La géométrie Les Angles T.HABIB

Les angles 1. Les angles adjacents 2. Les angles complémentaires & supplémentaires 3. Les angles opposés par le sommet 4. Les angles alternes-internes et correspondants 5. La somme des angles d’un triangle mode d'emploi

Les angles adjacents

y x C’est l’angle xÔy O est le sommet O [Ox) et [Oy) sont les côtés

y O x u v A On donne un autre angle uÂv

v A u y O x v A u Déplaçons l’angle uÂv

v A u y O x xÔy et uÂv ont-ils le même sommet? NON

y O x v A u Déplaçons l’angle uÂv

y x u v O A OUI NON xÔy et uÂv ont-ils le même sommet? xÔy et uÂv ont-ils un côté commun? NON

v A u y O x Déplaçons l’angle uÂv

xÔy et uÂv sont-ils situés de part et d’autre du côté commun ? NON xÔy et uÂv ont-ils le même sommet? OUI xÔy et uÂv ont-ils un côté commun? OUI

y O x v A u Déplaçons l’angle uÂv

xÔy et uÂv sont-ils situés de part et d’autre du côté commun ? OUI xÔy et uÂv ont-ils le même sommet? OUI xÔy et uÂv ont-ils un côté commun? OUI

y O x v A u xÔy et uÂv ont le même sommet, un côté commun, sont situés de part et d’autre du côté commun : xÔy et uÂv sont adjacents.

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Les angles complémentaires et supplémentaires

y x O

On dit que les angles sont complémentaires. z y xÔy = 90° x xÔy = xÔz + zÔy O xÔz et zÔy On dit que les angles sont complémentaires.

t u 37° v s O A

t u 37° 53° v s O A

Deux angles dont la somme est 9O° sont complémentaires. 37° 53° v s O uÂv + sÔt = 53° + 37° uÂv + sÔt = 90° uÂv et sÔt sont complémentaires. A Deux angles dont la somme est 9O° sont complémentaires.

x O y

On dit que les angles sont supplémentaires. z x O xÔy = 180° xÔz xÔy = + zÔy y xÔz et zÔy On dit que les angles sont supplémentaires.

s u 37° t A O v

s u 37° t 143° A O v

Deux angles dont la somme est 180° sont supplémentaires. 37° t 143° A O uÂv + sÔt = 143° + 37° uÂv + sÔt = 180° uÂv et sÔt sont supplémentaires. v Deux angles dont la somme est 180° sont supplémentaires.

Pour ne pas confondre, souviens-toi… Phonétiquement : [k] comme complémentaire et quatre-vingt-dix [s] comme supplémentaire et cent quatre-vingts

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Angles opposés par le sommet

y v O u x (xy) et (uv) sont sécantes en O.

xÔu et vÔy sont des angles xÔu et vÔy ont le même sommet O, v O u les côtés de xÔu sont dans le prolongement des côtés de vÔy. x xÔu et vÔy sont des angles opposés par le sommet.

y v O u x xÔu et vÔy sont symétriques par rapport à O, donc xÔu = vÔy 2 angles opposés par le sommet sont égaux.

y v O u Il existe 2 autres angles opposés par le sommet uÔy et vÔx. x

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Angles sur 2 droites parallèles coupées par une sécante

x’ y’ x y s s’ A U (xx’) et (yy’) sont parallèles coupées par la sécante (ss’) y aux points A et U. s

x’ s’ y’ A A x de sommets A et U U U d’un côté y s Il existe des angles x de sommets A et U U U d’un côté et de l’autre de la sécante y s

à l’intérieur des parallèles x’ s’ y’ A A Il existe des angles x de sommets A et U U U d’un côté et de l’autre de la sécante y s à l’intérieur des parallèles

xÂs et s’Ûy’ sont alternes-internes U d’un côté et de l’autre de la sécante autre U y à l’intérieur des parallèles intérieur s xÂs et s’Ûy’ sont alternes-internes

2 angles alternes-internes sont égaux. y’ A A I est le milieu de [AU] Dans la symétrie de centre I x I A U (ss’) (ss’) U U (xx’) (yy’) y xÂs s’Ûy’ s 2 angles alternes-internes sont égaux.

Il existe 2 autres angles alternes-internes y’ A A x U U Il existe 2 autres angles alternes-internes y s sÂx’ = yÛs’

x’ s’ y’ A A x sont du même côté de U l’un est entre les y s s’Âx’ et s’Ûy’ x sont du même côté de la sécante U l’un est entre les parallèles, l’autre non y s s’Âx’ et s’Ûy’ sont correspondants.

Il existe 4 paires d’angles correspondants y’ A A Il existe 4 paires d’angles correspondants x U s’Âx’ = s’Ûy’ y xÂs = yÛs s xÂs’ = yÛs’ x’Âs = y’Ûs

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La somme des angles d’un triangle

A B C ABC est un triangle quelconque. Séparons les trois angles … Puis recollons les morceaux pour que les angles soient adjacents. A B C

A B B C A C ABC est un triangle quelconque. Séparons les trois angles … Puis recollons les morceaux pour que les angles soient adjacents. A B B C A C

A B B C A C ABC est un triangle quelconque. Il semble que la somme des angles est 180°…. A B B C A C

A B B C A C ABC est un triangle quelconque. Il semble que la somme des angles est 180°…. Nous allons le PROUVER. A B B C A C

(d) A B C ABC est un triangle quelconque. (d) est la droite parallèle à (BC) qui passe par A (d) A B C

(AB) est une sécante qui coupe les parallèles (d) et (BC)

Les angles EAB et ABC sont alternes internes donc ils ont la même mesure.

(AC) est une sécante qui coupe les parallèles (d) et (BC).

Les angles FAC et ACB sont alternes-internes donc ils ont la même mesure

E (d) (d) (d) A B F C FAE = 180° FAE = FAC + CAB + BAE FAE = ACB + CAB + ABC C

On a prouvé que : la somme des angles du triangle ABC est 180°. F FAE = ACB + CAB + ABC C FAE = 180°

fin

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