Journées Arithmétiques Recherches en arithmétique: est-ce vraiment bien utile? Michel Waldschmidt Université P. et M. Curie (Paris VI) Marseille, Jeudi 7 juillet Mise à jour: 8 juillet 2005

PYTHAGORE de Samos La vie, prince Léon, peut être comparée à ces jeux publics, car dans le vaste public assemblé ici se trouvent des gens qui sont attirés par le gain, d'autres par les espoirs de la renommée et de la gloire. Mais il y en a aussi qui sont venus pour observer et comprendre tout ce qui se passe ici. Il en va de même avec la vie. Certains sont menés par l'amour et la richesse, d'autres guidés aveuglément par la soif insensée de puissance et de domination, mais l'homme le plus noble se consacre à la découverte du sens et du but de la vie. Il cherche à découvrir les secrets de la nature. C'est celui que j'appelle un philosophe car, bien qu’aucun homme ne soit sage à tous égards, il peut aimer la sagesse comme clef des secrets de la nature.

« Monsieur Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels. »

Gustav Jacobi « Un philosophe tel que lui aurait dû savoir que le but unique de la Science, c’est l’honneur de l’esprit humain et que, sous ce titre, une question de nombres vaut bien une question du système du monde »

Eugène Wigner: « The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences » Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I (February 1960)

G.H. Hardy «Je n’ai jamais rien accompli d’ «utile». Aucune de mes découvertes n’a rien ajouté, ni vraisemblablement n’ajoutera, directement ou non, en bien ou en mal, aux agréments de ce bas monde»

E.C. Titschmarsch « Il peut n'y avoir aucun intérêt pratique à savoir que π est irrationnel, mais s'il est possible de le savoir, il serait intolérable de ne pas le savoir. »

Mathématiques Pures Mathématiques Appliquées Pierre Louis Lions

Number Theory in Science and Communication With application in Cryptography, Physics, Digital Information, Computing and Self-Similarity Manfred R. SCHROEDER Springer Series in Information Sciences 1985

Quelques applications de la théorie des nombres Cryptographie, sécurité des systèmes informatiques Transmission de données, codes correcteurs d’erreur Interface avec la physique théorique Musique, gammes Les nombres dans la nature

Combien avons-nous d’ancêtres? Suite: 1, 2, 4, 8, 16 … E n+1 =2E n E n =2 n

Généalogie des abeilles

Nombre de femelles au niveau n+1 = population totale au niveau n Nombre de males au niveau n+1 = nombre de femelles au niveau n Suite: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … F n+1 =F n + F n = = = = = = 1

Fibonacci (Leonardo di Pisa) Pise ≈1175, ≈1250 Liber Abaci ≈ 1202 F 0 =0, F 1 =1, F 2 =1, F 3 =2, F 4 =3, F 5 =5,… F 0 =0,

Modélisation d’une population Première année Troisième année Cinquième année Sixième année Deuxième année Quatrième année Couples adultesCouples jeunes Suite: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … F n+1 = F n + F n-1

Théorie des populations stables (Alfred Lotka) Si chaque couple engendre un couple les deux premières saisons seulement, alors le nombre de couples qui naît chaque année suit encore la loi de Fibonacci. Bouleau arctique Chaque branche en créé une autre à partir de sa seconde année d’existence dans les pays froids.

Suite exponentielle Première année Deuxième année Troisième année Quatrième année Nombre de couples: 1, 2, 4, 8, … E n =2 n

Représentation d’un nombre entier comme somme de puissances de 2 51=32+19, 32=2 5 19=16+3, 16=2 4 3=2+1, 2=2 1, 1=2 0 51=

Écriture d’un nombre en base dix 51 = 5  = 2   

Représentation d’un entier comme somme de nombres de Fibonacci N un entier positif F n le plus grand qui soit ≤ N Ainsi N= F n + reste qui est < F n-1 On recommence avec le reste Application: stratégie pour le jeu de Nim

Exemple F 1 =1 F 2 =1 F 3 =2 F 4 =3 F 5 =5 F 6 =8 F 7 =13 F 8 =21 F 9 =34 F 10 =55 F 11 =89 F 12 =144 F 13 =233 F 14 =377 F 15 =610 F 14 =987 F 15 =1597 F 1 =1 F 2 =1 F 3 =2 F 4 =3 F 5 =5 F 6 =8 F 7 =13 F 8 =21 F 9 =34 F 10 =55 F 11 =89 F 12 =144 F 13 =233 F 14 =377 F 15 =610 F 1 =1 F 2 =1 F 3 =2 F 4 =3 F 5 =5 F 6 =8 F 7 =13 F 8 =21 F 9 =34 F 10 =55 F 11 =89 F 12 =144 F 13 =233 F 14 =377 F 15 =610 51= F 9 + F 7 + F 4 + F 2 51= ?51= F F 9 =34 51= F F 7 =13 17= F 7 +4 F 4 =3 4= F 4 +1 F 2 =1 51= F 9 + F = F 9 + F 7 + F Dans cette représentation il n’y a pas deux nombres de Fibonacci consécutifs

La suite de Fibonacci F 1 =1, F 2 =1, F 3 =2, F 4 =3, F 5 =5, F 6 =8, F 7 =13 F 8 =21, F 9 =34, F 10 =55, F 11 =89, F 12 =144, F 13 =233, F 14 =377, F 15 =610, … La suite des nombres entiers 1=F 2, 2=F 3, 3=F 4, 4= F 4 + F 2, 5=F 5, 6= F 5 + F 2, 7= F 5 + F 3, 8= F 6, 9= F 6 + F 2, 10= F 6 + F 3, 11= F 6 + F 4, 12= F 6 +F 4 +F 2 …

La suite de Fibonacci F 1 =1, F 2 =1, F 3 =2, F 4 =3, F 5 =5, F 6 =8, F 7 =13, F 8 =21, F 9 =34, F 10 =55, F 11 =89, F 12 =144, F 13 =233, F 14 =377, F 15 =610,... Divisibilité (Lucas, 1878) Si b divise a, alors F b divise F a. Exemples: F 12 =144 est divisible par F 3 =2, F 4 =3, F 6 =8, F 14 =377 par F 7 =13, F 16 =987 par F 8 =21. Si b≥3, alors b divise a si et seulement si F b divise F a.

Logique mathématique: le dixième problème de Hilbert D. Hilbert (1900): donner un algorithme permettant de dire si une équation diophantienne admet une solution J. Robinson (1952) J. Robinson, M. Davis, H. Putnam (1961) Yu. Matijasevic (1970) La relation b=F 2a entre deux entiers a et b est une relation diophantienne à croissance exponentielle. Gilles Godefroy, L’aventure des nombres, Odile Jacob 1997

Équations Diophantiennes exponentielles Y. Bugeaud, M. Mignotte, S. Siksek (2004): Les seules puissances parfaites dans la suite de Fibonacci sont 1, 8 et 144. Équation F n =a b Inconnues n, a et b avec n≥1, a ≥1 et b ≥2.

Phyllotaxie Étude de la disposition des feuilles sur une tige et des mécanismes qui la gouvernent Nombre de pétales des fleurs: marguerites, tournesol,… Spirale formée par les épines (aubépines,…) Pommes de pins, ananas, choux Romanesco, cactus Croissance des feuilles de céleri

Université de Nice, Laboratoire Environnement Marin Littoral, Equipe d'Accueil "Gestion de la Biodiversité"

Phyllotaxie

Un joli rectangle

Ceci est un joli rectangle UNJOLIRECTANGLEUNJOLIRECTANGLE Un carré 1 1x 1+x=1/x

Le nombre d’Or Exercice: Fra Luca Pacioli (1509) De Divina Proportione

5=2 2 +1

Rectangle d’or  1 1/  1/  2 1/  3

Ammonite

Phyllotaxie Képler (1611) utilise la suite de Fibonacci pour étudier le dodécaèdre et l’icosaèdre, puis les symétries ternaires et d’ordre 5 des fleurs Stéphane Douady et Yves Couder Les spirales végétales La Recherche 250 (janvier 1993) vol. 24.

Pentagones et dodécagones réguliers nbor7.gif  =2 cos(  /5)

Pavages non périodiques de Penrose et quasi-cristaux

G/M= 

Diffraction des quasi-cristaux

Géométrie d'un champ de lavande François Rouvière (Nice) Pavages doublement périodiques (réseaux) - cristallographie

Rectangle d’or  1 Irrationalité du Nombre d’Or UNJOLIRECTANGLEUNJOLIRECTANGLE  =a/b 1/  1/  2 b a a-b 2b-a 2a-3b b

Longueurs des côtés des carrés c 0 = b c 1 = a- b c 2 = 2b- a c 3 = 2a- 3b c n = F n a- F n+1 b si n est impair c n = F n+1 b- F n a si n est pair c n = c n-2 - c n-1 c n = (-1) n+1 (F n a- F n+1 b) a= , b=1 c n =  - n  - n = (-1) n+1 (F n  - F n+1 )

Calcul de  n  2 =  + 1  3 =  2 +  = 2  + 1  4 =  3 +  2 = 3  + 2  n = F n  +F n-1  1 1/  1/  n 1/  n+1 1/  n+2  n+2  n+1 nn Sectio Aurea (Golden section)

Rectangle d’or  22 UNJOLIPETITRECTANGLEUNJOLIPETITRECTANGLE  1 22 33 22

Calcul de F n  n = F n  +F n-1  - n = (-1) n+1 (F n  - F n+1 ) F n = (  n - (-  ) - n ) 15 15 F n = ( - ) 15 15 1+  5 2 ()n)n 1-  5 2 ()n)n 1+  5 2 ==   - 1 = F -n = (-1) n+1 F n 2  - 1 =  5

Formule de Binet F n = ( - ) 15 15 1+  5 2 ()n)n 1-  5 2 ()n)n A.De Moivre (1730) D. Bernoulli (1732) L. Euler (1765) J.P.M. Binet (1843) F n est l’entier le plus proche de  n /  5 Autre formule de De Moivre: (cos x + i sin x) n = cos (nx) + i sin (nx)

Nombre de couples de lapins de Fibonacci au bout de 60 ans: F 60 est l’entier le plus proche de  60 /  5 F 60 = F 60 est divisible par F 30 = , F 20 = 6 765, F 15 = 610, … larves de coccinelles bactéries économie Croissance exponentielle

|F n  - F n+1 |=  - n  1 F n  5 Approximation Diophantienne: Pour tout nombre réel x il existe une infinité de nombres rationnels p/q tels que |qx - p|< 1. q  5 Quand on prend pour x le nombre d’or , le coefficient  5 ne peut pas être remplacé par un nombre plus grand.

Approximation diophantienne dans la vie quotidienne Petits diviseurs et systèmes dynamiques (H. Poincaré) Périodes des orbites de Saturne (divisions de Cassini) Stabilité du système solaire Résonance en astronomie Engrenages Quasi-cristaux Acoustique des salles de concert Calendriers: années bissextiles

Échelle logarithmique 10 n n2n 41/21/4 3 3/2 2 3/2 = √8 2 3/2 = √8 < 3 8 < 9 =2 x = x log 2 3 = 1,58496

En effeuillant la marguerite Je t’aime Un peu Beaucoup Passionnément À la folie Pas du tout Suite des restes de la division par 6 de la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5,… Premier multiple de 6 : 144

Reste de la division par 6 des nombres de Fibonacci 8 = 6  = 6  = 6  = 6  = 6  = 6  = 6 

Division Euclidienne Soient a et b deux nombres réels avec b > 0. Alors a = b q + r Exemple: Si a et b sont entiers, alors r   0, 1, …, b-1  avec q entier (quotient) et 0 ≤ r < b (reste). a b b b r Division de  2 par  :  2 =  + 1. Division de  n+1 par  n :  n+1 =  n +  n-1.

Exemples modulo 2: pair, impair (dernier chiffre en base 2) modulo 7: jours de la semaine modulo 9: somme des chiffres en base 10 modulo 10: dernier chiffre en base 10 modulo 12: zodiaque, cercle dodécaphonique modulo 24: tous les jours (24 heures) modulo 60: toutes les heures, toutes les minutes modulo 400: piste d’athlétisme

La suite des lapins On désigne un jeune couple de lapins par 0 et un couple adulte par 1. Au passage d’une année à la suivante le couple jeune devient adulte 0  1, un couple adulte reste un couple adulte et produit un jeune couple 1  10. On obtient le système dynamique 0  1  10  101    …

Le mot de Fibonacci: f n+1 = f n f n-1 0  b et 1  a f 0 = b f 1 = a f 2 = ab f 3 = aba f 4 = abaab f 5 = abaababa f 6 = abaababaabaab f 7 = abaababaabaababaababa … w=abaababaabaababaababaabaababaabaababaabab nombre de lettres de f n : F n+1 nombre de a dans f n : F n nombre de b dans f n : F n-1 Conséquence: le mot de Fibonacci n’est pas périodique. la proportion de a dans w est 1/ 

Suite Sturmienne

La suite des lapins L 1 =1, L 2 =0, L 3 =1, L 4 =1, L 5 =0, L 6 =1, L 7 =0 L 8 =1, L 9 =1, L 10 =0, L 11 =1, L 12 =1, L 13 =0, L 14 =1, L 15 =0, … 1=F 2, 2= F 3, 3=F 4, 4= F 4 + F 2, 5=F 5, 6= F 5 + F 2, 7= F 5 + F 3, 8= F 6, 9= F 6 + F 2, 10= F 6 + F 3, 11= F 6 + F 4 … L 1 = 1, L 2 = 0, L 3 = 1, L 4 = 1, L 5 = 0, L 6 = 1, L 7 = 0 L 8 = 1, L 9 = 1, L 10 = 0, L 11 = 1, … 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, … L 1, L 2, L 3, L 4, L 5, L 6, L 7, L 8, L 9, L 10,, L 11, L 12, L 13, L 14, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, …

Le n ième lapin L n 51= F 9 + F 7 + F 4 + F 2 Le dernier indice (le 2 de F 2 ) est pair donc L 51 =1.

Le n ième lapin L n Autre façon de déterminer L n : La suite des indices tels que L n =1 est [  ] =1, [2  ] =3, [3  ] =4, [4  ] =6, … La suite des indices tels que L n =0 est [  2 ] =2, [2  2 ] =5, [3  2 ] =7, [4  2 ] =8, … [32  ] =51,77…, donc [32  ] =51 et L 51 =1. Exemple: Suites de Beatty

Autres liens entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or [0; a, b, a, a, b, a, b, a, a, b, a, a, b, a, b, a,… ] [0; 1, 2, 2, 4, 8, … 2 F n, …]= ∑ 1 n≥1 2 [n  ] Approximation simultanée d’un nombre et de son carré (H. Davenport et W.M. Schmidt, D. Roy, 2003) Fraction continue de Fibonacci: z = +i log   2  2 F n = i n-1 sin (nz) sin z avec (J.L. Davison 1977) (Formule de Binet)

Le nombre d’or et l’esthétique

Musique et suite de Fibonacci Dufay, XV ème siècle Roland de Lassus Debussy, Bartok, Ravel, Webern Stoskhausen Xenakis Tom Johnson Automatic Music for six percussionists

Gammes musicales Mathematics and musics, a Diderot Mathematical Forum G. Assayag, H.G. Feichtinger, J.F. Rodrigues (Ed.), Springer PYTHAGORE

Gammes musicales Note à l’octave: fréquence 2n. Harmoniques d’une note de fréquence n: vibrations de fréquences 2n, 3n, 4n, … Octaves successives d’une note de fréquence 1000 Hz: 1000, 2000, 4000,… …, 250, 500, 1000, 2000, 4000,…

f=2 a r, a entier. On choisit un intervalle [n, 2n[ et on ramène toutes les notes dans cet intervalle par des octaves successives. Cela revient à diviser log 2 f par 1, le quotient est a, le reste est log 2 r avec 0 ≤ log 2 r < 1: Exemple: On choisit l’intervalle [1, 2[. Une note de fréquence f sera ramenée à une vibration de fréquence r avec 1 ≤ r < 2, où log 2 f = a + log 2 r

Intervalle musical [1, 3/2]: quinte, rapport 3/2 Intervalle musical [3/2, 2]: quarte, rapport 4/3 Exemple: une note de fréquence 3 (harmonique de 1) est à l’octave de la note de fréquence 3/2.

Intervalles en musique Note: Nom: Do Ré Mi Fa Sol La Si Do Fréquence Rapport: 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 Octave DO  DO 1  8 Rapport 2/1 Quinte DO  SOL 1  5 Rapport 3/2 Quarte DO  FA 1  4 Rapport 4/3 Tierce DO  MI 1  3 Rapport 5/4

Quintes successives: ce sont les notes à l’octave de celles de fréquences 1, 3, 9, 27, 81, … dans l’intervalle [1, 2]: 1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, … Question: quand retombera-t-on à l’octave de la note initiale? Réponse: jamais! Raison: l’équation diophantienne 3 a = 2 b n’a pas de solution en entiers positifs a, b.

(3/2) a = 2 c  3 a = 2 b avec b=a+c Approximation: trouver a et b tels que 3 a soit proche de 2 b 3 2 =9, 2 3 =8, 9/8 = 1,125  1 Deux quintes font un peu plus qu’un octave 3 5 =243, 2 8 =256, 243/256 = 0,94921…  1 Cinq quintes font presque trois octaves

3 12 = , 2 19 = , (3/2) 12 = 129,7463…> 2 7 =128 Douze quintes font à peine plus que sept octaves Comma de Pythagore: 3 12 / 2 19 =1,01364

Autre approximation remarquable: 5 3 =125≈ 2 7 =128 (5/4) 3 =1,953… ≈ 2 trois tierces (rapport 5/4) font presque une octave 2 10 =1024 ≈ 10 3 Informatique (kilo octets):

Informatique: kilo octets (2 10 =1024  10 3 ) Acoustique: multiplier l’intensité sonore par 10, c’est ajouter 10 décibels. 10 d = k 10. Comme 2 10  10 3, doubler l’intensité, c’est à peu près ajouter 3 décibels. Multiplier l’intensité par k, c’est ajouter d décibels avec

Équation 3 a - 2 b = 1: seule solution a=2, b = 3 Question de Philippe de Vitry, résolue par Levi Ben Gerson (Leo Hebraeus) ( ) Euler (1738): x 2 - y 3 =  1: seule solution x=3, y = 2 Équation de Catalan: x a - y b = 1.

Extrait d’une lettre adressée à l’Éditeur par Monsieur E. Catalan, Répétiteur à l’École Polytechnique de Paris, publiée dans le Journal de Crelle (1844) Je vous prie, Monsieur, de bien vouloir énoncer, dans votre recueil, le théorème suivant, que je crois vrai, bien que je n'aie pas encore réussi à le démontrer complètement: d'autres seront peut-être plus heureux. Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent être des puissances exactes; autrement dit: l'équation x a - y b = 1, dans laquelle les inconnues sont entières et positives, n'admet qu'une seule solution.

J.W.S. Cassels (1953, 1961), R. Tijdeman (1976), P. Mihailescu (2002) x a - y b = 1 a pour seule solution = 1 Suite des puissances parfaites: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, …, x a, … Conjecture de Pillai (1945): la différence entre deux termes consécutifs tend vers l’infini. Pour tout k  0, l’équation x a - y b = k n’a qu’un nombre fini de solutions (x, y, a, b).

E. Dubois, G. Rhin, Ph. Toffin (1986) Pour a et b entiers positifs, log 2 log 3 abab - > b -14.

Problème de Mahler (1967) |b-log a|>2 -cb ? K. Mahler, M. Mignotte, F. Wielonsky: Yu.V. Nesterenko, S. Khémira: a et b rationnels |b-log a|>b -20b Pour a et b entiers positifs, Applications en informatique théorique: J.M. Muller et A. Tisserand, 1996

L’explosiondesMathématiques

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