FACTORISATION TRINÔME CARRÉ PARFAIT

x (x + 5) + 5 (x + 5) x (x - 5) - 5 (x - 5) x2 + 5x + 5x + 25 Un trinôme carré parfait est le produit d’un binôme par lui-même. (x + 5)2 (x - 5)2 Exemples : + - (x + 5) (x + 5) (x - 5) (x - 5) x (x + 5) + 5 (x + 5) x (x - 5) - 5 (x - 5) x2 + 5x + 5x + 25 x2 - 5x - 5x + 25 x2 + 10x + 25 x2 - 10x + 25 On peut remarquer que : - le premier terme du trinôme est un carré; - le troisième terme du trinôme est un carré; - le terme du milieu est le double de la racine carrée du premier terme multiplié par la racine carrée du troisième terme; - le signe du 2e terme est le même que celui du binôme.

Détermine si ces trinômes sont des trinômes carrés parfaits. x2 + 8x + 16 Oui x2 - 12x + 36 Oui x2 + 7x + 12 Non T1 est un carré : x2 T3 n’est pas un carré : +12

x2 + 5x - 36 x2 -x2 - x + 20 - x2 x2 + 13x + 36 x2 Non T1 est un carré : x2 T3 n’est pas un carré, car il est négatif : - 36 -x2 - x + 20 Non T1 n’est pas un carré, car il est négatif : - x2 x2 + 13x + 36 Non T1 est un carré : x2 T3 est un carré : +36 T2 ≠ 2 X T1 X T3 2 X x2 X 36 2 X x X 6 = 12 x 12 x ≠ 13 x

x2 2x2 - 28x + 98 Non, mais il contient un trinôme carré parfait. En faisant un simple mise en évidence, on obtient : 2 (x2 - 14x + 49) T1 est un carré : x2 T3 est un carré : + 49 T2 = 2 X T1 X T3 2 X x2 X 49 2 X x X 7 = 14 x

Pour obtenir le troisième terme, on peut le calculer à l’aide de cette expression : 2 X T1 2 T3 = 6x 2 X x2 2 T3 = x2 + 6x + ? 6x 2 X x 2 T3 = 6 2 T3 = 2 T3 = ( 3 ) = 9 (x + 3)2 Le trinôme carré parfait est donc x2 + 6x + 9 ; factorisé :

x2 + 8x x2 + 8x Exemples Factoriser x2 + 8x – 9. Ce trinôme n’est pas un trinôme carré parfait. Nous allons utiliser les 2 premiers termes pour créer un trinôme carré parfait. 1) Déplacer le 3e terme : x2 + 8x - 9 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule : T2 2 X T1 2 T3 = 8x 2 X x2 2 8x 2 X x 2 8 2 2 ( 4 ) = = = = = 16 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x2 + 8x + 16 - 9 - 16 4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.

x2 + 8x x2 + 8x ( (x + 4) ) ( (x + 4) ) 5) On regroupe le tout : + 16 -9 - 16 ( ) x2 + 8x + 16 - 25 6) On factorise le trinôme carré parfait : (x + 4)2 - 25 7) On factorise par une différence de carré : (x + 4)2 - 25 (x + 4) 5 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués : ( (x + 4) - 5 ) ( (x + 4) + 5 ) (x + 4 - 5) (x + 4 + 5) 8) On complète les calculs : (x - 1) (x + 9)

x2 + 10x + 16 x2 + 10x x2 + 10x Factorise : 1) Déplacer le 3e terme : 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule : T2 2 X T1 2 T3 = 10x 2 X x2 2 10x 2 X x 2 10 2 2 ( 5 ) = = = = = 25 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x2 + 10x + 25 + 16 - 25 4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.

5) On regroupe le tout : x2 + 10x + 25 + 16 - 25 ( ) x2 + 10x + 25 - 9 6) On factorise le trinôme carré parfait : (x + 5)2 - 9 7) On factorise par une différence de carré : (x + 5)2 - 9 (x + 5) 3 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués : ( (x + 5) - 3 ) ( (x + 5) + 3 ) (x + 5 - 3) (x + 5 + 3) 8) On complète les calculs : (x + 2) (x + 8)