Modelisation/ Analyse - Equations differentielles

Modéliser c’est utiliser des expressions mathématique pour décrire une situation quantitative réelle. Modéliser consiste à écrire en notation mathématique ce qui est exprimé d’abord en mots en faisantintervenir des variables au besoin.

Modèle Mathématique Un modèle est avant tout un outil conceptuel et se rapporte à ce qu’on espère en déduire par exemple une souris ne sera pas modélisée de la même façon selon que l’on s’intérèsse à: Ses performances intellectuelles Ses maladies etc Explicable par l’expérience Servant à décrire et prédire un phénomène donné Donc Modéliser, c’est convertir un problème concret, issu du monde réel, en termes de nature mathématique

Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en sens inverse, Utiliser les mathématiques comme outil pour expliquer et prédire les phénomènes naturels.

Les modèle mathematique simple sont des modèle non realiste, ils donnent des conclusion irréaliste Modèle réaliste ont des Paramètres trop nombreux, quand même un modèle n’est jamais parfait, ni totalement représentatif de la réalité Pertinence Pour être pertinente, une modélisation doit donc respecter quelques règles simples que nous allons suivre au fur et à mesure

Étape 1 : Le choix d’un modèle ne peut être fait qu’après avoir énoncé précisément les lois régissant le phénomène observé. Les lois doivent être énoncées sous forme mathématique. On retiendra que : Modéliser consiste à appliquer des mathématiques à un fragment de réalité.

Étape 2 : mettre en équation Le choix des inconnues et des variables du problème est une étape importante et délicate qu’il ne faut pas bâcler.

Typologie du modèle Du modèle vers le réel: ce sont les modèles « prédictifs » et sont utilisés pour anticiper des évènements ou des situations comme prévoir la météo ou prévenir des épidémies. Du réel vers le modèle: ce sont les modèles « descriptif » et servent à représenter des données historiques, i.e. rechercher le type du modèle à partir d’une masse d’informations dans le but de les interpréter.

Ces deux derniers modèles sont parfaitement liés par le fait que une bonne prédiction suppose une bonne description et inversement une description serait sans utilité si elle n’aboutit à aucune prédiction.

Remarque Un même modèle mathématique peut s’appliquer à plusieurs situations comme dans le cas des systèmes de réaction-diffusion (situation à différente interprétations)

Qualité du modèle La complexité mathématique n’est pas un critère suffisant pour juger la pertinence du modèle et il serait pertinent. S’il couvre bien le champ du problème réel. S’il permet d’obtenir les résultats souhaité. S’il est réutilisable.

Comment créer un modèle Quelques points essentiels le point de départ est toujours une question qu’on se pose sur une situation future. Ex. : mon entreprise est-elle viable ? Ce matériel vaut-il le prix demandé ? Ce médicament est-il efficace ? Que faut-il faire pour que la situation s'améliore ?

Pour trouver la réponse, il est nécessaire de limiter le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini du problème ). limiter le champ du problème en recherchant les données qui ont un lien direct avec le problème ou la question, ne pas trop s’ouvrir ni trop se limiter. Trop limiter fait courir le risque de ne pas modéliser un phénomène, mais trop ouvrir entraîne une dispersion des moyens et une accumulation de données non pertinentes

Le « substrat » restant constitue le modèle construire le modèle en utilisant l’outil mathématique et informatique et enfin valider en se posant la question (retrouve t-on la situation initiale?) filtrer les données afin d'en extraire les « bruits », ces irrégularités ou ces événements accessoires qui masquent l'essentiel ; reconstituer les manquants, c'est-à-dire les objets qui manquent pour assurer la cohérence de l'ensemble (ex. le fonctionnement d'un paramètre dont on connaît l'existence mais sur lequel on ne dispose pas de données) Le « substrat » restant constitue le modèle

Modèle Dynamique et EDO Un exemple : la dynamique de la population tourterelles turques en Angleterre Annee Nb Lieux 1955 1 1956 2 1957 6 1958 15 1959 29 1960 58 1961 117 1962 204 1963 342 1964 501

La variation du nombre de lieux d'observation est proportionnelle au nombre de lieux d'observation et au temps écoulé Δ𝑁=𝜆𝑁Δ𝑡 ( Hypothèse du modèle) A remarquer que : Les lieux d'observation sont indépendants. Chaque lieu engendre en moyenne nouveaux lieux d'observation durant l'intervalle de temps 𝑡

Δ𝑁=𝜆𝑁Δ𝑡⟺ 𝛥𝑁 𝛥𝑡 = 𝜆𝑁 et lorsque 𝛥𝑡→0 on obtient 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝜆𝑁 Δ𝑁=𝜆𝑁Δ𝑡⟺ 𝛥𝑁 𝛥𝑡 = 𝜆𝑁 et lorsque 𝛥𝑡→0 on obtient 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝜆𝑁. C'est une équation différentielle dont la solution est 𝑁 𝑡 = 𝑁 0 𝑒 𝜆𝑡

Tables de Mortalité Observe les tables de mortalité d’une population de 1300 personnes de la naissance à l’âge de 24 ans. La variable 𝑡 représente l’âge des individus en années. On désigne par N(t) le nombre de survivants de cette population à l’instant t, et par x(t) le nombre des gens susceptibles d’avoir la variole à l’instant t,

c’est-à- dire, parmi les N(t) survivants, ceux qui n’ont pas encore eu la variole. Enfin m(t) représente le taux annuel de décès par d’autres causes que la variole au sein des deux populations

on se propose de calculer x(t) .

. À partir des hypothèses retenues sur les variations annuelles, on établit que les populations x(t) et N(t) satisfont le système : 𝑥 𝑡+1 −𝑥 𝑡 =− 1 8 𝑥(𝑡)−𝑚(𝑡)𝑥(𝑡) 𝑁(𝑡+1)−𝑁(𝑡)=− 1 8 1 8 𝑥(𝑡)−𝑚(𝑡)𝑁(𝑡)

Le second membre de la première équation se justifie par le fait que l’accroissement de la fonction x comporte deux composantes qui s’ajoutent : − 1 8 𝑥(𝑡) ) puisqu’à l’instant t, le risque d’attraper la petite vérole pour ceux qui ne l’ont pas eue est de 1 sur 8 – m(t)x(t) puisqu’à l’instant t, parmi les gens susceptibles d’avoir la petite vérole, on déplore m(t) x( t) décès par une autre cause que la petite vérole

La seconde équation est obtenue à l’aide d’un raisonnement analogue.

Maintenant en fractionnant l’année , on Obtient: C’est-à-dire, 𝑥(𝑡+∆𝑡)−𝑥(𝑡)= − 1 8 𝑥(𝑡)−𝑚(𝑡)𝑥(𝑡) ∆𝑡 𝑁(𝑡+∆𝑡)−𝑁(𝑡)= − 1 8 1 8 𝑥(𝑡)−𝑚(𝑡)𝑁(𝑡) ∆𝑡

𝑥(𝑡+∆𝑡)−𝑥(𝑡) ∆(𝑡) =− 1 8 𝑥(𝑡)−𝑚(𝑡)𝑥(𝑡) 𝑁(𝑡+∆𝑡)−𝑁(𝑡) ∆(𝑡) =− 1 8 1 8 𝑥(𝑡)−𝑚(𝑡)𝑁(𝑡)

En considérant que x(t) et N(t) dérivables et qu’on a de petites accroissement le dernier système devient: x′(t)=-a x(t)-m(t) x(t) N ′(t)=-b x(t)-m(t) N(t) avec a=1/8 et b= 1/64 .

Étape 1: Résoudre On introduit la proportion de survivants à l’instant t, encore susceptibles d’avoir la variole en posant𝑓(𝑡)= 𝑥(𝑡) 𝑁(𝑡) . La fonction f est dérivable et il est facile de vérifier qu’elle vérifie le système suivant, où la mortalité n’apparaît plus : 𝑓′(𝑡)=𝑓(𝑡) −𝑎+𝑏𝑓(𝑡) 𝑓(0)=1

𝑔 𝑡 , vérifie 𝑔 ′ 𝑡 =𝑎𝑔 𝑡 −𝑏, avec 𝑔 0 =1 La résolution donne 𝑔 𝑡 = 1− 𝑏 𝑎 𝑒 𝑎𝑡 + 𝑏 𝑎 D’où 𝑓 𝑡 = 𝑎 𝑏+(𝑎−𝑏) 𝑒 𝑎𝑡 , on en déduit 𝑥(𝑡)= 𝑎 𝑏+(𝑎−𝑏) 𝑒 𝑎𝑡 𝑁(𝑡) On résout cette équation différentielle logistique en posant: 𝑔(𝑡)= 1 𝑓(𝑡)

Étape 2 : analyser les résultats: La partie proprement mathématique est maintenant terminée. Il reste à examiner les résultats et analyser la pertinence de la modélisation.

Usage des Equations différentielles en Modélisation 1er Modèle de Croissance: Hypothèse: `A chaque instant, la croissance de la population est proportionnelle à son effectif i.e. 𝑑𝑞/𝑑𝑡=𝛼𝑞 (hypothèse Malthusienne,"Thomas Robert MALTHUS, 1766−1834"). La désintégration atomique est un cas de (décroissance) régi par la même équation mais avec 𝛼<0.

2eme modèle de croissance: Hypothèse: `A chaque instant, la croissance de la population est “proportionnelle” `a son effectif, mais inhibée par des ressources limitées i.e. 𝑑𝑞/𝑑𝑡=𝛼𝑞(𝑚−𝑞) ("hypothèse de Verhulst,Pierre F. VERHULST 1804−1849") Il est clair que 𝑚 sera un point d’équilibre, car la dérivée de 𝑞 est nulle quand 𝑞=𝑚

Questions Quelles équations modélisent le problème ? Nos équations ont-elles une solution ? Si oui, cette solution est-elle unique ? Pouvons-nous en calculer la ou les solutions? Sinon pouvons-nous calculer une forme approximative de la solution ? Nos résultats sont-ils conformes aux observations ? Si non, changeons les équations et recommençons !

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Modélisation du transfert de la chaleur dans une tige

1 Introduction Le transfert de chaleur, l’´écoulement d’un fluide en milieu poreux ou encore la diffusion moléculaire dans un solide sont tous gouvernés par la même équation aux d´dérivées partielles

Examinons une portion cylindrique d’une tige isolée thermiquement Examinons une portion cylindrique d’une tige isolée thermiquement. Nous allons voir comment la température du cylindre ci-dessous varie quand il reçoit (ou perd) de la chaleur provenant du reste de la tige.

Figure 1: Schématisation du transfert de chaleur.

Le flux de chaleur satisfait la loi de Fourier q=-k ∂T/∂x ou` k est la conductivité thermique et T la température

ça veut dire que: le flux de chaleur est proportionnel à la dérivée de la température par rapport à sa position suivant l’axe x.

D’après la première loi de la thermodynamique, la quantité de chaleur ∆Q qui est emmagasinée dans un matériau de densité ρ, de longueur ∆x, durant une augmentation de température ∆T est: ∆Q = cv ρ∆x∆T. (1)

∆Q = −(q2 − q1)∆t Dentition du flux La quantité de chaleur qui entre dans le cylindre pendant un intervalle de temps ∆t est donc: ∆Q = −(q2 − q1)∆t Dentition du flux ≈ −(∆𝑥 𝜕𝑞 𝜕𝑥 )∆𝑇 Théorème de la moyenne = −∆𝑥 𝜕 𝜕𝑥 (−𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑥 )∆𝑡 Loi de Fourier = ∆𝑥∆𝑡𝑘 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑥 2

𝑐 𝜗 ρ∆x∆T=∆x∆tk ( 𝜕 2 T)/(𝜕 𝑥 2 ). L’´equation (1) implique : 𝑐 𝜗 ρ∆x∆T=∆x∆tk ( 𝜕 2 T)/(𝜕 𝑥 2 ). Si on divise par ∆x∆t et que ∆t → 0, alors on obtient : 𝑐 𝜐 𝜌 𝜕𝑇 𝜕𝑡 =𝑘 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑥 2 .

L’équation de la chaleur normalisée est : 𝜕𝑇 𝜕𝑡 −𝐷 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑥 2 =0  Où 𝐷= 𝑘 𝑐 𝜐 𝜌 est une constante qu’on appelle la diffusivité thermique. Conclusion Nous avons vu que le phénomène de transfert de chaleur dans une tige satisfait l’équation de la chaleur.