Notions de modèles hydrogéologiques Hydrogéologie 1ère année (2006-2007) Chapitre IV : Notions de modèles hydrogéologiques Sylvain Payraudeau

Outils de gestion de la ressource en eaux souterraines Outils analytiques : échelle locale Modèles hydrogéologiques : échelle régionale Quantitatif : Prédire l’impact d’un pompage sur l’aquifère (chapitre II). Qualitatif : Prédire le transport d’une pollution (stratégies de dépollution d’un aquifère) (chapitre III).

Plan Notion de modèle Différences finies Eléments finis Application d’un modèle hydrogéologique : gestion de l’eau

Qu’est-ce qu’un modèle ? Représentation simplifiée d'un système complexe (tel le cycle de l'eau) Qu'est ce qu'un modèle ? et à quoi sert un modèle ? = indissociables c’est le problème posé qui conduit à la création/utilisation d'un modèle ce sont les hypothèses posées qui conditionnent le choix de la modélisation.   Qualité d'un modèle : adéquation des résultats avec les objectifs. Caractère prédictif Synthèse des connaissances sur une problématique   Vision simplifiée d'un système = réductionniste Simplifications = f(hypothèses) pertinentes à une échelle spatiale et temporelle donnée. Domaine de validité = limite le champ d’application

Qu’est-ce qu’un modèle ? Variables d’entrée (de forçage) indépendantes Caractéristiques du système Paramètres Modèle Variables de sortie dépendantes

Modèle hydrogéologique Variables d’entrée (de forçage) Indépendantes : Pluie, ETP Caractéristiques du système Paramètres : Porosité, Conductivité hydraulique, Géométrie du réservoir Nappe libre/captive Modèle Variables de sortie dépendantes : hauteur d’eau, vitesse, concentration + état initial + conditions aux limites + sollicitation (source/puits), contact rivière, …

Modèle hydrogéologique Caractéristiques du système Modèle Lois de conservation : Conservation de la masse Loi de Darcy Loi de Fick, … Loi de diffusivité Ex : Ecoulement dans une nappe captive avec T isotrope  x h x  y h y h t T . + T . + Q = S . Eq 2.42 Conditions aux limites Conditions initiales

Donnés nécessaires et calage du modèle Conductivité hydraulique (K) : Connue qu’en quelques points (interprétation de pompage), pouvant être modifier lors du calage du modèle (paramètre d’ajustement). Débits d’échange et d’alimentation (Q + infiltration) : déterminés le plus précisément possible (difficulté de l’estimation de la recharge Pluie – ETP – Ruissellement). Calage de la transmissivité (T) pour obtenir les charges observées (H) avec les débits pompés estimés. Coefficient d’emmagasinement (S) : Uniquement si besoin de modéliser en régime transitoire. Mal connu, seulement en quelques points (essais de pompage) En général : géométrie de l’aquifère (+) K, colmatage des cours d’eau et la recharge mal connus (-)

Conditions aux limites Conditions aux limites : 3 types (mathématique) 1 - Conditions de Dirichlet : charge (h) imposée : h lim = f(t) Contact nappe-rivière 2 - Conditions de Neumann : première dérivée de la charge imposée donc flux imposé Limites flux nulles (substratum basal ou latéral) Limites flux imposés (recharge de nappe, prélèvement par puits) 3 - Conditions de Cauchy : h et h n h n lim = f(t) h n h n a . h + b . lim = f(t) Contact nappe-rivière – au travers d'une limite semi-perméable

Spatial : Approche globale (réservoirs) Modèle Gardenia (global – conceptuel)

Spatial : mono-couche (2D) Intégration des propriétés (K, T) sur l'épaisseur de la couche Aquifère (vue de dessus)

Spatial : Aquifère complexe (3D) Hypothèses : 1 - Empilements d’aquifères séparés par des semi-perméables 2 – Ecoulements bi-dimentionnels horizontaux (aquifères) 3 – Ecoulements verticaux (semi-perméables) 4 – Les semi-perméables sont soit réels (marnes) soit artificiels pour différencier 2 aquifères Hydroexpert 5 – Les semi-perméables sont non capacitifs (permettent le passage entre 2 aquifères mais ne contient pas un volume d’eau conséquent)

Représentation par le modèle Aquifère complexe (3D) Situation réelle Représentation par le modèle Hydroexpert

Méthode des différences finies : discrétisation spatiale Grille régulière Sur chaque maille : Transmissivité (T) Coefficient d'emmagasinement (S) Débit prélevé/injecté (Q) Infiltration par la pluie efficace (si une seule couche) Apport de la couche du dessus (si multicouche)  Niveau piézométrique Aquifère (vue de dessus)

Discrétisation spatiale : tailles et nombres de mailles Taille (et donc nombre) des mailles : Précision souhaitée sur les calculs Contours +/- sinueux des limites Nombres et éloignements des puits Capacité de l'ordinateur Taille de 5 m (étude d’une digue) à 5 km (étude régionale) Nbre de mailles  1000 à 10 000

 flux de masses entrantes/sortantes = masse entrante/sortante Calcul par maille Méthode des différences finies : ex nappe captive en régime permanent HC = inconnu Bilan en eau sur maille centrale : N N Q O C ? E a O C E a S S  flux de masses entrantes/sortantes = masse entrante/sortante Flux de masse quittant C vers O : M = superficie du côté . vitesse . Masse volumique n h n h n M = a.e . (- K . ) .  = - a .  . T .

  T. (Hd – HC) = Q T. (Hd – HC) = 0 Calcul par maille h n Approximation des dérivées par différence : HE - HC a Flux quittant le côté vers E = - a .  . T . = -  . T . (HE - HC) HO - HC a Flux quittant le côté vers O = - a .  . T . = -  . T . (HO - HC) HS - HC a Flux quittant le côté vers S = - a .  . T . = -  . T . (HS - HC) HN - HC a Flux quittant le côté vers N = - a .  . T . = -  . T . (HN - HC) Flux du terme puits/source (Q) = -  Q T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + T. ( HN – HC ) + T. ( HS - HC ) = Q 4 T. (Hd – HC) = Q  4 T. (Hd – HC) = 0  si pas de terme puits/source d = 1 d = 1 d = directions (O, E, S, N)

Calcul aux limites O C E a Ex. limite à flux imposé (au nord) : puits T. ( HN – HC ) remplacé par FluxN S T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + FluxN + T. ( HS - HC ) = Q Ex. limite à charge imposé (au nord) : rivière TN. ( HN – HC ) T. (HE – HC) + T. ( HO – HC ) + TN. ( HN – HC ) + T. ( HS - HC ) = Q Résolution : 5 inconnues pour 5 mailles Soit r nombre de mailles dans le maillage et p nombre de mailles avec conditions aux limites Matrice de ce système est régulière (inversable avec solution unique) si p >=1

  (Hd – HC) = 0 T. (Hd – HC) = 0 Calcul avec K constant 2 cas de figure : Cas 1 : K est homogène et e constant sur l'ensemble de la nappe Rivière 1 Rivière 2 Niveau piézométrique Surface du sol z h1 e h2 K x L Si K et e = constante  T = Constante 4 4 T. (Hd – HC) = 0  (Hd – HC) = 0  HO + HE + HN + HS 4 HC = d = 1 d = 1 d = directions (O, E, S, N)

Exemple de calcul HC = inconnu H1 = 6m Charge imposé Flux nul HO + HE + HN + HS 4 HC = HE + HE + HN + HS 4 HC = H2 = 4m

Exemple de calcul HC = inconnu H1 = 6m Stabilisation de h : (10-2 mm) 245 itérations H2 = 4m

TEC. HE + TOC. HE + TNC. HN + TSC HS Calcul avec K variable Cas 2 : K n'est homogène et/ou e n'est pas constant sur l'ensemble de la nappe : T variable Surface du sol z h1 e h2 K1 K2 x L1 L2 Domaine 1 Domaine 2 Calcul de T par mailles  calcul de T moyen par côté (TEC) TEC. (HE – HC) + TOC. ( HO – HC ) + TNC. ( HN – HC ) + TSC. ( HS - HC ) = 0 TEC. HE + TOC. HE + TNC. HN + TSC HS TEC + TOC + TNC + TSC HC =

Calcul en régime transitoire Régime permanent : 4 T. (Hd – HC) + Q + infiltration = 0  d = 1 directions (O, E, S, N) Régime transitoire : 4 T. (Hd – HC) + Q + infiltration =  h t a² . S . d = 1 directions (O, E, S, N) Approximation exacte si dt infiniment petit 4 T. (Hd – HC) + Q + infiltration =  H t + dt - Ht dt a² . S . d = 1 directions (O, E, S, N)

Choix du pas de temps de calcul (dt) si dt trop grand <> solution analytique Empiriquement : S : coefficient d’emmagasinement T : transmissivité a² : aire de la maille 100 . S . a² 4 . T dt <=

Calcul en transitoire H1 = 6m Etat initial connu (t = 0) Modélisation de l’effet d’un pompage jusqu’au régime permanent H2 = 4m

Exploitation du modèle aux différences finies Attention à l’exploitation du modèle : ex. charge (H) dans un puits En général : a (côté de la maille) >>> rayon d’un puits Pour comparer H simulée et H observée dans un puits : facteur de correction Q 2.p.T a rP p 2 Hmaille – HPuits = ln - a : côté de la maille rP : rayon du puits T : transmissivité de la maille

1- discrétiser le domaine en petits éléments (triangle) Principe 1- discrétiser le domaine en petits éléments (triangle) 2- calculer la variable (h) sur chaque nœud 3- interpoler linéairement entre les sommets pour calculer h Diminution de la taille des éléments au voisinage de la rivière h h A' 3 4 A h ? 1 2 1 2 3 4 A A' A A' x Aquifère (vue de dessus) Si forte variabilité (

Coefficient d'emmagasinement (S) Débit prélevé/injecté (Q) Données nécessaires Sur chaque noeud : Transmissivité (T) Coefficient d'emmagasinement (S) Débit prélevé/injecté (Q) Infiltration par la pluie efficace (si une seule couche) Apport de la couche du dessus (si multicouche)  Niveau piézométrique Aquifère Edwards (US) : www.edwardsaquifer.net/ Aquifère (vue de dessus) Mesures représentatives ?

Exemple d'application d'un modèle hydrogéologique Utilisation des aquifères captifs de l’Albien et du Néocomien (bassin parisien) pour alimenter la population de la zone agglomérée d'Ile de France en eau potable en cas de scénario catastrophe (Roche, ENPC) Coupe géologique schématique du bassin sédimentaire de Paris (formation lithostratigraphiques) (AESN)

Besoins ultimes en eau potable ? 20 l.hab-1.jours-1 (15 domestiques, 4 hôpitaux et 1 agroalimentaire) 11 millions d'habitants  220 000 m3. jours-1 Capacités actuelles des forages dans l'Albien et le Néocomien ? 33 forages : débit actuel 55 000 m3. jours-1 (20 million de m3. an-1) débit maximum de 105 000 m3. jours-1 (38 million de m3. an-1) Complément nécessaire  115 000 m3. jours-1 En utilisant un ratio d'un puits de 150 m3. h-1 par zone de 180 000 hab.  32 puits (finalement 37 puits retenus)

Données requises/calage Distribution de la transmissivité de l’Albien (m²/s) ajustée après calage (AESN)

Données requises/calage Distribution de la transmissivité du Néocomien (m²/s) ajustée après calage (AESN)

Démarche de modélisation Exploitation en crise réaliste ? Débit actuel 55 000 m3. jours-1 (20 million de m3. an-1) Débit de crise = 4 . débit actuel Modélisation hydrogéologique (HYDROEXPERT) Réponse : exploitation de crise possible selon les potentialités de l'aquifère (durée de crise de 3 mois à 1 an) Plutôt dans l'Albien que le Néocomien (cf. Transmissivité)

Conclusion Choix du modèle : Domaine de définition du modèle Problématique posée Données nécessaires Coût Discrétisation spatiale : Fonction des données Fonction de la méthode numérique retenue (éléments finis) Discrétisation temporelle : Fonction de la méthode numérique (instabilité)