La fonction quadratique Les formes d’écriture f(x) = a (x – h)2 + k f(x) = ax2 + bx + c

f(x) = a (x – h)2 + k f(x) = ax2 + bx + c Une fonction quadratique peut s’écrire sous des formes différentes. Chaque forme a son utilité. Il est donc important de savoir transformer l’équation : f(x) = a (x – h)2 + k - soit en forme canonique : f(x) = ax2 + bx + c - soit en forme générale :

De la forme canonique vers la forme générale. Il suffit de développer l’équation. Exemple : f(x) = 3 (x + 2)2 - 5 f(x) = 3 (x + 2) (x + 2) - 5 f(x) = 3 (x2 + 4x + 4) - 5 f(x) = 3x2 + 12x + 12 - 5 f(x) = 3x2 + 12x + 7 Attention aux priorités d’opérations !

Transforme cette forme canonique en forme générale et indique dans quel quadrant se retrouvera le sommet de la parabole. f(x) = 2(x – 1)2 + 3 h = 1 k = 3 Quadrant 1 f(x) = 2 (( x – 1) (x – 1)) + 3 f(x) = 2 (x (x – 1) – 1 (x – 1)) + 3 f(x) = 2 (x2 – 1x – 1x + 1) + 3 f(x) = 2 (x2 – 2x + 1) + 3 f(x) = 2x2 – 4x + 2 + 3 f(x) = 2x2 – 4x + 5

De la forme générale vers la forme canonique. h = - b 2a k = 4ac – b2 4a Il faut utiliser les formules suivantes : Démonstration Développons la forme canonique en utilisant les paramètres. f(x) = a (x – h)2 + k f(x) = a (x – h) (x – h) + k f(x) = a (x2 – 2hx + h2) + k f(x) = ax2 – 2ahx + ah2 + k

a Comparons la forme canonique développée avec la forme générale. f(x) = ax2 – 2ahx + ah2 + k f(x) = ax2 + bx + c en comparant les deux formes, on constate que : - on retrouve le même terme en ax2, a donc le paramètre est le même dans les deux formes. - le terme - 2ahx correspond au terme + bx, donc - 2ahx = bx. - le terme + ah2 + k correspond au terme + c, donc ah2 + k = c.

Dans l’équation - 2ahx = bx , isolons h : - 2ah = b - 2ah = b - 2a h = - b 2a

Dans l’équation ah2 + k = c , isolons k : k = c – ah2 k = c – a - b 2a 2 Remplaçons h par - b 2a : k = c - b2 4a k = c – a b2 4a2 k = 4ac 4a - b2 k = c – ab2 4a2 k = 4ac – b2 4a

Exemple : f(x) = ax2 + bx + c f(x) = 2x2 + 4x + 5 a = 2 b = 4 c = 5 a = 2 h = - b 2a h = - 4 2 X 2 h = - 4 4 h = - 1 k = 4ac – b2 4a - b2 k = 4 X 2 X 5 - 42 4 X 2 k = 40 - 16 8 k = 24 8 k = 3 Ce terme sera toujours négatif à cause du moins en avant. Remarque : Comme si le b était entre parenthèse. - (b)2 si b = 3 - (3)2 = - (9) = - 9 si b = -3 - (-3)2 = - (9) = - 9

Attention aux signes ! f(x) = a (x – h)2 + k En utilisant : a = 2 , h = -1 et k = 3 f(x) = 2 (x - -1)2 + 3 f(x) = 2 (x + 1)2 + 3 Attention aux signes !

Transforme cette forme générale en forme canonique et indique dans quel quadrant se retrouvera le sommet de la parabole. f(x) = x2 + 6x + 8 a = 1 b = 6 c = 8 a = 1 h = - b 2a h = - 6 2 X 1 h = - 6 2 h = - 3 k = 4ac – b2 4a k = 4 X 1 X 8 - 62 4 X 1 k = 32 - 36 4 k = -4 4 k = -1 f(x) = a (x – h)2 + k En utilisant : a = 1 , h = -3 et k = -1 f(x) = 1 (x - -3)2 – 1 f(x) = (x + 3)2 – 1 h = -3 k = - 1 Quadrant 3

Transforme cette forme canonique en forme générale et indique dans quel quadrant se retrouvera le sommet de la parabole. f(x) = 3(x + 2)2 - 4 h = -2 k = - 4 Quadrant 3 f(x) = 3 ((x + 2) (x + 2)) - 4 f(x) = 3 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 4 f(x) = 3 (x2 + 2x + 2x + 4) - 4 f(x) = 3 (x2 + 4x + 4) - 4 f(x) = 3x2 + 12x + 12 - 4 f(x) = 3x2 + 12x + 8

Transforme cette forme générale en forme canonique et indique dans quel quadrant se retrouvera le sommet de la parabole. f(x) = x2 – 10x + 24 a = 1 b = - 10 c = 24 a = 1 h = - b 2a h = - - 10 2 X 1 h = 10 2 h = 5 k = 4ac – b2 4a k = 4 X 1 X 24 - - 102 4 X 1 k = 96 - 100 4 k = -4 4 k = -1 f(x) = a (x – h)2 + k En utilisant : a = 1 , h = 5 et k = -1 f(x) = 1 (x - 5)2 – 1 f(x) = (x – 5)2 – 1 h = 5 k = - 1 Quadrant 4

Remarque La forme générale f(x) = ax2 + bx + c possède aussi sa forme factorisée. Exemple : f(x) = 2x2 +10x +12 f(x) = 2 (x2 + 5x + 6) f(x) = 2 (x + 2) (x + 3) En généralisant cette forme : f(x) = a (x – x1) (x – x2)