1/16 Chapitre 3: Représentation des systèmes par la notion de variables d’état Contenu du chapitre 3.1. Introduction 3.2. Les variables d’état d’un système dynamique 3.3. Équation différentielle d’état 3.4. Les modèles diagramme blocs et graphe de fluence 3.5. Autre alternative des modèles diagramme blocs et graphe de fluence 3.6. La fonction de transfert à partir de l’équation d’état 3.7. La réponse temporelle et la matrice de transition d’état 3.8. Discrétisation de la réponse temporelle 3.9. Analyse des modèles à variables d’état avec MATLAB R. Beguenane, UQAC, 2005/2006 6GEI630 : Systèmes Asservis

Dans ce chapitre, nous verrons essentiellement 2/16 3.1. Introduction Dans ce chapitre, nous verrons essentiellement Au chapitre 2, nous avons vu l’utilisation de la transformation de Laplace pour obtenir la fonction de transfert d’un système physique, linéaire et stationnaire, décrit par des équations différentielles ordinaires. Cette méthode est attrayante et pratique car elle permet d’utiliser la notion de diagramme blocs (et graphes de fluence) pour interconnecter des sous-systèmes et faciliter ainsi l’analyse et la conception des systèmes (de contrôle). Dans ce chapitre, nous verrons une autre alternative de modélisation des systèmes dans le domaine temporel. En partant d’un système décrit par un ensemble d’équations différentielles ordinaires d’ordre n, nous verrons comment dériver un non unique ensemble de variables, connues sous le nom de variables d’état (VE). De ces VE, nous obtiendrons un ensemble d’équations différentielles ordinaires de premier ordre, que nous grouperons en utilisant une notation matricielle compacte pour former un modèle temporel de variables d’état. Ce qui facilite l’analyse et l’obtention d’une solution numérique par ordinateur. La relation entre ces modèles VE et ceux à base de graphes de fluence sera également investiguée durant ce chapitre.

Équations différentielles ordinaires d’ordre n (Domaine temporel) 3/16 Équations différentielles ordinaires d’ordre n (Domaine temporel) transformation de Laplace (Domaine s) Représentation E/S par la fonction de transfert Mais vu la disponibilité des ordinateurs et la puissance de leur calcul d’aujourd’hui, il est plus intéressant de: Reconsidérer la formulation des équations différentielles représentant les systèmes de contrôle dans le domaine temporel Avantage: Les techniques dans le domaine temporel, peuvent être utilisées pour l’étude des systèmes non linéaire, non stationnaires, et multi variables. La représentation des systèmes dynamiques dans le domaine temporel, est rendue un axe essentiel dans la théorie de contrôle moderne et l’étude des systèmes d’optimisation.

Définition 4/16 3.2. Les variables d’état d’un système dynamique L’analyse et la conception d’un système dynamique dans le domaine temporel utilise le concept de l’état d’un système. L’état d’un système est un ensemble de variables, tel que: - la connaissance exacte de ses variables, les fonctions d’entrée du système, et les équations décrivant les dynamiques de ce même système, fournissent l’état future et la sortie du système. L’état d’un système dynamique est décrit par un ensemble de variables d’état: Les variables d’état sont celles qui déterminent le comportement futur d’un système quand l’état présent et les signaux d’excitation d’entrée sont connus. État présent (à t= t0) + Entrées  (État futur + Sorties) à l’instant t Autrement: les variables d’état xi(t) décrivent la réponse future d’un système, étant donnée le présent état, les excitations d’entrée, et les équations décrivant les dynamiques du système.

5/16 Note: Le nombre de variables d’état pour présenter un Exemple 1 Note: Le nombre de variables d’état pour présenter un système doit être aussi petit que possible pour éviter la redondance des variables d’état. Par exemple, un nombre suffisant pour décrire le système ci-contre est 2, i.e. la position et la vitesse de la masse. Ainsi le système dynamique peut être décrit par deux équations différentielles de premier ordre Cet ensemble d’équations différentielles décrit le comportement de l’état du système en termes des variations (dérivée temporelle) de chaque variable d’état.

6/16 Choix du nombre et la nature d’états: x1, x2, …? Exemple 2 Le choix est intuitivement justifié car Énergie totale emmagasinée Note: le nombre de variables d’état requis = nombre d’éléments indépendants de stockage d’énergie. Loi de Kirchhoff (Loi des noeuds) Loi de Kirchhoff (Loi des mailles) La sortie du système: et la sortie du système: Ainsi en utilisant les conditions initiales x1(t0) et x2(t0) du circuit, on peut déduire le comportement future et la sortie du circuit. MAIS: les variables d’état qui décrivent le système n’est pas un ensemble unique. Plusieurs autres alternatives sont possibles. Un ensemble de variables d’état peut être une combinaison linéaire quelconque de x1 et x2

3.3. Équation différentielle d’état 7/16 3.3. Équation différentielle d’état L’état d’un système est décrit par un ensemble d’équations différentielles de 1er ordre, somme suit:

Représentation Espace d’état 8/16 Avec Représentation Espace d’état Équation différentielle d’état Équation de sortie NOTE: Les matrices C et D sont à déduire à partir des dimensions de Y, X, et U. Exemple 2 précédent

9/16 (Fonction Matrice Exponentielle) Solution de l’équation différentielle d’état Cas mono état Généralisation avec (Fonction Matrice Exponentielle)

10/16 Autrement (avec la TL) avec La Fonction Matrice Exponentielle Elle correspond à la réponse non forcée du système, car quand U=0, nous avons: NOTE: Pour obtenir chaque élément de F(t), il suffit d’annuler toutes les conditions initiales des variables d’état sauf une. La sortie de chacune des variables d’état est évaluée, et qui est fij(t), soit la réponse à la i-iéme variables d’état due à la condition initiale de la j-iéme variable d’état quand les conditions des autres variables d’état sont maintenues nulles.

11/16 3.4. Les modèles diagramme blocs et graphe de fluence L’état d’un système décrit son comportement dynamique ou les dynamiques en question sont représentées par une série d’équations différentielles de premier ordre. Autrement les dynamiques sont représentées par l’équation différentielle d’état: dX/dt=AX+BU. Il est ainsi intéressant de développer un modèle graphique du système et l’utiliser pour lier le concept de variable d’état à la représentation par fonction de transfert des systèmes (vue au chapitre II). Ce modèle graphique peut être représenté par le graphe de fluence ou le diagramme bloc.

12/16 Malheureusement, des systèmes de contrôle (électriques, électromécaniques, …) ne sont pas aussi simple que le circuit RLC précédent. Il est difficile de déterminer une série d’équations différentielles de 1er ordre décrivant le système. Ainsi il est plus facile de dériver la fonction de transfert d’un système, par les techniques vues au chapitre II, et que nous utiliserons ensuite pour dériver le modèle d’état. À cause du fait qu’un diagramme bloc et un graphe de fluence est facilement dérivable de la fonction de transfert. Mais, nous avons vu qu’il y’a plusieurs alternatives pour déterminer un ensemble de variables d’état, et par Conséquent plusieurs formes de diagramme blocs et un graphes de fluence . Il existe plusieurs formes canoniques pour la représentation variable d’état. On cite celle appelée : Formes canonique à phase variable. En général, nous avons: Formule de gain de Mason Lien avec: Dans un cas particulier ou toutes les boucles de retour se touchent, et tout les chemins directs touchent les boucles de retour, la formule précédente est réduite à:

13/16 Il existe plusieurs formes de graphe de fluence qui représentent la fonction de transfert. Nous allons en considérer Particulièrement deux, et deux autres seront présentés dans la section (3.5). Exemple d’une FT de 4ème ordre Note: Nombre d’intégrateurs = ordre du système avec Note: Il existe un seul chemin direct (b0s-4). Et toutes les boucles de retour se touchent.

14/16 Graphe de fluence  représentation espace d’état (détermination des variables d’état, équations d’état et de sortie) Solution 2 Solution 1 Si

15/16 Exemple d’une FT de 4ème ordre Avec un numérateur polynomial Les termes du numérateur représentent les facteurs de chemins directs dans la formule du gain de Mason. Les chemins directs toucheront toutes les boucles de retour. Ainsi un graphe de fluence idéal serait: Les chemins directs sont bel et bien: b0s-4, b1s-3, b2s-2, b3s-1 Et toutes les boucles de retour (a0s-4, a1s-3, a2s-2, a3s-1) se touchent Les chemins directs toucheront toutes les boucles de retour Forme canonique à phase variable

16/16 Généralisation: FT de n-ème ordre Avec un numérateur polynomial N boucles de retour avec coefficients ai et M facteurs de chemins directs avec coefficients bi Les variables d’état sont identifiées comme les sorties de chaque élément à énergie emmagasinée, i.e. sortie de chaque intégrateur. Exemple pour: On introduit un ensemble de nœuds immédiatement avant chaque intégrateur. Les nœuds représentent la dérivée de chacune des sorties des intégrateurs.