)-W(1) W(2) : zones d’influence géod. de W(1) dans B(2) Ligne de partage des eaux superposée à l’image initiale

LPE : ex ‘Cas difficile’ 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8 2 1 5 4 7 6 9 3 8

Application LPE : détection des mottes Surface S1 Surface S2 Surface S3 Surface S4 LPE sur image fonction de l’inverse des altitudes et de la norme du gradient LPE S1 LPE S2 LPE S3 LPE S4 LPE Hiérarchie de contours Vérité

LPE : segmentation d’objets circulaires Image binaire initiale LPE sur image des distances inverses Image des distances (fausses couleurs) LPE sur image N-distances LPE sur opposé des distances reconstruites Image des distances reconstruite après diminution de 2 (fausses couleurs) sursegmentation  utiliser la reconstruction de l’image des distances diminuée d’une faible valeur sous l’image des distances attention: SKIZ sur image binaire positionne mal les frontières pour objets de taille différente

LPE : segment. d’1 image niv. de gris Utiliser l’image des gradients mais risque de sur-segmentation  Mise à zéro des faibles valeurs Gradient Math. Morphologique Gradient optimal de Canny-Deriche FAS ordre 1 FAS ordre 1 + mise à 0 si val.<15 a=2 + mise à 0 si val.<15 a=1 + mise à 0 si val.<15 LPE

LPE sur gradient filtré Exemple : Gradient morphologique, boule 33 8-connexité Fermeture sur gradient morphologique Reconstruction géodés. du gradient à partir du gradient abaissé de 90 #R = 18 #R = 10 #R = 18

LPE sur gradient  utiliser la technique du swamping pour imposer les minima locaux à considérer (et seulement ceux-là) Image égalisée filtrée FAS 33 8-connexité Gradient Morphologique Fermeture Swamping par seuillage sur gradient LPEs correspondante