La fonction VALEUR ABSOLUE

Définition La valeur absolue d’un nombre x rend positif ce nombre. On note | x | la valeur absolue de x . Exemples : |- 2 | = 2 |- 8 | = 8 | 12 | = 12

Équations et graphique f(x) = | x | (forme générale de BASE) f(x) = a | b ( x – h ) | + k (forme générale TRANSFORMÉE) f(x) = a | x – h | + k (forme CANONIQUE) Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet. a = - 2 Exemple : f(x) = - 2 | 3 ( x – 1 ) | + 4 b = 3 h = 1 a b h k k = 4

Équations et graphique f(x) = | x | (forme générale de BASE) x f(x) car f(0) = | 0 | = 0 1 1 car f(1) = | 1 | = 1 2 2 car f(2) = | 2 | = 2 3 3 car f(3) = | 3 | = 3 -1 1 car f(-1) = | -1 | = 1 -2 2 car f(-2) = | -2 | = 2 -3 3 car f(-3) = | -3 | = 3

Équations et graphique 1 f(x) = | x | (forme générale de BASE) x f(x) 1 2 3 -1 -2 -3 Sommet Sommet (0, 0)

Équations et graphique 1 f(x) = 2 | x | (forme générale TRANSFORMÉE où a = 2) x f(x) Sommet 1 2 2 4 3 6 Sommet (0, 0) -1 2 -2 4 -3 6

Équations et graphique 1 f(x) = -2 | x | (forme générale TRANSFORMÉE où a = -2) x f(x) Sommet 1 -2 Sommet (0, 0) 2 -4 3 -6 -1 -2 -2 -4 -3 -6

Équations et graphique 1 f(x) = | 2 x | (forme générale TRANSFORMÉE où b = 2) x f(x) Sommet 1 2 2 4 3 6 Sommet (0, 0) -1 2 -2 4 -3 6

Équations et graphique 1 f(x) = | x – 2 | (forme générale TRANSFORMÉE où h = 2) x f(x) 2 1 1 2 Sommet 3 1 Sommet (2, 0) -1 3 -2 4 -3 5

Équations et graphique 1 f(x) = | x | + 2 (forme générale TRANSFORMÉE où k = 2) x f(x) 2 Sommet 1 3 Sommet (0, 2) 2 4 3 5 -1 1 -2 -3 -1

Équations et graphique 1 f(x) = 3 | x + 1 | – 2 (forme CANONIQUE) x f(x) 1 1 4 2 7 3 10 Sommet (-1, -2) -1 -2 Sommet -2 1 -3 4

Équations et graphique x = h (axe de symétrie) 1 (h, k) = sommet Pente = -a Pente = a a = pente de la branche DROITE du graphique - a = pente de la branche GAUCHE du graphique Équation de l’axe de symétrie : x = h Sommet (h, k)

Équations et graphique x = -1 (axe de symétrie) 1 Exemple #1 : f(x) = 3 | x + 1 | – 2 Pente = -3 Pente = 3 (h, k) = (-1, -2) (Sommet) a = 3 (Pente de la branche DROITE) - a = - 3 (Pente de la branche GAUCHE) x = -1 (Équation de l’axe de symétrie) Sommet (-1, -2)

Équations et graphique x = 1 (axe de symétrie) 1 Exemple #2 : f(x) = - 2 | x – 1 | + 4 (h, k) = (1, 4) (Sommet) Sommet (1, 4) a = - 2 (Pente de la branche DROITE) - a = 2 (Pente de la branche GAUCHE) x = 1 (Équation de l’axe de symétrie) Pente = 2 Pente = - 2

Forme canonique <---> générale Propriétés : | x | ≥ 0 | x | = |- x | Ex. : | 5 | = | -5 | | x • y | = | x | • | y | Ex. : | 5 • 2 | = | 5 | • | 2 | = | x | | y | Ex. : | 5 | | 2 | = Exemple #1 : Écrire l’équation f(x) = | 4x + 12 | + 6 sous la forme canonique. f(x) = | 4x + 12 | + 6 f(x) = | 4 (x + 3) | + 6 f(x) = | 4 | | x + 3 | + 6 f(x) = 4 | x + 3 | + 6

Forme canonique <---> générale Exemple #2 : Écrire l’équation f(x) = 3 | -2x – 6 | + 5 sous la forme canonique. f(x) = 3 | -2x – 6 | + 5 f(x) = 3 | -2 (x + 3) | + 5 f(x) = 3 |-2 | | x + 3 | + 5 f(x) = 3 • 2 | x + 3 | + 5 f(x) = 6 | x + 3 | + 5

Recherche de l’équation Exemple #1 : Déterminer l’équation sous la forme canonique de la fonction valeur absolue si le sommet est à (3, 5) et que la fonction passe par le point (5, 8). f(x) = a | x – h | + k (forme CANONIQUE) f(x) = a | x – 3 | + 5 car (h, k) = (3, 5) 8 = a | 5 – 3 | + 5 car la fonction passe par le point (x, y) = (5, 8) 8 = a | 2 | + 5 3 = a | 2 | 3 = 2 a f(x) = | x – 3 | + 5 3 2 3 = a 2 Réponse :

1- Illustrer la situation Exemple #2 : Déterminer l’équation sous la forme canonique de la fonction valeur absolue si elle possède un maximum à 6 et que les zéros de cette fonction sont -2 et 6. Axe de symétrie 1- Illustrer la situation 1 2- Trouver le sommet (h, k) Sommet (2, 6) (h, k) = ( ?, 6) Max Axe de symétrie : x = h 6 h est le point milieu des zéros h x1 + x2 2 = h -2 + 6 2 = - 2 6 h 2 = (h, k) = ( 2, 6) 3- Trouver le paramètre a f(x) = a | x – h | + k f(x) = a | x – 2 | + 6 en remplaçant (h, k) par (2, 6) 0 = a | 6 – 2 | + 6 en remplaçant (x, y) par (6, 0), un des deux zéros 0 = a | 4 | + 6 - 3 = a 2 f(x) = | x – 2 | + 6 - 3 2 Réponse :

Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = | x | – 6 . Esquisse du graphique 0 = | x | – 6 1 Sommet (0, -6) 6 = | x | - 6 = x 6 = x VALIDATION 0 = | - 6 | – 6 0 = | 6 | – 6 0 = 6 – 6 0 = 6 – 6 0 = 0 0 = 0 Réponse : x  { -6, 6 }

Trouver les zéros de f(x) = | 2x – 6 | – 10 . Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = | 2x – 6 | – 10 . 0 = | 2x – 6 | – 10 10 = | 2x – 6 | Esquisse du graphique f(x) = | 2x – 6 | – 10 - 10 = 2x – 6 10 = 2x – 6 f(x) = | 2 (x – 3) | – 10 - 4 = 2x 16 = 2x - 2 = x 8 = x 1 Sommet (3, -10) VALIDATION 0 = | 2(-2) – 6 | – 10 0 = | 2(8) – 6 | – 10 0 = | -4 – 6 | – 10 0 = | 16 – 6 | – 10 0 = | -10 | – 10 0 = | 10 | – 10 0 = 10 – 10 0 = 10 – 10 0 = 0 0 = 0 Réponse : x  { -2, 8 }

Exemple #3 : Résoudre | 2x – 10 | + 6 = 2 . | 2x – 10 | = -4 Impossible ! Esquisse du graphique 2x – 10 = 4 2x – 10 = -4 | 2x – 10 | + 6 = 2 2x = 14 2x = 6 | 2 (x – 5) | + 6 = 2 x = 7 x = 3 À rejeter À rejeter 1 Sommet (5, 6) y = 2 VALIDATON | 2(7) – 10 | + 6 = 2 | 2(3) – 10 | + 6 = 2 | 14 – 10 | + 6 = 2 | 6 – 10 | + 6 = 2 | 4 | + 6 = 2 | -4 | + 6 = 2 4 + 6 = 2 4 + 6 = 2 10 ≠ 2 10 ≠ 2 Réponse : x  Ø

Exemple #4 : Résoudre | x – 2 | + 2x = 1 . | x – 2 | = 1 – 2x Esquisse du graphique x = -1 | x – 2 | = 1 – 2x À rejeter 1 Sommet (2, 0) y = 1 – 2x VALIDATON | (-1) – 2 | + 2(-1) = 1 | (1) – 2 | + 2(1) = 1 | -3 | + -2 = 1 | -1 | + 2 = 1 3 + -2 = 1 1 + 2 = 1 1 = 1 3 ≠ 1 Réponse : x  { -1 }

Résolutions d’inéquations 1 Sommet (0, 0) Esquisse du graphique y = 3 Exemple #1 : Résoudre | x | > 3 . | x | = 3 Commençons par résoudre : x = -3 x = 3 Sur une droite numérique : -3 3

Résolutions d’inéquations 1 Sommet (0, 0) Esquisse du graphique y = 3 Exemple #1 : Résoudre | x | > 3 . Sur une droite numérique : -3 3 Déduire l’ensemble-solutions en validant une valeur choisie au hasard. Par exemple, validons si x = 0 fait partie de l’ensemble-solutions : | 0 | > 3 0 > 3 FAUX, donc x = 0 ne fait pas partie de l’ens.-solns. Réponse : x  - ∞ , -3 [ U ] 3, + ∞

Exemple #2 : Résoudre | x – 7 | – 4 < -2 . | x – 7 | – 4 = -2 Commençons par résoudre : | x – 7 | – 4 = -2 | x – 7 | = 2 1 Sommet (7, -4) Esquisse du graphique y = -2 x – 7 = -2 x – 7 = 2 x = 5 x = 9 Sur une droite numérique : 5 7 9 Déduire l’ensemble-solutions en validant une valeur choisie au hasard. Par exemple, validons si x = 7 fait partie de l’ensemble-solutions : | 7 – 7 | – 4 < -2 | 0 | – 4 < -2 Réponse : x  ] 5, 9 [ 0 – 4 < -2 – 4 < -2 VRAI, donc x = 7 fait partie de l’ensemble.-solns.

Exemple #3 : Résoudre 2| x – 3 | – 4 ≤ 0 . 2| x – 3 | – 4 = 0 Commençons par résoudre : 2| x – 3 | – 4 = 0 2| x – 3 | = 4 | x – 3 | = 2 1 Sommet (3, -4) Esquisse du graphique x – 3 = -2 x – 3 = 2 x = 1 x = 5 Sur une droite numérique : 1 3 5 Déduire l’ensemble-solutions en validant une valeur choisie au hasard. Par exemple, validons si x = 3 fait partie de l’ensemble-solutions : 2| 3 – 3 | – 4 ≤ 0 Réponse : x  [ 1, 5 ] 2| 0 | – 4 ≤ 0 – 4 ≤ 0 VRAI, donc x = 3 fait partie de l’ensemble.-solns.