Polynôme d’avalanche A. Micheli Dominique Rossin.

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Transcription de la présentation:

Polynôme d’avalanche A. Micheli Dominique Rossin

Modèle du Tas de Sable  Sommet stable n < degre  Sommet instable n >= degre  Eboulement de 3  Configuration stable

Configurations récurrentes

Avalanche principale  Ajout d’un grain  Pas d’éboulements  2 éboulements

Polynôme d’avalanche  Toutes les avalanches principales pour toutes les configurations récurrentes

Tas de Sable sur les graphes complets  Configuration récurrente On revient à la même configuration On revient à la même configuration

Fonction de Parking

Enumeration

Avalanche  Ajout d’un grain  Éboulement Taille = 2 Taille = 2  Série génératrice ?

Chemin de Dyck  (5,4,4,3,1,1)  (1,3,1,4,4,5)

Série génératrice d1d1 d2d2 d3d3 d4d4 2L 2n Nombre d’avalanches de taille m

Bijection

Polynôme d’avalanche des arbres

Non unicité

Problème inverse  (0,4,7,7,8,8,8,8,8,8,9,10) NP-complet

Idée de la preuve  Réduction de 3-PARTITION Problème: Problème: Un entier C, 3N nombres a i < C :Un entier C, 3N nombres a i < C : 9 ? partition des nombres en N paquets de 3 dont la somme fasse C ? 9 ? partition des nombres en N paquets de 3 dont la somme fasse C ?

0 C+1 C+1+  1 C+1+  1 C+1+  1 C+  1 +2 C+  1 +2 C+  1 +2  , C+1 ( £ N), C+1+a i, C+2+a i ( £ a i -1) ) a i ! a i,, C ! C

 C+1  C+  1 +2  C+1+ a k  C+1+ a l  C+1/2+ a k t fils -( C+  C+1/2+ a k) = (a k -  1 ) - 0/1 1+t  t fils (  1 –a t )  K = 2 + t – 0/1

Série génératrice  T(t,q) =  p ¸ 0 T p (q) t p =  p ¸ 0  T 2 Arbre, |T| = p Av_T(q) t^p =  p ¸ 0  T 2 Arbre, |T| = p Av_T(q) t^p  T(t,1) =  p ¸ 0 p C p t p T p+1 (q) =  k=0 p C k C p-k q k+1 + C p-k q k+1 T k (q)+C k T p-k (q)

Équation fonctionelle