La fonction carrée est une fonction paire

Intéressons nous à la courbe représentative de la fonction carrée, que l’on appellera dans la suite f.

Soit M un point de Cf Si a est l’abscisse de M, alors f(a)=a² est son ordonnée.

Ce point symbolise la transformation de a en f(a)=a² par la fonction f (fonction carrée).

Soit N le symétrique de M par rapport à l’axe des ordonnées (Oy).

N a pour coordonnées (-a;f(a)) Or l’image de –a par f est f(-a) Mais f(-a) = (-a)2 = a2 = f(a) Finalement N a pour coordonnées (-a;f(-a)) Donc Le point N est sur Cf.

Si on fait varier a…

La parabole Cf d’équation y=x² est donc symétrique par rapport à (Oy).

Ces deux points caractérisent La parabole Cf d’équation y=x² est donc symétrique par rapport à (Oy). Car pour tout réel a, -aIR ; f(a)=f(-a) ; Ces deux points caractérisent les fonctions paires. La fonction carrée est une fonction paire.

La fonction carrée est donc une fonction paire, car : a. Elle est définie sur IR et son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 ; b. Pour tout xIR, f(-x) = (-x)² = x² = f(x) Ceci entraîne que Cf, c’est-à-dire la parabole d’équation y=x², est symétrique par rapport à (oy).

Alors Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Le cours dit : Définition : Une fonction f définie sur I est une fonction paire si et seulement si : I est symétrique par rapport à 0 : c’est à dire que pour tout x  I , -x I  (si un nombre réel est dans I alors son opposé est aussi dans I) b. Pour tout x  I, on a f(-x) = f(x). (Un nombre réel contenu dans I et son opposé ont la même image par une fonction paire) Soit Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé. Alors Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Retour sur le premier point de la définition : I est symétrique par rapport à 0 : signifie que pour tout x  I , -x I  (si un nombre réel est dans I alors son opposé est aussi dans I)

Retour sur le premier point de la définition : I est symétrique par rapport à 0 : pour tout x  I , -x I  (si un nombre réel est dans I alors son opposé est aussi dans I)

L’intervalle IR est-il symétrique par rapport à 0 ? Réponse : VRAI En particulier la fonction carrée, qui est définie sur IR, vérifie le premier point. L’intervalle [-5;4] est-il symétrique par rapport à 0 ? Réponse : Faux L’ensemble IR* est-il symétrique par rapport à 0 ? Réponse : VRAI L’ensemble [-7;-4] [4;7] est-il symétrique par rapport à 0 ? Réponse : Vrai