Polynôme d’avalanche A. Micheli Dominique Rossin
Modèle du Tas de Sable Sommet stable n < degre Sommet instable n >= degre Eboulement de 3 Configuration stable
Configurations récurrentes
Avalanche principale Ajout d’un grain Pas d’éboulements 2 éboulements
Polynôme d’avalanche Toutes les avalanches principales pour toutes les configurations récurrentes
Tas de Sable sur les graphes complets Configuration récurrente On revient à la même configuration On revient à la même configuration
Fonction de Parking
Enumeration
Avalanche Ajout d’un grain Éboulement Taille = 2 Taille = 2 Série génératrice ?
Chemin de Dyck (5,4,4,3,1,1) (1,3,1,4,4,5)
Série génératrice d1d1 d2d2 d3d3 d4d4 2L 2n Nombre d’avalanches de taille m
Bijection
Polynôme d’avalanche des arbres
Non unicité
Problème inverse (0,4,7,7,8,8,8,8,8,8,9,10) NP-complet
Idée de la preuve Réduction de 3-PARTITION Problème: Problème: Un entier C, 3N nombres a i < C :Un entier C, 3N nombres a i < C : 9 ? partition des nombres en N paquets de 3 dont la somme fasse C ? 9 ? partition des nombres en N paquets de 3 dont la somme fasse C ?
0 C+1 C+1+ 1 C+1+ 1 C+1+ 1 C+ 1 +2 C+ 1 +2 C+ 1 +2 , C+1 ( £ N), C+1+a i, C+2+a i ( £ a i -1) ) a i ! a i,, C ! C
C+1 C+ 1 +2 C+1+ a k C+1+ a l C+1/2+ a k t fils -( C+ C+1/2+ a k) = (a k - 1 ) - 0/1 1+t t fils ( 1 –a t ) K = 2 + t – 0/1
Série génératrice T(t,q) = p ¸ 0 T p (q) t p = p ¸ 0 T 2 Arbre, |T| = p Av_T(q) t^p = p ¸ 0 T 2 Arbre, |T| = p Av_T(q) t^p T(t,1) = p ¸ 0 p C p t p T p+1 (q) = k=0 p C k C p-k q k+1 + C p-k q k+1 T k (q)+C k T p-k (q)
Équation fonctionelle