FACTORISATION Différence de carrés

Factorisation d’une différence de carrés. Une différence de carrés est le produit de facteurs conjugués. Facteurs conjugués Exemple : Les binômes (x - 5) (x + 5) sont appelés facteurs conjugués. Ils sont composés des mêmes termes : - dans un des binômes, les termes sont unis par le signe de soustraction; - dans l’autre binôme, les termes sont unis par le signe d’addition. Ces caractéristiques créent un polynôme particulier.

Ces caractéristiques créent un polynôme particulier. Effectuons le produit de ces deux facteurs conjugués. (x - 5) (x + 5) x (x + 5) – 5 (x + 5) x2 + 5x - 5x - 25 Les deux termes du milieu s’annulent. x2 + 0x - 25 x2 - 25 Le premier terme est un carré. Les deux termes sont unis par le signe de soustraction. Le dernier terme est un carré. C’est ce qu’on appelle une différence de carrés.

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. Oui. Ce terme est un carré. Soustraction. Ce terme est un carré. x2 - 169 Oui. Ce terme est un carré. Soustraction. Ce terme est un carré. x2 + 121 Non. Ce terme est un carré. Addition. Ce terme est un carré. 4x2 - 4 Oui. Ce terme est un carré. Soustraction. Ce terme est un carré.

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. Non. Ce terme n’est pas un carré. Soustraction. Ce terme est un carré. x2 - 11 Non. Ce terme est un carré. Ce terme n’est pas un carré. Soustraction. x2 - 1 Oui. Ce terme est un carré. Soustraction. Ce terme est un carré.

Détermine si ces expressions algébriques sont des différences de carrés. Oui. Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. Remarque : le binôme (x + 3) est affecté de l’exposant 2, il est donc un carré. (x - 2)2 - 16 Oui. Ce terme est un carré. Soustraction. Ce terme est un carré.

x2 - 64 x2 - 64 x Factoriser une différence de carrés Avant de factoriser un polynôme par la technique de la différence de deux carrés, il faut analyser l’expression à partir de ces critères : - les deux termes sont des carrés; - les deux termes sont unis par le signe de soustraction. x2 - 64 Oui. Ce terme est un carré. Soustraction. Ce terme est un carré. On extrait alors la racine carrée de chaque terme; x2 - 64 x 8 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués, donc (x – 8) (x + 8)

Factorise les différences de carrés suivantes. x2 - 169 = (x – 13) (x + 13) x2 - 121 = (x – 11) (x + 11) x2 - 1 = (x – 1) (x + 1) x3 - 64x = x (x2 – 64) = x (x – 8) (x + 8) 2x2 - 72 = 2 (x2 – 36) = 2 (x – 6) (x + 6) 4x2 - 4 Soit 4x2 - 4 = (2x – 2) (2x + 2) Soit 4x2 - 4 = 4 (x2 – 1) 4 (x – 1) (x + 1) 2 (x – 1) 2 (x + 1) 4 (x – 1) (x + 1)

(x + 3)2 - 64 Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. On extrait alors la racine carrée de chaque terme; (x + 3)2 - 64 (x + 3) 8 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués, (x + 3) - 8 (x + 3) + 8 donc En complétant les calculs : ( x + 3 - 8 ) ( x + 3 + 8 ) (x - 5) (x + 11)

(x - 2)2 - 16 Ce terme est un carré. Ce terme est un carré. Soustraction. On extrait alors la racine carrée de chaque terme; (x - 2)2 - 16 (x - 2) 4 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués, (x - 2) - 4 (x - 2) + 4 donc En complétant les calculs ( x - 2 - 4 ) ( x - 2 + 4 ) (x - 6) (x + 2)