ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires

Circuit électrique et loi de Kirchhoff 2W 3W B C A 2W i5 i1 i3 5W 2W V volts D i1 i2 i3 i4 i5 1W F E G 3W 4W 5 i1+5 i2 = V i3- i4- i5 = 0 2 i4-3 i5 = 0 i1- i2- i3 = 0 5 i2 - 7i3- 2 i4= 0 Algo i1, i2,i3, i4, i5 V Exemple : V = 10 (5 inconnues => 5 équations)

Circuit électrique et loi de Kirchhoff 2W 3W B C A 2W i5 i1 i3 5W 2W V volts D i1 i2 i3 i4 i5 1W F E G 3W 4W 5 i1+5 i2 = V i3- i4- i5 = 0 2 i4-3 i5 = 0 i1- i2- i3 = 0 5 i2 - 7i3- 2 i4= 0 Algo i1, i2,i3, i4, i5 V Exemple : V = 10 (5 inconnues => 5 équations)

Solution... A x = b x = A-1 b 5 i1+5 i2 = V i3- i4- i5 = 0 2 i4- 3 i5 = 0 i1 - i2 - i3 = 0 5 i2 - 7i3 - 2 i4 = 0 5 i1+5 i2 + 0 i3+ 0 i4+0 i5 = V 0 i1+0 i2 + i3- i4- i5 = 0 0 i1+0 i2 + 0 i3+ 2 i4- 3 i5 = 0 i1 - i2 - i3 + 0 i4+0 i5 = 0 0 i1+5 i2 - 7 i3 - 2 i4 +0 i5 = 0 i1 i2 i3 i4 i5 A x = b x = A-1 b b = [10;0;0;0;0] A = [5 5 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 5 -7 -2 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 2 -3] x = A\b 5 5 0 0 0 V 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 2 -3 = 0 1 -1 -1 0 0 0 0 5 -7 -2 0 0 A est une matrice, x et b sont des vecteurs

Equation de la chaleur Discrétisation x : position sur une barre de taille 1 u(x) : température à la position x f(x) : flux de chaleur à la position x Discrétisation h 0 h (N-1)h 1 x0 x1 … xk xk+1 … xN-1 xN

Solution A x = b Solution approchée : système linéaire de taille N-1 (matrice tridiagonale)

Approximation/interpollation: moindres carrés f(x) yi xi

Approximation au sens des moindres carrés Système linéaire de k équations et k inconnues

Posons le problème matriciellement

Posons le problème matriciellement Xa = f =

Posons le problème matriciellement =

Approximation : version matricielle Erreur d’approximation Système linéaire de k équations et k inconnues

Approximation : version matricielle Erreur d’approximation Matrice de Vandermonde (1735-1796) Système linéaire de k équations et k inconnues

n équations et m+1 inconnues Un problème de base Une nouvelle variable explicative Une nouvelle expérience (individu) n équations et m+1 inconnues Xa=y

Que se passe t’il si… ? On dispose d’un nouvel individu on dispose d’une nouvelle variable m=n m<n m>m on recopie deux individus on duplique une variable a X y =

Illustration : système de 2 équations à 2 inconnues x = 0:1; y = x; y2 = .5*x+.25; subplot(2,2,1);plot(x,y);hold on;plot(x,y2);hold off; xlabel('x_1') ylabel('x_2') title('solution unique') set(gca,'FontSize',14,'FontName','Times','XTick',[],'YTick',[],'Box','on'); y3 = x+.2; subplot(2,2,2);plot(x,y);hold on;plot(x,y3);hold off; title('pas de solution') une solution unique pas de solution une infinité de solution solution « triviale » : x1= x2 = 0 Les différents cas

Matrices Tableau de n lignes et k colonnes Remarque fondamentale : on ne peu rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente

Applications linéaires Noyau : u(x) = 0 image : s.e.v engendré par u(ei) rang = dim(Im(u)) propriétés injective (ker(u) = 0) surjective Im(u) = V Par identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice