Cours 3: Modélisation Mathématiques Equation de la chaleur

EXEMPLE D'ETABLISSEMENT D’UNE EQUATION MECANISTE

Il s’agit d’un problème dit de diffusion. On va à partir d’un exemple suffisamment simple constater le comportement d’un produit ( par exemple un polluant dans de l’eau.) Il s’agit d’un problème dit de diffusion.

Equation de diffusion 1D On considère un parallélépipède, de section 𝑆, constitué de matière homogène immobile (de l'eau par exemple ( on pourra aussi considérer le cas de l'eau en mouvement), ayant une concentration 𝐶1 d'un produit sur sa face gauche et 𝐶2 sur sa face droite.

On peut faire comme hypothèse Que la quantité de produit 𝑄 qui franchit une section 𝑆 du parallélépipède, c'est-à-dire qui circule par unité de longueur sur l'axe des 𝑥, de l'avant vers l'arrière pendant le temps Δ𝑡 est: Voir le schémas suvant

𝐶 1 S 𝐶 2 ∆𝑥

proportionnel à la section 𝑆, proportionnel à la différence 𝐶1−𝐶2, proportionnel à Δ𝑡, inversement proportionnel à Δ𝑥 ( c’est-à-dire plus Δ𝑥 est petit et plus la quantité de produit devant franchir la section 𝑆 pendant l'intervalle de temps Δ𝑡 sera importante pour passer de la concentration 𝐶1 𝑒𝑡 𝐶2.)

Soit 𝑄= 𝐾 𝑥 𝑆 𝐶 1 − 𝐶 2 ∆𝑥 ∆𝑡 On admettra comme convention que 𝑄 est positif 𝑠𝑖 𝐶1 > 𝐶2 et que le coefficient 𝐾 𝑥 est constant le long de l’axe 𝑂𝑥 (on pourra aussi considérer le cas de ce coefficient variable ), Cette équation très simple, admise comme hypothèse, est à la base de l'équation de la diffusion.

On considère maintenant un volume de matière homogène découpé en parallélépipèdes de longueur Δ𝑥. On considère des parallélépipèdes suffisamment petits pour que la concentration, au sein de chaque parallélépipède, y soit considérée comme constante. Faisons un bilan de produit au niveau de la tranche 𝑖 selon l'axe des 𝑥 : on regarde ce qui rentre et ce qui sort de cette tranche pendant l’intervalle de temps Δ𝑡

Afin de connaître la concentration dans cette tranche Afin de connaître la concentration dans cette tranche. On suppose donc qu'il n'y a pas d'échange de produits dans les directions 𝑂𝑦 et 𝑂𝑧. Voir le schémas suivant

1 2 y 𝑖−1 𝑖 𝑖+1 𝐶 𝑖−1 𝐶 𝑖 𝐶 𝑖+1 ∆𝑥 x z

La quantité de produit qui franchit la face 1, comptée positivement dans le sens de l'axe 𝑂𝑥, s'écrit : 𝑄 𝑖1 = 𝐾 𝑥 𝑆 𝐶 𝑖−1 − 𝐶 𝑖 ∆𝑥 ∆𝑡 La quantité de produit qui franchit la face 2, comptée positivement dans le sens de l'axe 𝑂𝑥, s'écrit : 𝑄 𝑖2 = 𝐾 𝑥 𝑆 𝐶 𝑖 − 𝐶 𝑖+1 ∆𝑥 ∆𝑡

On considérant que le coefficient 𝐾 𝑥 est constant le long de l'axe 𝑂𝑥, le bilan dans la tranche 𝑖 s'écrit : accumulation ( 𝑄 𝑖 ) = ce qui entre ( 𝑄 𝑖1 ) – ce qui sort ( 𝑄 𝑖2 ) = 𝐾 𝑥 𝑆 𝐶 𝑖−1 −2 𝐶 𝑖 + 𝐶 𝑖+1 ∆𝑥 ∆𝑡

Soit ∆𝐶 ∆𝑡 = 𝐾 𝑥 𝐶 𝑖−1 −2 𝐶 𝑖 + 𝐶 𝑖+1 ∆𝑥 2 ∆𝐶= 𝑄 𝑖 𝑆.∆𝑥 = 𝐾 𝑥 𝑆 𝐶 𝑖−1 −2 𝐶 𝑖 + 𝐶 𝑖+1 𝑆.∆𝑥.∆𝑥 ∆𝑡= 𝐾 𝑥 𝐶 𝑖−1 −2 𝐶 𝑖 + 𝐶 𝑖+1 ∆𝑥 2 ∆𝑡, Soit ∆𝐶 ∆𝑡 = 𝐾 𝑥 𝐶 𝑖−1 −2 𝐶 𝑖 + 𝐶 𝑖+1 ∆𝑥 2 Ecrivons la variation de concentration dans la tranche 𝑖

Faisant tendre Δ 𝑡 → 0, le premier membre de l’équation précédente va tendre vers 𝜕𝐶 𝜕𝑡 A quoi va tendre alors le deuxième membre?

Considérons la courbe dessinée au tableau et sa dérivée 𝜕𝐶 𝜕𝑥 au point d'abscisse 𝑥. Cette dérivée correspond à la tangente à la courbe au point d'abscisse 𝑥. On peut approximer cette tangente par la pente de la corde entre les points ( 𝑥 𝑖 , 𝐶 𝑖 ) et ( 𝑥 𝑖+1 , 𝐶 𝑖+1 ).

Cette pente est égale à 𝐶 𝑖+1 − 𝐶 𝑖 ∆𝑥 , plus Δ𝑥 est petit, et plus l'approximation est valide. Autrement dit, le terme 𝐶 𝑖+1 − 𝐶 𝑖 ∆𝑥 est une approximation de la dérivée première ( 𝜕𝐶 𝜕𝑥 ) 𝑖 à l'abscisse 𝑥 𝑖 quand Δ𝑥→ 0.

De la même façon, on peut approximer la dérivée première ( 𝜕𝐶 𝜕𝑥 ) 𝑖 à l'abscisse 𝑥 𝑖 par la pente de la corde entre les points ( 𝑥 𝑖 , 𝐶 𝑖 ) et ( 𝑥 𝑖−1 , 𝐶 𝑖−1 ). , alors ( 𝜕𝐶 𝜕𝑥 ) 𝑖 ≈ 𝐶 𝑖 − 𝐶 𝑖−1 ∆𝑥 quand Δ𝑥→ 0.

On peut maintenant avoir une approximation de la dérivée seconde en 𝑥 𝑖 , en dérivant 2 fois 𝐶(𝑥) par rapport à 𝑥, et en appliquant les 2 façons vues au-dessus: 𝜕 2 𝐶 𝜕𝑥 2 𝑖 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝐶 𝜕𝑥 𝑖 ≈ 𝜕 𝜕𝑥 𝐶 𝑖+1 − 𝐶 𝑖 ∆𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 𝐶 ∆𝑥 𝑖+1 − 𝜕 𝜕𝑥 𝐶 ∆𝑥 𝑖 = 𝐶 𝑖+1 − 𝐶 𝑖 ∆𝑥 2 − 𝐶 𝑖 − 𝐶 𝑖−1 ∆𝑥 2 = 𝐶 𝑖−1 −2 𝐶 𝑖 + 𝐶 𝑖+1 ∆𝑥 2

Autrement dit, le deuxième terme de l'équation A correspond à l'approximation de la dérivée seconde de la fonction 𝐶; quand Δ𝑥 → 0, nous avons: 𝜕𝐶 𝜕𝑡 = 𝐶 𝑖−1 −2 𝐶 𝑖 + 𝐶 𝑖+1 ∆𝑥 2 = 𝜕 2 𝐶 𝜕𝑥 2 𝑖

L'équation Précédente est dite de la diffusion 1D (1D pour une dimension d'espace). C’est une équation aux dérivées partielles (EDP) car 𝐶 est fonction d’au moins 2 variables (𝑥 𝑒𝑡 𝑡) et elle fait intervenir les dérivées de 𝐶 par rapport à ces 2 variables.

Interprétation d'une équation aux dérivées partielles Comment "lire" l'équation précédente ?

La dérivée première 𝜕𝐶 𝜕𝑡 correspond à la variation de concentration dans le temps, c'est-à-dire de quelle quantité 𝐶 varie dans le temps. La dérivée seconde 𝜕 2 𝐶 𝜕𝑥 2 correspond à la variation de la variation (dérivée de la dérivée première) de concentration selon l'axe des x, autrement dit, ce terme s'intéresse à la façon dont la dérivée première de la concentration varie en x.

L'équation de la diffusion dit que la variation de concentration au cours du temps est proportionnelle à la variation de la variation de concentration en espace. Interprétons ce qui vient d'être dit : Voir schémas sur le tableau

Dans le cas 1, les pentes sont voisines Dans le cas 1, les pentes sont voisines. L'équation dit donc que dans l'intervalle de temps ∆𝑡, la concentration en 𝑥 𝑖 ne changera guère (donc 𝜕𝐶 𝜕𝑡 sera faible) puisque le terme 𝜕 2 𝐶 𝜕𝑥 2 est voisin de 0. Dans le cas 2, les pentes sont très différentes. L'équation de la diffusion dit alors que la concentration en 𝑥 𝑖 va beaucoup changer (donc 𝜕𝐶 𝜕𝑡 sera important) puisque le terme 𝜕 2 𝐶 𝜕𝑥 2 est loin d'être négligeable).

Ainsi, l'équation de la diffusion précise que la variation de concentration dans le temps ne dépend pas de la différence de concentration entre 2 points, mais dépend de la différence des pentes entre ces 2 points (donc de l'allure de la solution et non de la valeur de la solution).

L'interprétation physique est simple : les valeurs des pentes représentent les flux de part et d'autres du point 𝑥 𝑖 (soit des quantités de polluant qui circulent à gauche et à droite de 𝑥 𝑖 , et c'est bien ce qu'on a écrit au tout début : on a fait un bilan de ce qui entrait et sortait de la tranche 𝑖). - Si les flux de part et d'autre de 𝑥 𝑖 sont voisins, le bilan est proche de zéro et la concentration en 𝑥 𝑖 ne varie guère dans le temps. - Si les flux sont différents, le bilan ne sera pas équilibré au niveau de 𝑥 𝑖 et la concentration changera dans le temps

Au Prochain Cours nchllh