Soit l'expression E = x² - 4 - (x + 2) (3x - 5). 1) Développer E. (Caen 95) Soit l'expression E = x² - 4 - (x + 2) (3x - 5). 1) Développer E. 2) Calculer E lorsque x = . 3) Factoriser x² - 4. En déduire une factorisation de E. 4) Résoudre l'équation (x + 2) (3 - 2x) = 0. 1 2 Solutions : 1) 2) 3) 4)

On donne l'expression E = x² - 4 - (x + 2)(3x - 5) Développer et réduire E. Analyse de l’expression Le produit est prioritaire : on met des crochets E = x² - 4 - (x + 2)(3x - 5) [ ] deux soustractions Un produit

E = x² - 4 - (x + 2)(3x - 5) [ ] = x² - 4 - 3x² [ ] - 5x + 6 x - 10 [ ] = x² - 4 - 3x² [ ] - 5x + 6 x - 10 - 3x² + 5x - 6 x + 10 = x² - 4 Pour enlever le crochet précédé du signe - il suffit de changer les signes à l’intérieur du crochet… puis on réduit E = -2x² - x + 6

2) Calculer E lorsque x =1/2 E = -2x² - x + 6 La valeur de x est décimale : il est donc plus facile de travailler avec x = 0,5 E = -2 x 0,5² - 0,5 + 6 = -2 x 0,25 - 0,5 + 6 = -0,5 - 0,5 + 6 = 5

On « voit » une identité remarquable 3) Factoriser x² - 4…. E = x² – 4 On « voit » une identité remarquable E = x² – 2² a² - b² E = (x - 2)( x + 2) = (a - b)( a + b) NB : pour vérifier la factorisation, on peut rapidement développer (x - 2)(x + 2) au brouillon. ….En déduire une factorisation de E.

E = x² - 4 - (x + 2)(3x - 5) = (x - 2)(x + 2) - (x + 2)(3x - 5) On utilise ce qui précède... = (x - 2)(x + 2) - (x + 2)(3x - 5) On reconnaît un facteur commun E = (x + 2 ) [( x - 2 ) - ( 3x – 5 )] Pour enlever la parenthèse précédée du signe - il suffit de changer les signes à l’intérieur de la parenthèse E = ( x + 2 ) [x - 2 - 3x + 5] E = ( x + 2 )[- 2x + 3] On peut vérifier en développant cette dernière expression… On retrouve E = -2x² + 3x - 4x +6 = -2x² - x + 6

L’équation (x + 2)(3 - 2x) = 0 admet deux solutions 4) Résoudre l'équation (x + 2)(3 - 2x) = 0 Pour qu’un produit soit nul il faut et il suffit que l ’un des facteurs soit nul. Donc (x + 2)= 0 ou (3 - 2x) = 0 3 - 2x = 0 -2x = -3 x = -3/-2 x = 1,5 x + 2 = 0 x = -2 L’équation (x + 2)(3 - 2x) = 0 admet deux solutions x = -2 et x = 1,5 on note parfois S = -2 ; 1,5