suIenm:aTicéncMNucrUbFatu CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL

suIenm:aTic (Cinématique) suIenm:aTic KWCakarsikSaclnarbs;GgÁFatuTaMgLayedayminKitBIbuBVehtu EdlbgáeGaymanclnaTaMgenaHeT. La cinématique est l’étude des mouvements des corps indépendamment des causes qui les produisent.

TItaMgrbs;cMnucrUbFatukñúglMhr Position d’un point dans l’espace kñúgtMruy  TItaMgrbs;cMnucrUbFatu A enAxN³ t RtUVv)ankMNt;edayvuicT½r Dans un référentiel , la position d’un point matériel M à l’instant t est définie par le vecteur r(t), appelé vecteur position.

TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúglMh Position d’un point dans l’espace kUrGredaenedkat  = Oxyz kUGredaensuILaMg c = Oz kUGredaenb:UEl p = Or cm¶aycr nigbmøas;TI smIkar):ar:aEmRténKnøg- smIkarKnøg Gab;suIsExSekag nigviFIKNnaGab;suIsExSekag

TItaMgrbs;cMNucrUbFatukñúglMh Position d’un point dans l’espace kUrGredaenedkat  = Oxyz kUGredaensuILaMg c = Oz kUGredaenb:UEl p = Or smIkar):ar:aEmRt smIkarKnøg Gab;suIsExSekag cm¶aycr nigbmøas;TI

kUrGredaenedkat  = Oxyz / Coordonné cartésiennes uz y O ux uy x P

kUrGredaenedkat  = Oxyz / Coordonné cartésiennes (suite) kñúgRbB½n§kUrGredaenedkatTItaMgrbs;cMnucrUbFatu AenAxN³eBlmYykMNt;eday³ CavuicT½rÉktaelIG½kS Ox, Oy, Oz ehAfa)asedkat Edl

kUrGredaenedkat  = Oxyz … Coordonné cartésiennes… Exemple1 cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A EdlmankUGredaenr (3,2,5)

kUrGredaensuILaMg  = Oz Coordonnées cylindrique

kUrGredaensuILaMg  = Oz Coordonnées cylindrique (suite) kñúgRbB½n§kUrGredaensuILaMgTItaMgrbs;cMnucrUbFatu AenAxN³eBlmYykMNt;eday³ ehAfa )asénkUGredaensuILaMg (base locales des coordonées cylindriques) CavuicT½rÉkata r:adüal (vecteur unitaire radial) CavuicT½rÉkata GUtUr:adüal (vecteur unitaire ortho radial)

Relation entre =(Oxyz), C=(Oz)

Relation entre u et u

kUrGredaensuILaMg  = Oz Coordonnées cylindrique (suite) Exemple 2 cUredATItaMgrbs;cMnucrUbFat A EdlmankUGredaenr (3,30o,5) .

kUrGredaenb:UEl  = Or Coordonnées polaire   P x y O  u u Pour z = 0, on note que les coordonnées cylindriques s’identifient aux coordonnées polaires du plan xOy

kUrGredaenb:UEl  = Or Coordonnées polaire (suite) En générale r A x y O  ur u vecteur unitaire radial vecteur unitaire ortho radial r hAfakaMb:UEl (rayon polaire)  hAfamuMb:UEl (angle polaire)

kUrGredaenEs‘Vr  = Or Coordonnées sphérique A(r,,)  A(x,y,z) A(x,y,z)  A(r,, )

kUrGredaenEs‘Vr  = Or Coordonnées sphérique (suite) ehAfa )asénkUGredaenEs‘V (base locales des coordonées sphériques)

cm¶aycr nigbmøas;TI / Parcours et déplacement

cm¶aycr nigbmøas;TI / Parcours et déplacement (suite) A’(t’) A(t) O

cm¶aycr nigbmøas;TI / Parcours et déplacement (suite) Exemple Distance ou parcours Déplacement

smIkar):ar:aEmRt rW smIkareBl l’équation paramétrique ou l’équation horaire Dans coordonnées cartésiennes: Dans coordonnées polaire: Dans coordonnées cylindrique:

smIkarKnøg L’équation de la courbure trajectoire Dans coordonnées cartésiennes: Dans coordonnées polaire: Dans coordonnées cylindrique:

Exemple:

Gab;suIsExSekag / abscisse curviligne A(t) S(t) (C) trajectoire (+) O (t = 0)

karKNnaGab;suIsExSekag ​/Calculer abscisse curviligne En utilisant coordonnées cartésiennes: En utilisant coordonnées cylindrique: En utilisant coordonnées polaire:

Exemple

Vitesse d’un point par rapport à un référentiel  Vitesse moyenne Vitesse moyenne de parcours Vitesse moyenne de déplacement Vitesse instantanée (garndeur vectorielle) Composantes cartésiennes Composantes cylindriques Composantes polaires Composantes de Frenet

Vitesse moyenne Vitesse moyenne de parcours Par définition, la vitesse moyenne de parcours est: Où S - le parcours du point pendant t = t2 – t1

Vitesse moyenne … Vitesse moyenne de déplacement Par définition, la vitesse moyenne de déplacement est:

Exemple:

Vitesse instantanée La vitesse instantanée (ou vecteur vitesse instantanée) d’un point par rapport à un référentiel est égale à la dérivée sa position (ou vecteur-position) par rapport au temps calculée dans ce référentiel

Vitesse instantanée … Composantes cartésiennes Comme , il vient :

Composantes cylindriques Vitesse instantanée … Composantes cylindriques Le vecteur position du point A en coordonnées cylindriques s’exprime:

Vitesse instantanée … Composantes polaires Pour Z = 0 => dans coordonnées polaire :

tangent à la trajectoire normal à la trajectoire , tel que: Vitesse instantanée … Composantes de Frenet Les composantes de Frenet sont relatives au trièdre défini en un point de la trajectoire (c) par les trois vecteurs unitaires suivantes: tangent à la trajectoire normal à la trajectoire , tel que: vecteur unitaire bi- normale

Vitesse instantanée … Composantes de Frenet relation de Frenet Où S - représente l’abscisse curviligne sur (c) orienté R- le rayon de courbure

Accélération d’un point par rapport àun référentiel  Définition Composantes cartésiennes Composantes polaire Composantes Frenet

Exemple:

Définition L’accélération d’un point A par rapport à un référentiel  est le vecteur suivant

Composantes cartésiennes de l’accélération

Composantes polaire

Composantes de Frenet

Composantes de Frenet de

Exemple

Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un référentiel  Nous appellerons : - mouvement absolu, le mouvement de A par rapport à ; - mouvement relatif, le mouvement de A par rapport à ’; mouvement entraînement, le mouvement de ’ par rapport à . x z y O  z’ x’ y’ O’ ’

Mouvement d’un référentiel ’par rapport à un référentiel  mouvement de translation mouvement de rotation autour d’un axe de  mouvement le plus général de ’ par rapport à 

mouvement de translation Le référentiel d’espace ’est en translation par rapport à un référentiel , si les bi points A et B de ’ , au cours de mouvement sont équipollents entre. Donc le vecteur AB est en constante dans  x y z O  z’ x’ y’ O’ ’ A’’ B’’ A’ B’ A B

mouvement de rotation autour d’un axe de  Les points situé sur cet axe commun à ’ et , noté OZ, ont une vitesse nulle. Un point A fixe dans ’ décrit, par rapport à  , un cercle de centre H et de rayon HA, H étant la projection A sur l’axe de rotation

mouvement le plus général de ’ par rapport à  (1) x z y O  z’ x’ y’ O’ ’ A

mouvement le plus général de ’ par rapport à  (2) [M] l’opérateur qui caractérise le mouvement de ’/ Dans , l’opérateur [M] se met sous la forme matricielle(3×3)

mouvement le plus général de ’ par rapport à  (3)

mouvement le plus général de ’ par rapport à  (4)

mouvement le plus général de ’ par rapport à  (5)

mouvement le plus général de ’ par rapport à  (6) En introduisant le produit vectoriel d’un vecteur équivalent

mouvement le plus général de ’ par rapport à  (7)

mouvement le plus général de ’ par rapport à  (8) Pour bi- points A et B de ’ avec AB = Cte :

mouvement le plus général de ’ par rapport à  (9) i) Cas le repère ’ est en rotation autour d’un axe dans  ii) Cas le repère ’ est en translation par rapport à 

Composition de mouvements Dérivé temporelle d’un vecteur dans  et ’ Loi de composition des vitesses Loi de composition des accélérations Loi de composition des vitesses angulaire

Dérivé temporelle d’un vecteur dans  et ’ y’ z z’ ’ O’  A x’ O y x

Dérivé temporelle d’un vecteur dans  et ’

Dérivé temporelle d’un vecteur dans  et ’ …

Loi de composition des vitesses

Loi de composition des vitesses …

Exemple:

Loi de composition des accélérations

Loi de composition des accélérations …

Loi de composition des accélérations …

Loi de composition des accélérations …

Loi de composition des accélérations …

Exemple:

Loi de composition des vitesses angulaire

Loi de composition des vitesses angulaire …