Méthode de Lagrange, applications Bonjour bienvenue au cours de physique générale Méthode de Lagrange, applications Mécanique, cours 25.2 Jean-Philippe Ansermet

Méthode de Lagrange, applications Dans cette leçon, on va examiner quelques systèmes mécaniques pour lesquelles la conservation du moment cinétique ou de la quantité de mouvement permettent une analyse qualitative du mouvement.

Méthode de Lagrange, applications Mouvement rectiligne Pendule mathématique Exemple à 2 degrés de liberté Cylindre roulant sans glisser Dans ce module, je vais vous montrer comment on utilise la méthode de Lagrange. On va d’abord regarder l’exemple le plus simple, un point matériel sur une ligne droite soumis à une force conservative. Ensuite, on obtiendra l’équation du mouvement pour un pendule mathématique. Dans ce cas, la coordonnée généralisée sera un angle. Ensuite, on regardera ce qui se passe si on a un point matériel avec 2 degrés de liberté. Enfin, on verra un petit problème de mécanique du solide indéformable, qui se traite tout aussi bien par la méthode de Lagrange qu’un problème de point matériel.

Mouvement rectiligne, force conservative Je commence avec le mouvement rectiligne. Un point matériel est astreint à se déplacer sur une ligne droite. Je définis un axe cartésien sur cette droite. Je suppose connu le potentiel de la force, je le note V(x). On peut tout de suite écrire le lagrangien. J’écris les équations de Lagrange en marge. Ici dL sur d dot q devient d L sur d dot x. On reconnaît la quantité de mouvement. ….

Pendule mathématique Passons maintenant au problème du pendule Ici je choisis comme coordonnée généralsée l’angle du pendule theta. L’énergie cinétique est facile à trouver. On se souvient que la vitesse avec r constant vaut simplement r dot theta. Donc le lagrangien est …. Pour l’énergie potentielle, il faut faire attention au signe. L = T – V. On a pris l’habitude d’écrire V = mg R(1-cos theta). La constante ne joue aucun rôle dans le lagrangien car on l’utilise seulement pour calculer des dérivées. On ne la met pas. Il reste ainsi + mgr cos theta dans le lagrangien. On doit calculer d L sur d dot theta. On trouve m r^2 dot theta. On reconnaît ici le moment cinétique. On doit calculer d L sur d theta. On trouve –mgrsin theta. C’est le moment de la pensanteur

Exemple à 2 degrés de liberté Voici un problème avec un point matériel et deux degrés de liberté. On a un point d’attache du pendule ici, sans masse, qui oscille à l’horizontale, retenu par deux ressors. On suppose que l’écart entre les deux parois est deux fois la longueur au repos d’un des ressorts. Pour l’énergie potentielle, on a comme avant –mgrcos theta. Pour obtenir l’énergie cinétique, sans se tromper, le mieux s’est de partir de l’expression la plus simple. Ensuite, on y met l’expression des contraintes, pour arriver à une expression qui n’a plus aucune variable auxiliaire. Ici, je me prospose d’écrire les composantes du vecteur r. On en déduit v, et de là on peut calculer l’énergie cinétique, comme ceci. Maintenant il faut faire les dérivations. Je commence par la variable angulaire.

Cylindre roulant sans glisser Finalement, je montre un exemple pour un solide indéformable. Ici on a un cylindre sur un plan incliné. On suppose qu’il roule sans glisser. Dans un premier temps, comme je disais tout à l’heure, j’écris l’énergie cinétique avec les variables qui me donnent immédiatement une expression dont je suis sûr. Ensuite je considère les contraintes. Le roulement sans glisser impose une relation direct entre x et theta. On peut poser simplement x = R theta. Alors ---- manipulations – il reste L = … Pour le potentiel, x sin phi est une hauteur vers le bas, il faut la compter négativement dans le potentiel V, mais L contient moins V, donc on a + Mgx sin phi. Maintenant on fait les dérivations exigées par les équations de Lagrange. En utilisant la coordonnée du centre de masse pour l’équation du mouvement, on a une écriture qui montre que tout se passe comme si la pesanteur était diminuée d’un facteur sin phi d’une part, et d’autre part, divisée par un coefficient qui vaut 1 plus un terme exprimant l’effet de la distribution de masse donnée par le moment d’inertie.