Trigonométrie Les bases

Soit un cercle de rayon 1 et de centre O, O étant le point de coordonnée (0,0) d’un repère orthonormé… Bonjour messieurs… O

Ce cercle est orienté et de sens direct ou positif (sens inverse des aiguilles d’une montre)…

…et il a pour point d’origine des arcs le point A de coordonnées (1,0) …et il a pour point d’origine des arcs le point A de coordonnées (1,0). C’est le cercle trigonométrique. A O

… On y place les points B de coordonnées (0,1), A’ de coordonnées

… Par convention l’axe des abscisses sera celui des cosinus et l’axe des ordonnées sera celui des sinus… sinus B A’ A O cosinus B’

… Prenons maintenant un point M quelconque placé sur ce cercle… sinus B M A’ A O cosinus Quelle barbe! B’

Je sens à l’avance que je ne vais pas aimer la trigonométrie … Soit le point P la projection orthogonale du point M sur l’axe des abscisses… sinus B M A’ A O P cosinus B’

T’es sûr qu’on est en maths … et le point Q la projection orthogonale du point M sur l’axe des ordonnées… sinus B Q M A’ A O T’es sûr qu’on est en maths P cosinus B’

Si nous prenons le réel a comme étant la longueur de l’arc AM… sinus B Q M a A’ A O P cosinus B’

… on pose par définition cos a = abscisse de M = OP… sinus B Q M A’ A O P cosinus B’

sin a = ordonnée de M = OQ… … et aussi sin a = ordonnée de M = OQ… sinus B Q M A’ A O P cosinus B’

Maintenant qu’on a vu la définition graphique du cosinus et du sinus B Q M Maintenant qu’on a vu la définition graphique du cosinus et du sinus … A’ A O P cosinus B’

… vous avez la même chose pour la tangente? sinus B Q M A’ A O P … vous avez la même chose pour la tangente? cosinus Évidemment! B’

L’axe des tangentes est la droite tangente au cercle trigonométrique au point d’origine des arcs du cercle. C’est-à-dire A. tangente sinus B Q M A’ A O P cosinus B’

L’intersection de cette droite et du prolongement du segment OM, le point T, nous permet d’arriver à la définition graphique de tan a… tangente T sinus B Q M A’ A O P cosinus B’

Par définition tan a = AT … tangente T sinus B Q M A’ A O P cosinus B’

Quelques détails au passage graphiquement on voit bien que tan a peut être supérieure à 1 (longueur du rayon du cercle trigonométrique)… tangente T sinus B 1 Q M A’ A O P cosinus B’

… mais surtout que si a tend vers Π/2 ou vers - Π/2 alors tan a tend vers + tangente T sinus B 1 Q M A’ A O P cosinus B’

Elles sortent d’où ces valeurs qui utilisent  M’sieur? tangente T sinus B Simplement du calcul du périmètre du cercle. N’oubliez pas que nous connaissons son rayon… 1 Q M Elles sortent d’où ces valeurs qui utilisent  M’sieur? A’ A O P cosinus B’

tangente A partir de là il est facile d’en déduire les autres valeurs puisque chaque arc de ce cercle est une portion ou un multiple de ce périmètre. T sinus B … nous pouvons donc calculer son périmètre, soit pour ce cas particulier : 2  1 Q M A’ A O P cosinus B’

tangente T sinus Quelques exemples : B 1 Q M A’ A O P cosinus B’

tangente T sinus Π 2 B 1 Q M A’ A O P cosinus B’

tangente T sinus Π 2 B 1 Q M A’ A O P cosinus B’

tangente T sinus B 3Π 4 1 Q M A’ A O P cosinus B’

Finalement c’est pas si compliqué la trigonométrie Pour récapituler… tangente T sinus B Q M tan a sin a a A’ A O cos a P cosinus Finalement c’est pas si compliqué la trigonométrie B’