Génération de courant dans les tokamaks Les enjeux Les courants dans un plasma de tokamak Description cinétique de la génération de courant Revue des différentes méthodes (théorie/expérience/technologie) Courant auto-généré (bootstrap) Courant inductif (Loi d’Ohm) Courant Radio-Fréquence (LH, EC) Courant par injection de particules (IdN) Fonctionnement non-inductif du tokamak Vers le réacteur continu Techniques de mesure

- Les enjeux -

Les courants dans les plasmas de tokamak jouent un rôle majeur pour l’équilibre magnétique de la configuration la stabilité MHD de la décharge les performances fusion (critère de Lawson, ignition) La maîtrise des courants dans les plasmas est donc au cœur de la physique de la fusion par confinement magnétique de type tokamak afin d’obtenir un fonctionnement continu (évite les fatigues mécaniques structurelles) un réacteur économiquement viable.

Equilibre magnétique du tokamak Confinement assuré par la combinaison de deux champs magnétiques : champ axial produit par les bobines toroïdales Bt champ poloïdal créé par le courant plasma Bq Forme hélicoïdale des lignes de champ évite la dérive verticale des particules Equilibre MHD: jxB = p Rôle clé du courant plasma

Stabilité du confinement

Loi d’échelle du confinement des tokamaks Meilleures performances à fort courant plasma Ip Gigantisme des machines pour atteindre l’ignition TORE SUPRA JET ITER D.C. Robinson, Phys. Plasma. Contr. Fusion, 35 (1993) B91 Confinement standard de référence en absence de divertor: Mode L

L’enjeu, c’est à tout instant de contrôler le profil de courant à partir de paramètres externes minimiser la fraction de puissance recyclée pour générer du courant: efficacité J (MA)/P (MW)

Les difficultés sont multiples: La complexité du milieu: topologie, homogénéité et isotropie Problème cinétique: description statistique du mouvement des particules dans l’espace des vitesses et des configurations avec des aspects délicat (interaction ondes/particules à la résonance) Description électromagnétique pour les ondes RF La description relativiste des collisions dans un plasma chaud La non-linéarité du problème: le lieu où du courant est généré dépend de l’équilibre et vice-versa Modélisation est très coûteuse sur le plan numérique (3-D): développement d’algorithmes complexes La mise en œuvre instrumentale (problèmes technologiques) La détermination locale de la valeur du courant

- Les courants dans un plasma de tokamak -

Définition des référentiels : fonction de flux poloïdal magnétique

Matrices de transformation entre les référentiels

Courant diamagnétique Equilibre magnétique: les surfaces de flux correspondent à des surfaces isobares et les lignes de champ sont également contenues dans ces surfaces. et Courant diamagnétique Divergence non-nulle de j Accumulation charges () Courant j//

Densité de courant poloïdale (projection): et Equilibre magnétique: avec où f est la fonction de flux de courant. On en déduit: A noter: est le courant paramagnétique

Pour calculer j//, il faut déterminer f’ Pour calculer j//, il faut déterminer f’. Il faut pour cela introduire une équation supplémentaire donnant j//. On considère les équations du transport collisionnel dans un milieu fortement magnétisé déterminé par Braginskii. Pour chaque espèce j, on a trois équations pour les conservations du nombre de particules, de l’impulsion et de l’énergie: notation de Dirac où et

Tenseur de stress (anisotropie de pression) Charge des particules Taux de transfert d’impulsion entre espèces Taux de transfert d’énergie entre espèces Flux de chaleur On considère le cas de deux espèces (électrons et ions), avec ne = ni = n, et dans la limite ete >> 1 et iti >> 1 où te et ti sont les temps caractéristiques de collisions, le taux de transfert d’impulsion des ions vers les électrons vaut Force de friction Force thermale

(h: resistivité du plasma) En projetant dans la direction parallèle, on peut trouver naturellement l’équation pour j//. En reportant dans l’équation de conservation de l’impulsion, après avoir sommé sur toutes les espèces et tenu compte de l’électro-neutralité, de la stationnarité et de l’incompressibilité du plasma considéré comme un fluide

, on a alors Puisqu’à l’équilibre, Correction d’ordre 1 et en combinant les équations: soit qui est la loi d’Ohm généralisée pour le courant circulant le long de la ligne de champ

Dans la limite de forte collisionnalité, l’anisotropie de pression est négligeable, et Le champ électrique valant après changement de coordonnées: En l’absence de champ électrique induit par des bobinages externes (fonctionnement inductif), E =0, et on ne conserve que la composante poloïdale auto-cohérente Ep (liée à l’accumulation de charge poloïdalement)

En régime stationnaire, (Stokes) Si l’on pose alors car // est constant sur une surface de flux: n() et T(). On en déduit ainsi et le courant de Pfirsch-Schlüter vaut:

Le courant de Pfirsch-Schlüter existe toujours, puisqu’il provient de la condition d’écoulement des charges le long des lignes de champ: Il est cependant faible en général. Dans le cas d’une configuration tokamak circulaire avec grand rapport d’aspect (er/R0 << 1): Moyenne sur une surface de flux:

A très faible collisionnalité, les effets d’anisotropie de pression peuvent devenir importants sur le courant j//. A partir du calcul de , on montre ainsi facilement que le terme associé vaut: Et pour le cas d’une configuration de section circulaire à grand rapport d’aspect,

Du fait de l’équilibre magnétique, le courant j// vaut donc: Le premier terme est presque toujours négligeable. Le second n’intervient que si le tenseur de pression n’est pas isotrope, donc lorsque la collisionnalité du plasma est très faible (forte température, faible densité). Le courant j//b est le courant de bootstrap. Sa valeur sera explicitée à partir de la théorie cinétique. A noter, que seul le terme lié à l’anisotropie de pression j//b est susceptible d’assurer l’équilibre magnétique sous certaines conditions, sinon, il faut donc créer directement une source de courant par des moyens externes j//ext.

Dans le cadre de la description fluide, ce rôle de source externe peut être joué par un champ électrique constant E induit par des conducteurs externes dans lesquels on fait circuler un courant (Loi de Lenz, bobines poloïdales), puisque formellement il s’agit du même mécanisme que pour le champ auto-cohérent Eps. Dans ce cas, on trouve par un calcul analogue que: et pour le cas d’une configuration de section circulaire à grand rapport d’aspect, le courant Ohmique ()

Mais la description fluide est très limitée pour décrire la physique de la génération de courant dans les plasmas de tokamak car il est nécessaire de spécifier les caractéristiques dynamiques des particules en jeu : électrons ou ions, circulants ou piégés résonance onde-particules la collisionnalité qui est fonction de l’énergie des particules transfert d’impulsion (1D, 2D) … Description cinétique

- Description cinétique de la génération de courant -

Equation de Klimontovitch Equation de Liouville (1/wpe,lDebye) BBGKY Equation de Vlasov Equation de Fokker-Planck Equation de Boltzman C(f,f’)=0 C(f,f’)≠0 C(f,f’)≠0 Champ moyen +Petites déflections +Fortes déflections Génération de courant

où est la vitesse et la relation de la dynamique avec la force de Lorentz f étant la fonction de distribution à une particule de type j

Pour pouvoir exploiter cette équation, il est nécessaire d’effectuer des moyennes éliminant ainsi les variations rapides dont la valeur moyenne est nulle et qui ne portent pas de ce fait d’information intéressante aux échelles de temps ou d’espace auxquelles on se place pour étudier la génération de courant. Cette procédure permet de réduire le nombre de dimensions du problème. Il convient donc d’étudier les caractéristiques du mouvement des particules dans un plasma de tokamak Cette approche est essentielle pour pouvoir envisager une résolution numérique.

Plasmas de tokamak: wpe ~ wce  >> lDebye W (~ m, taille machine) Chauffages 1-100 kHz Plasma = Ensemble de particules fortement couplées - Comportement collectif non-linéaire (problème à N corps) - Turbulence et transport anormal - Bifurcations et auto-organisation - Corps noir MHD FCI 10-100 MHz (~ dm) LH 1-10GHz (~ cm) FCE 10-100 GHz (~ mm)  ≈ lDebye Fréquence plasma 100-1000 GHz ECE mm) Diagnostics 1-430 THz IR nm)  << lDebye 430-750 THz Visible nm) Plasma = Ensemble de particules indépendantes - Comportement particulaire - Domaine du rayonnement - Corps gris, transparent 0.75-30 PHz UV nm) 1-10 keV X-mous ) IDN 10-1000 keV X-durs > 1 MeV g Plasmas de tokamak: wpe ~ wce 

On ne considère que les processus physiques tels que l’équation puisse garder une forme conservative: où S est le flux de particules dans l’espace des phases. Ceci revient à faire l’hypothèse que la dynamique statistique étudiée peut être exprimée en termes diffusif (processus de Markov) ou convectif. Les processus « violents » sont exclus de ce modèle (effet d’avalanches, piégeage onde-particule à forte densité de puissance, transport de Lévy,…). Cette formulation joue un rôle fondamentale pour la résolution numérique du problème de la génération de courant

Les quantités suivantes sont alors conservées: la densité la quantité de mouvement l’énergie où Ec est l’énergie cinétique et V est n’importe quel volume de l’espace des phases défini par sa frontière A, le vecteur étant localement normal au plan tangent à la surface A.

A partir de la connaissance de la fonction de distribution f, il est possible de remonter aux quantités macroscopiques intéressantes (moments de f) pour la physique de la génération de courant comme: La densité de particules Le densité de courant La densité de puissance absorbée Une des difficultés majeures de l’approche numérique est de calculer rapidement la limite asymptotique qui est généralement celle recherchée:

Plongées dans un champ magnétique B, les particules chargées ont un mouvement qui est caractérisé par une giration très rapide transverse à la direction de B de fréquence cyclotronique W, et un déplacement longitudinal libre (centre-guide). Cette approche reste valable même lorsque B varie lentement dans l’espace et dans le temps, les invariants du mouvement restant le moment magnétique et l’énergie (théorie adiabatique): Sans champ magnétique Avec champ magnétique

Du fait de la conservation du moment magnétique mj et de l’énergie cinétique Ecj, il existe deux catégories de particules: celles qui sont circulantes et les piégées, ces dernières étant caractérisées par un point de rebroussement dans leur trajectoire le long de ligne de champ, lorsque p// change de signe: Critère de piégeage (cône): Section poloïdale circulaire et : Temps de rebond: avec Temps de transit:

Le centre-guide a un lent mouvement de dérive verticale qui découle de la conservation de la composante toroidale que la quantité de mouvement canonique (axisymétrie): avec Bmin Z R B La vitesse de dérive cinétique vaut celle-ci résultant de la courbure des lignes de champ et B. le temps de dérive radial est donné par La vitesse du centre-guide vaut

Largeur de “banane”

Sur la base des caractéristiques de la dynamique des particules chargées dans le plasma magnétisé du tokamak, on peut réécrire l’équation cinétique donnant la distribution sous la forme qui correspond à l’équation de dérive cinétique soit Comme les ions sont bien plus lourds que les électrons, sauf exception, il est d’usage de les considérer comme immobiles pour le problème de la génération de courant (par ondes) et de ne s’intéresser qu’à la dynamique des électrons: f = fe.

Dans les tokamaks, on a la hiérarchie suivante pour les temps caractéristiques de la dynamique des électrons: t Comme l’on veut étudier le courant porté par les électrons à l’échelle temporelle indiquée, il est possible d’effectuer plusieurs moyennes, pour simplifier l’équation cinétique donnant la distribution. A noter que si  >> rf dans la plupart des cas, ce n’est plus vrai lorsque l’on injecte une onde cyclotronique électronique. Il est donc préférable d’effectuer d’abord la moyenne sur les fluctuations périodiques de l’onde RF avant d’effectuer celle sur le mouvement cyclotronique.

En posant et ainsi que et pour les champs fluctuants, on obtient Où est le flux quasi-linéaire induit par l’onde RF qui vaut:

Dans l’équation en f, la dérivée temporelle n’est évidemment valable que pour des temps longs par rapport à 1/W et 1/wLe terme a été calculé pour tout type d’onde par Kennel et Engelman, pour un plasma infini et homogène (calcul complexe) A ce stade, la fonction de distribution est encore fonction de quatre variables: p//, p,, , ce qui constitue un problème numérique formidable à résoudre. Dans la limite de faible collisionnalité, il est cependant possible de « gagner » une dimension, en effectuant une moyenne sur la trajectoire des électrons (piégées ou circulantes). C’est le régime « banane » où les électrons sont en mesure de parcourir pleinement leur orbites (fermée dans un plan poloïdal) avant d’être défléchis par les collisions

On définit ainsi la moyenne sur la trajectoire sous la forme: que l’on peut exprimer sous forme d’une intégrale sur l’angle poloïdal q en raison de l’axisymétrie. Bmin Z R B On résoud alors l’équation de dérive cinétique sur l’axe Bmin là où passent toutes les particules. Le problème est ainsi réduit à 3 dimensions:

où  est le flux magnétique poloïdal Simplification supplémentaire: seule la solution asymptotique stationnaire est recherchée, ondes Champ électrique avec collisions où  est le flux magnétique poloïdal C(f): Opérateur Fokker-Planck  interactions particules-particules Q(f): Opérateur quasilinéaire  interactions ondes-particules E(f): Opérateur champ électrique constant

Chaque terme correspond à un temps caractéristique propre

e = 0. 3, R = 3m, Te = 5 e = 0.3, R = 3m, Te = 5.11 keV, ne = 310+19 m-3, q = 3, Vloop = 0.5V tt ≈ 2s tb ≈ 3.6s tcoll ≈ 64s tQL ≈ 64s (DQL* ≈ 1) tE ≈ 6.4 ms (E* ≈ 0.01) tD ≈ 28 ms Pour résoudre l’équation de dérive cinétique, compte tenu du fait que tD/tb >> 1, on peut effectuer une approche perturbative afin de tenir compte des gradients. En effet, à cause de la vitesse de dérive, et des largeurs finies de banane, le calcul n’est plus local.

Approche perturbative: on développe f sous la forme: f = f0 + df1 où d ~ tt,b/tD. Ordre zéro: régime “banane” et comme f0 est constante sur une ligne de champ f0 est déterminée par Equation locale de Fokker-Planck moyennée sur les orbites

Ordre un: régime “banane” Sachant que avec en utilisant la relation de conservation de l’énergie et l’expresssion avec g constante sur une ligne de champ la fonction g est déterminée par

f0 est symétrique en v// pour les électrons piégés (f0 constante sur la ligne de champ) Par construction f est anti-symétrique en v// pour les électrons piégés. Comme tb << tcoll , tQL ,tE , les opérateurs C,Q et E sont symétriques en v// pour les électrons piégés, d’où ~ Il existe donc une solution gp, telle que gp = 0 dans le domaine piégé. En présence d’onde, la solution g = gp + cf0 est choisie pour assurer la conservation de la densité car

Théorie néoclassique des électrons en présence d’onde Résolution équation de Fokker-Planck moyennée sur les orbites en trois points de la grille radiale pour déterminer f0 en r-r, r, r+r: Détermination de à la limite vD = 0 Détermination de la fonction g au point de grille r: Calcul de f = f0 + f + g au point de grille r ~ Calcul de où Gi,// est la contribution ionique (modèle Hirschman) Moyenne sur la surface de flux

Une telle approche nécessite une description complète de la dynamique électronique dans l’espace des impulsions p// et p. Un calcul en différentes positions radiales pour évaluer un gradient local autour d’une position r. Les modèles trop simplifiés ne peuvent pas prendre en compte toute la réalité physique de la génération de courant même s’ils peuvent saisir des éléments de celle-ci. L’avenir est donc a un traitement numérique efficace prenant en compte en plus la nature complexe de l’équilibre magnétique qui intervient sur les effets de trajectoires. Code de dérive cinétique 3D

L’opérateur de collision décrit les échanges irréversibles entre particules. Il est donc indispensable à la production d’entropie. On s’intéresse à la génération de courant résultant de faibles perturbations autour de la solution Maxwellienne fM, en l’absence de toute contribution externe (champ électrique, ondes RF,….)  important pour les calculs numériques:on prend la symétrie de cet opérateur Opérateur de collision de Belaiev-Budker couvrant de manière continue l’intervalle d’énergie classique/relativiste (divergence d’un flux dans l’espace des impulsions qui conserve la densité, l’impulsion et l’énergie) On prend en compte les collisions électron-électron et électron-ion Dans le cas de l’opérateur linéarisé, on ne conserve plus l’énergie: formulation dédiée à la génération de courant uniquement

où l est la période de rebond normalisée et Equilibre magnétique de section circulaire, et grand rapport d’aspect e << 1: où avec T où l est la période de rebond normalisée et qc = π pour les particules passantes qc = qt pour les particules piégées

avec

Ralentissement Diffusion angulaire e/i + e/e Maxwellien

Corrections néoclassiques

Traitement implicite des flux dans le domaine piégé (tb << tc) pour le calcul de f0

Matrice 15 diagonales à inverser pour le calcul de f0

Traitement implicite pour le calcul de g (terme néoclassique) Matrice 9 diagonales à inverser pour le calcul de g

Même si on cherche la solution asymptotique de f correspondant au régime stationnaire, on garde toujours le terme d’évolution temporelle, car numériquement il est stabilisant. Approche implicite, inconditionnellement stable pour tout Dt (critère de Von Neuman). Donc on peut utiliser Dt >> 1 pour trouver rapidement la solution. Crank-Nicholson (2nd ordre):

np = 58, mx=29 LU complet LU incomplet Seuil:10-3 0.3707 Mo 1.3696 Mo

Calculs 3D implicites (rapide et stable) avec transport radial envisageables: étude du transport radial induit par les ondes, turbulence,…

Il reste à déterminer les termes de flux associés à chaque type de mécanisme: champ électrique induit, ondes RF (type, polarisation) ce qui permettra d’envisager de possibles synergies entre eux, et l’influence sur le courant de bootstrap de manière cohérente. Pour connaître ces termes, il faut pour les ondes RF calculer la propagation et l’évolution conjointe de l’équilibre magnétique incluant les effets de diffusion radiale du courant (CRONOS)

Equation de dérive cinétique Equilibre magnétique Propagation ondes RF+ champ électrique induit Equation de dérive cinétique j, jboot Diffusion résistive du courant