Diffraction Centre Régional du Métier, Education et de Formation-Fès Réalisé par : KHARCHACHI Adil HAJJI-MOUNIR Mohammed DAHBI Nabil Année de Formation : 2014/2015

DIFFRACTION Introduction La diffraction est un phénomène physique ondulatoire, dont les caractéristiques principales résident dans la perturbation de l'onde incidente par un obstacle de manière à s'écarter de la loi de la propagation rectiligne de la lumière. L'étude des phénomènes de diffraction est basée sur le principe de Huygens- Fresnel Cette étude est considérée comme l’analyse des interférences d'une infinité de vibrations élémentaires, issues d'une source secondaire appelée pupille

Mise en évidence du phénomène de diffraction Les dimensions de la pupille sont très grandes devant la longueur d’onde l, de l’onde incidente(F >> l ) l =0,5 mm F =10 mm  F =20000 l Pupille F Sp Écran (E) Sp: Sce ponctuelle monochromatique Diaphragme: D Tache lumineuse Entre Sp et l’écran (E) la lumière se propage en ligne droite (optique géométrique)

Les dimensions de la pupille sont de même ordre de grandeur que la longueur d’onde l, de l’onde incidente (F0  l ) Optique physique. Fo Sp Écran (E) Sp :Sce ponctuelle monochromatique Pupille diffractante Tache de diffraction On constate qu’en réduisant le diamètre F de la pupille, la tache lumineuse diminue aussi, jusqu’à une certaine valeur F0 comparable à la longueur d’onde l (F0  l ). Puis La tache s’élargie et s’entoure des anneaux plus ou mois lumineux, c’est le phénomène de diffraction (Optique physique)

Fo Sp Sp :Sce ponctuelle monochromatique Pupille diffractante La pupille diffractante se comporte donc comme une source secondaire émettant des vibrations lumineuses de même fréquence que la source primaire, et dans toutes les directions.

Principe de Huygens-Fresnel L'étude des phénomènes de diffraction s'appuie sur : Le Principe de Huygens Fresnel composé de deux parties complémentaires Énoncé de : Christian Huygens et l'autre de : Augustin Fresnel

Contribution de Huygens : La lumière, se propage par onde, chaque point Si atteint par cette onde se comporte comme une source secondaire, qui émet des "ondelettes" sphériques dans toutes les directions. S1 S1 S2 S2 S3 S3 Sce ponctuelle S4 S4 Onde sphérique Onde plane

L’amplitude émise par l’élément du surface dS s’écrit dA =k a0 dS Généralisation: Comme pour un point source Si , une surface élémentaire dS d’une surface d'onde (S) peut-être considérée comme source secondaire à condition de savoir relier l'amplitude des vibrations émises par l'élément de surface dS à son aire et à l'amplitude a0 de l'onde incidente. (S) dS L’amplitude émise par l’élément du surface dS s’écrit dA =k a0 dS où a0 est l’amplitude de l’onde incidente et k une constante de proportionnalité.

dA = k a0 exp(jf) dS Énoncé de Fresnel L'amplitude résultante complexe des vibrations diffractées par une pupille de surface (S) est la somme des amplitudes complexes des ondes émises par toute la surface (S) de la pupille dA = k a0 exp(jf) dS d S : (S) : A = Notons que cette complémentarité entre l’énoncé de Huygens et celui de Fresnel est bien vérifiée par l'expérience.

En résumé A = ∫S dA = ka0 ∫∫S exp[j(2p/l )(ax + by)] dxdy. L'intensité lumineuse résultante, diffractée par une ouverture (pupille) de surface (S) est considérée comme une répartition continue de sources secondaires, dont l’amplitude et la phase sont les mêmes que celles de l'onde incidente. A = ∫S dA = ka0 ∫∫S exp[j(2p/l )(ax + by)] dxdy. I = A2 = A A*

Expression de l'intensité diffractée par une ouverture quelconque On considère une ouverture diffractante de surface S éclairée par une source monochromatique de lumière parallèle, de longueur d'onde l

Soit dS un élément de surface défini autour d'un point M(x, y) de la pupille (l'ouverture), cet élément constitue donc une source élémentaire d'amplitude dA = k.a0.dS a0 étant l'amplitude de l'onde incidente et k est une constante de proportionnalité

L'onde diffractée par l'élément de surface dSd'airedxdy, dans la direction 𝑢 de cosinus directeurs aetbest en avance de phase f, par rapport à l'origineOtelle que f = 2pd/l Avec d = OH = OM . 𝑢 = ax + by

L'amplitude élémentaire complexe associée à dS s'écrit dA = ka0 ejf dxdy = k a0 ej(2p/l)(ax + by) dxdy L'amplitude résultante complexe s'obtient en intégrant sur toute la surface S de l'ouverture.Soit A = ∫S dA = ka0 ∫∫ ej( 2p/l )(ax + by) dxdy L'intensité lumineuse diffractée par l'ouverture est donc I = A2 = A A*

Les deux types de diffraction : Les phénomènes de diffraction peuvent être observés de deux manières différentes A - Diffraction à l'infini (où diffraction de Fraunhofer) La source lumineuse et l'écran d'observation (E) sont situés à des distances infinies de l'ouverture diffractante (pupille) L1 L2 S E Pupille diffractante

Réalisation pratique des conditions de Fraunhofer Pour obtenir des ondes planes parallèles au plan de l’ouverture on remplace la source à l’infini par une source ponctuelle placée au foyer d’une lentille convergente Lo. Les ondes qui parviennent au niveau de l’ouverture sont planes et cohérentes. De même pour projeter la figure de diffraction on peut placer perpendiculairement à l’axe de l’ouverture une lentille convergente L de distance focale f’, associée à un écran placé dans son plan focal.

B - Diffraction à distance finie (diffraction de Fresnel) La source lumineuse et l'écran (E) sont à des distances finies de la pupille L1 S E Pupille diffractante

Applications de la diffraction à l'infini A°- Diffraction à l'infini d'une ouverture rectangulaire La pupille diffractante est une ouverture rectangulaire de côtés a et b rapportés aux axes (Oxy) est éclairée par une source de lumière monochromatique de longueur d'onde l située à l'infini. Le phénomène de diffraction se produit à l'infini et il peut être observé dans le plan focal image d'une lentille convergente L placée derrière la pupille.

L'onde diffractée par un élément de surface dS(pris autour du point M(x,y)de l'ouverture), dans la direction 𝑢 de cosinus directeurs aetb est en avance de phase sur l'onde diffractée par le point origineO. Elles interfèrent en un point Pde l'écran. aetbsont petits : tgaa = X/f et tgbb = Y/f  X = a f et Y = b f. f étant la distance focale de la lentille (L).

dA = ka0 ejf dxdy = ka0ej(2p/l)(ax + by) dxdy Le déphasage f = 2p.OH/l = (2p/l) [ a x + by ] L'amplitude complexe diffractée par l’élément dS s'écrit dA = ka0 ejf dxdy = ka0ej(2p/l)(ax + by) dxdy D‘ou l‘amplitude résultante diffractée par toute la surface S A = ∫S dA = ka0 ∫∫Se j(2p/l)(ax + by) dxdy Ainsi donc l'intensité lumineuse diffractée par l'ouverture est I = IAI 2 = AA*

dA=ka0e jf dxdy= ka0 e j(2p / l)(ax + by) dxdy L'amplitude complexe associée à l’élément de surface dS s'écrit dA=ka0e jf dxdy= ka0 e j(2p / l)(ax + by) dxdy Et l'amplitude résultante en un point P sur un écran d’observation A =

dA = k a0 ejf dxdy = ka0 e j( 2p/l )(ax + by) dxdy La pupille diffractante est une ouverture rectangulaire de cotés (a,b) dS=dxdy, l’élément de surface dont l’amplitude élémentaire complexe est donnée par dA = k a0 ejf dxdy = ka0 e j( 2p/l )(ax + by) dxdy x Et l'amplitude résultante complexe, diffractée par la pupille s'obtient en intégrant sur toute la surface S de l'ouverture. A = ∫S dA = ka0 ∫∫ e j( 2p/l )(ax + by) dxdy. L'intensité lumineuse diffractée par l'ouverture est donc I = A2 = AA* dS dy dx b O y S a

En intégrant sur toute la surface S D’où l’intensité résultante diffractée par la pupille dans la direction Avec Io = A20=(k0 ab)2

Et en exprimant l’intensité I(a,b) en fonction de u et v, soit Dans le plan focal image de la lentille L et dans la direction on a Et en exprimant l’intensité I(a,b) en fonction de u et v, soit avec :

(K et N sont entiers non nuls) Les minima de I(u,v) sont données par I(u,v) = 0 (K et N sont entiers non nuls) Remarque : pour k = 0 et N=0  u = 0, et v = 0  I(u,v) = I0

Figure de diffraction d’une pupille rectangulaire(a,b) I(X,Y) Y X -2lf/a - lf/a o lf/a 2lf/a

B°- Cas d'une fente ( b >> a ) Une fente est une ouverture rectangulaire de largeur a très petite devant sa longueur b x a ≈ l et b >> a : pas de diffraction suivant l’axe Oy O y b S Constante : k’ a Il vient que : D’où l’Intensité résultante diffractée par une fente I(u)=IAI2=I0sinc2(u)

Pour calculer les positions des minima d’intensité, il faut que

Figures de diffraction I(X,Y) I(X) Io Io Y X -2lf/a - lf/a o lf/a 2lf/a -2lf/a - lf/a o lf/a 2lf/a X L Fig.1 : Figure de diffraction d’une ouverture rectangulaire S(a,b) Fig.2 : Figure de diffraction d’une fente de largeur a. En pratique, la mesure de la largeur L, du maximum principal de la figure de diffraction d’une fente L = 2lf/a, permet de calculer a, l où f.

maximum principal est q tel que Si on observe le spectre de diffraction à la distance D, de la fente F, l’angle sous lequel on voit la largeur du maximum principal est q tel que F F a a q q L L D D

Figure de diffraction d’une ouverture rectangulaire de cotés(a,b) Y b X a Pupille rectangulaire(a,b) Spectre de Diffraction Io I(X,Y) Y X -2lf/a - lf/a o lf/a 2lf/a

Diffraction par une fente de largeur a Maximums secondaires L Spectre de diffraction Pupille Fente Maximum principal de largeur : L=2lf /a I(X) Io X -2lf/a - lf/a o lf/a 2lf/a L

ou IF est l’intensité diffractée par une fente de largeur a Diffraction par deux fentes parallèles et identiques de même largeur a, distantes de l. Terme de diffraction Terme d’interférences Pupille diffractante I() = IF(1+cos) L’expression de l’intensité lumineuse diffractée par les deux fentes comprend un terme de diffraction des deux fentes (IF=I0sinc2(paa/l) ) et un terme d’interférence (1+cos) d’où l’expression de l’intensité I() = IF(1+cos) ou IF est l’intensité diffractée par une fente de largeur a

Composition du signal de diffraction de deux fentes identiques Figure de diffraction d’une fente de largeur a Figure d’interférence donnée par deux fentes fines Figure d’interférence modulée par la figure de diffraction d’une fente de largeur a

Figure de diffraction d’une ouverture circulaire de diamètre a Pupille diffractante circulaire Spectre de diffraction I(a) a

Diffraction de la lumière blanche par un rideau

Les réseaux Un réseau de est un dispositif composé d'une série de fentes parallèles (réseau en transmission), ou de rayures réfléchissantes (réseau en réflexion). Ces traits sont espacés de manière régulière, l'espacement est appelé le "pas" du réseau.

La théorie élémentaire du réseau Considérons un réseau de transmission dont 2 fentes consécutives sont distantes de a. Le réseau est éclairé par un faisceau parallèle monochromatique de longueur d'onde λ sous une incidence i. On s'intéresse au faisceau diffracté à l'infini dans la direction d'angle θ.

En général les rayons diffractés par les différentes fentes présentent un déphasage entre eux. On obtiendra un maximum d'intensité lumineuse pour :  en effet deux rayons consécutifs présenteront un déphasage multiple de 2π et il est évident, de proche en proche, que tous les rayons diffractés seront en phase entre eux (à un multiple de 2π près).

Les directions de ces maxima sont donc données par : Pour k = 0 on obtient le prolongement du faisceau incident. Pour k ≠ 0 la position des maximum dépend de la longueur d'onde λ : le réseau disperse la lumière. On obtient alors des franges très fines parallèles aux fentes du réseau et correspondant aux différentes valeurs de l'entier k.

Calcul de l’intensité diffracté Expression de l'intensité diffractée Soit N le nombre total de fentes du réseau. le déphasage "à l'infini" entre les ondes diffractées par deux fentes successives s’ écrit : avec Désignons par la vibration diffractée par la 1ère fente. la vibration diffractée par la pème fente. La vibration totale est :

transformons cette expression : soit encore : On remarque que l'amplitude totale a la phase de la vibration diffractée par la fente au milieu du réseau.

Première étude de la courbe I = I(φ) L'intensité diffractée dans la direction θ est : avec Première étude de la courbe I = I(φ) Si les fentes sont très fines, on peut supposer en première approximation, que l'amplitude diffractée est indépendante de θ; A2 est alors une constante. L'expression de I(φ) montre que: pour et

c'est-à-dire m entier ≠ 0 et non multiple de N. Pour φ = 2kπ (k entier), l'expression de I est indéterminée; étant donnée la périodicité de I(φ), on peut lever cette indétermination en examinant le comportement de I(φ) au voisinage de φ = 0. Près de φ = 0 et alors

Les variations de I(φ) pour N = 6 Les variations de I(φ) pour N = 6. Dans la pratique N est beaucoup plus grand.

Entre deux minima nuls on obtient des maxima secondaires (ou des maxima principaux, deux fois plus "larges", pour φ = k2π). Une discussion graphique de dI/dφ = 0 permet de montrer que ces maxima secondaires sont très peu marqués. On peut le vérifier en calculant I pour φ = 3π/N, c'est-à-dire pratiquement pour le premier maximum secondaire bordant le maximum principal correspondant à φ = 0 : si N >> 1, sin (3π/2N) = 3π/2N et

or N2A 2 représente l'intensité Io du maximum principal correspondant à φ = 0. Les maxima secondaires sont pratiquement invisibles, seuls seront observés les maxima principaux correspondant à :

En résumé on retiendra qu'éclairé par une radiation monochromatique de longueur d'onde λ, un réseau dont les fentes sont équidistantes de a donne des maxima principaux d'intensité dans les directions définies par: Ces maxima ont la position prévue par la théorie élémentaire et sont entourés par des maxima secondaires invisibles dans la pratique.

Merci pour votre attention