Expressions numériques 1) Addition et parenthèses 2) Développement 3) Soustraction et parenthèses
1) Addition et parenthèses Lorsque des parenthèses sont précédées du signe « + » (et qu’elles ne sont pas suivies de « × » ou « : »), on peut supprimer ce « + » et ces parenthèses. Exemples : 4 + (7 + 2) = 4 + 7 + 2 a + (b + c) = a + b + c 4 + (-2 + a) = 4 – 2 + a = 2 + a 8 + (3y – 15 – 7y) = 8 + 3y – 15 – 7y = 8 – 15 + 3y – 7y = - 4y – 7 Mais 4 + (2 + 3 ) × 5 4 + 2 + 3 × 5 car la parenthèse est suivie de « × »
Pour tous nombres a, b et k, on a : 2) Développement a) k × (a + b) Pour tous nombres a, b et k, on a : k × (a + b) = k × a + k × b k × (a - b) = k × a - k × b On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et la soustraction. Exemples : 18 × 99 = 18 × (100 – 1) = 18 × 100 – 18 × 1 = 1 800 – 18 = 1 782 23 × 7,1 + 23 × 2,9 = 23 × (7,1 + 2,9) = 23 × 10 = 230
Application : Ces formules permettent de réduire des expressions. 8y (2 – 3y) = - 8y × 2 – (- 8y × 3y) = 24y² - 16y 4 (3y + 2) = 4 × 3y + 4 × 2 = 12y + 8 Application : Ces formules permettent de réduire des expressions. 3y + 8y = (3 + 8) y = 11 y 5a² - 3a² = 2a² 5a² + 2a – a² + 8a = 4a² + 10a 2b – 7b + 2b² - 5b² = - 5b – 3b²
a) (a + b) × (c + d) Exemples : Pour tous nombres a, b, c et d, on a : (a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd Il faut essayer de faire cette étape mentalement. Exemples : (4a – 3) (a + 2) = 4a × a + 4a × 2 – 3 × a – 3 × 2 = 4a² + 8a – 3a – 6 = 4a² + 5a - 6 (3y + 2) (6 + 4y) = 18y + 12y² + 12 + 8y = 12y² + 26y + 12
3) Soustraction et parenthèses Lorsque des parenthèses sont précédées du signe « - » (et qu’elles ne sont pas suivies de « × » ou « : »), on peut supprimer ce « - » et ces parenthèses à condition de multiplier l’expression entre parenthèses par « - 1 ». Exemples : 2a – (8a – 5) = 2a – 1 × (8a – 5) = 2a – 8a + 5 = - 6a + 5 5y + 6 – (-7y + 8) = 5y + 6 -1 × (-7y + 8) = 5y + 6 + 7y – 8 = 12y - 2